11答案二次函数-矩形的存在性问题.pdf

参考答案1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC 是矩形，点A、 C在坐标轴上，ODE 是 OCB 绕点 O顺时针旋转90得到的，点D在 x 轴上，直线BD交 y 轴于点 F，交 OE于点 H ，线段 BC 、OC的长是方程x26x+8=0 的两个根，且OC BC （1）求直线BD的解析式；（2）求 OFH的面积；（3）点 M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M 、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由1.分析：（1）解方程可求得OC 、BC的长，可求得B、D的坐标，利用待定系数法可求得直线BD的解析式；（ 2）可求得E点坐标，求出直线OE的解析式，联立直线BD 、OE解析式可求得H点的横坐标，可求得OFH的面积；（ 3）当 MFD 为直角三角形时，可找到满足条件的点N，分 MFD=90 、 MDF=90 和 FMD=90 三种情况，分别求得M点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N 点坐标解答：解： （1）解方程x26x+8=0 可得 x=2 或 x=4， BC 、 OC的长是方程x26x+8=0 的两个根，且OC BC ， BC=2 ， OC=4 ， B（ 2，4） ， ODE是 OCB绕点 O顺时针旋转90得到的， OD=OC=4 ，DE=BC=2 ， D （4， 0） ，设直线BD解析式为y=kx+b ，把 B、D坐标代入可得，解得，直线BD的解析式为y=x+；（ 2）由（ 1）可知 E（4，2） ，设直线OE解析式为y=mx，把 E 点坐标代入可求得m= ，直线 OE解析式为y=x，令 x+=x，解得 x=， H点到 y 轴的距离为，又由（ 1）可得 F（0， ） ， OF= ， SOFH= =；（ 3）以点D 、 F、M 、N 为顶点的四边形是矩形， DFM为直角三角形，当 MFD=90 时，则M只能在 x 轴上，连接FN交 MD于点 G，如图 1，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 由（ 2）可知 OF= ，OD=4 ，则有 MOF FOD ， =，即 =，解得 OM= ， M （， 0） ，且 D（4，0） ， G（， 0） ，设 N 点坐标为（ x，y） ，则 =， =0，解得 x=，y=，此时N点坐标为（，） ；当 MDF=90 时，则M只能在 y 轴上，连接DN交 MF于点 G，如图 2，则有 FOD DOM ， =，即 =，解得 OM=6 ， M （0， 6） ，且 F（0， ） ， MG=MF= ，则 OG=OMMG=6 =， G （0，），设 N 点坐标为（ x，y） ，则 =0，=，解得 x=4，y=，此时N （ 4，）；当 FMD=90 时，则可知M点为 O点，如图3，四边形MFND 为矩形， NF=OD=4 ，ND=OF= ，可求得N （4， ） ；综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，）或（4，）或（ 4， ） 2. (2015 重庆市綦江县 ) 如图，抛物线223yxx与 x 轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. 点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.（1）求直线AD的解析式；（2）如图 1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FGAD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标 .答案解：AD：1yx过点F作x轴的垂线，交直线AD于点M，易证FGHFGM故FGHFGMCC设2(,23)F mmm则FM=2223(1)2mmmmm精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 则C=2199 22(12)(12)()242FMFMFMm故最大周长为9+924若AP为对角线如图，由PMSMAR可得9(0,)2P由点的平移可知1( 2)2Q，故 Q点关于直线AM的对称点T 为1(0,)2若AQ为对角线如图，同理可知P1(0,)2由点的平移可知Q7(2,)2故Q点关于直线AM的对称点T为9(0,)23. (2016 山东省东营市 ) 】 】 在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，点A 、 C的坐标分别是（0，4） 、 （ 1，0） ，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形ABOC （1）若抛物线经过点C、A、A，求此抛物线的解析式；（2）点 M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，AMA 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（3）若 P为抛物线上一动点，N为 x 轴上的一动点，点Q坐标为（1，0） ，当 P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标分析 （1）由平行四边形ABOC绕点 O顺时针旋转90，得到平行四边形ABOC ，且点A的坐标是（ 0， 4） ，可求得点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点 C、A、A的抛物线的解析式；（ 2）首先连接AA，设直线AA的解析式为：y=kx+b ，利用待定系数法即可求得直线AA的解析式，再设点M的坐标为：（x， x2+3x+4） ，继而可得AMA 的面积，继而求得答案；（ 3）分别从BQ为边与 BQ为对角线去分析求解即可求得答案解答 解： （ 1）平行四边形ABOC 绕点 O顺时针旋转90，得到平行四边形ABOC ，且点A 的坐标是（ 0，4） ，点 A的坐标为： （4，0） ，点 A、C的坐标分别是（0， 4） 、 （ 1，0） ，抛物线经过点C、A、 A，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c ，解得： ，此抛物线的解析式为：y=x2+3x+4；（ 2）连接 AA，设直线AA 的解析式为：y=kx+b ，解得： ，直线AA的解析式为：y=x+4，设点 M的坐标为： （x， x2+3x+4） ，则 SAMA =4 x2+3x+4（ x+4）= 2x2+8x=2（x2）2+8，当 x=2 时， AMA 的面积最大，最大值SAMA =8， M的坐标为：（ 2，6） ；（ 3）设点 P的坐标为（ x， x2+3x+4） ，当 P，N，B，Q构成平行四边形时，平行四边形ABOC中，点 A、C 的坐标分别是（0，4） 、 （ 1，0） ，点 B的坐标为（ 1，4） ，点 Q坐标为（ 