高二数学-知识讲解 《圆锥曲线》全章复习与随堂(基础）（文）.doc

圆锥曲线全章复习与巩固编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1掌握椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质 2掌握双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质 322 32数学探索©版权所有3掌握抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质4掌握直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用 【知识网络】【要点梳理】要点一：圆锥曲线的标准方程和几何性质1椭圆标准方程图形定义平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹性质焦点，焦距范围，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点，轴长轴长=，短轴长=离心率要点注释：（1）在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小（2）当椭圆的离心率越接近1时，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近于00，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为2双曲线标准方程定义平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹（）图形性质范围，顶点焦点，焦距对称性关于x轴、y轴和原点对称轴实轴长=，虚轴长=离心率渐近线方程要点注释：注意椭圆的定义中是差的绝对值，当不含绝对值时，动点的轨迹为双曲线的一支；而当时，动点的轨迹是两条射线；当时，则不表示任何图形3抛物线标准方程y2=2px（p0）y2=2px（p0）x2=2py（p0）x2=2py（p0）图形定义平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)顶点O（0，0）范围x0， x0，y0，y0，对称轴x轴y轴焦点离心率e=1准线方程焦半径要点诠释：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离4圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点与它到一条定直线的距离之比为定值 当时，圆锥曲线是椭圆；当时，圆锥曲线是双曲线；当时，圆锥曲线是抛物线 要点诠释：比值就是是圆锥曲线的离心率，定点是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥曲线的准线 要点二：直线和圆锥曲线直线和圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线有三种位置关系：相交，相切，相离判断直线与圆锥曲线C的位置关系时，将直线的方程代入曲线C的方程，消去y（也可消去x）得一个关于变量x（或y）的一元二次方程ax2+bx+c=0当a0时，若0，则与C相交；若=0，则与C相切；若0，则有与C相离当a=0时，即得到一个一次方程，若方程有解，则直线与C相交，此时只有一个公共点若C为双曲线，则平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则平行于抛物线的对称轴注意：当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线和双曲线、抛物线可能相切，也可能相交直线被圆锥曲线截得弦长：若直线截圆锥曲线于弦AB，则弦长|AB|的求法主要有以下几种：交点法：将直线的方程与抛物线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求 根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为(，)、(，)，则弦长公式为： 或要点诠释： 在抛物线中，当弦过焦点时(即焦点弦)，那么弦长公式可以利用定义进行转化，因此抛物线的焦点弦长有以下两种更简单的计算方法若直线AB过抛物线的焦点，且点A、B在抛物线上，则有(i)；(ii)(是直线AB的倾