1，0） ，P为抛物线上一动点，N 为 x 轴上的一动点，当 BQ为边时， PN BQ ，PN=BQ ， BQ=4 ， x2+3x+4=4，当 x2+3x+4=4 时，解得： x1=0，x2=3， P1（0，4） ，P2（3， 4） ；当 x2+3x+4=4 时，解得： x3=，x2=， P3（， 4） ，P4（， 4） ；当 PQ为对角线时，BPQN ，BP=QN ，此时 P 与 P1，P2重合；综上可得：点P 的坐标为： P1（0，4） ，P2（3，4） ，P3（， 4） ，P4（， 4） ；如图 2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0，0）或（ 3，0） 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 4. (2016 贵州省毕节地区) 如图，已知抛物线y=x2+bx 与直线 y=2x+4 交于 A （a，8） 、B两点，点P是抛物线上 A、B之间的一个动点，过点P分别作 x 轴、 y 轴的平行线与直线AB交于点 C和点 E（1）求抛物线的解析式；（2）若 C为 AB中点，求PC的长；（3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE ，设点 D的坐标为（ m ， n） ，请求出m ，n 之间的关系式分析 （1）把 A 点坐标代入直线方程可求得a 的值，再代入抛物线可求得b 的值，可求得抛物线解析式；（ 2）联立抛物线和直线解析式可求得B点坐标，过A作 AQ x 轴，交 x 轴于点 Q ，可知 OC=AQ=4 ，可求得 C点坐标，结合条件可知P 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P 点坐标，从而可求得PC的长；（ 3）根据矩形的性质可分别用m 、n 表示出 C、P的坐标，根据DE=CP ，可得到m 、 n 的关系式解： （1） A（a，8）是抛物线和直线的交点，A点在直线上， 8=2a+4，解得 a=2， A点坐标为（ 2，8） ，又 A点在抛物线上， 8=22+2b，解得 b=2，抛物线解析式为y=x2+2x；（ 2）联立抛物线和直线解析式可得，解得， B点坐标为（2，0） ，如图，过A 作 AQ x 轴，交 x 轴于点 Q，则 AQ=8 ，OQ=OB=2 ，即 O为 BQ的中点，当 C 为 AB中点时，则OC为 ABQ的中位线，即C点在 y 轴上， OC=AQ=4 ， C点坐标为（ 0，4） ，又 PC x 轴， P点纵坐标为4， P点在抛物线线上， 4=x2+2x，解得 x=1或 x=1， P点在 A、B之间的抛物线上， x=1不合题意，舍去， P点坐标为（1，4） ， PC= 10= 1；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （ 3） D（m ，n） ，且四边形PCDE 为矩形， C点横坐标为m ，E点纵坐标为n， C 、E都在直线y=2x+4 上， C （m ， 2m+4 ） ，E（， n） ， PC x 轴， P点纵坐标为2m+4 ， P点在抛物线上， 2m+4=x2+2x，整理可得2m+5= （x+1）2，解得 x=1 或 x= 1（舍去）， P点坐标为（1，2m+4 ） ， DE= m，CP= 1 m ，四边形PCDE为矩形， DE=CP ，即 m= 1 m ，整理可得n24n8m 16=0，即 m、n 之间的关系式为n24n8m16=05. (2013 湖南省常德市) 如图，已知二次函数的图象过点A(0 ， 3) ，B（） ，对称轴为直线，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PMx轴于点M，PNy轴于点N，在四边形PMON上分别截取（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C，D，E，F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.解： （1）设二次函数的解析式为, 将点A（0，-3 ） 、B（） 、对称轴方程分别代入可得：，解得此二次函数的解析式为 .（ 2）证明：如图连接CD，DE，EF，FC.PMx轴，PNy轴，四边形OMPN是矩形 . MP=ON，OM=PN.又精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - CMD ENF,同理 ODE FPC(SAS),CF=ED，CD=EF.,四边形CDEF是平行四边形.（ 3）如图，作CQ y轴于点Q，设P点坐标为，则 . 在 RtECQ中，当CDDE时，本题用相似更简单！6如图所示，抛物线y=ax2+bx3 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3， 0）两点，与y 轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点 P作 PE BC于点 E，作 PF平行于 x 轴交直线BC于点 F，求 PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是 y 轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M 、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由【解答】 解： （1）把 A（ 1，0） ，B（3， 0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx3，得到，解得，抛物线的解析式为y=x22x3（2）如图 1 中，连接 PB 、PC 设 P（m ，m22m 3） ，B（3，0） ，C（0， 3） ，OB=OC ，OBC=45 ，PFOB ， PFE= OBC=45 ，PE BC ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - PEF=90 ， PEF是等腰直角三角形，PE最大时， PEF的面积中点，此时PBC的面积最大，则有 SPBC=S POB+SPOCSBOC=?3?（ m2+2m+3 ）+?3?m =（ m ）2+，m= 时， PBC的面积最大，此时PEF的面积也最大，此时 P（，），直线 BC的解析式为y=x3，F（，），PF=， PEF是等腰直角三角形，EF=EP= ，C PEF最大值=+（3）如图2 中，当 N与 C 重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP 是正方形，易知P（2， 3） 点 P 横坐标为 2，如图 3 中，当四边形PMQN 是正方形时，作PF y 轴于 N，ME x 轴， PE y 轴易知 PFN PEM ，PF=PE ，设 P（m ，m22m 3） ，M （ 1， 4） ，m=m22m 3（ 4） ，m= 或（舍弃），P点横坐标为所以满足条件的点P的横坐标为2 或精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -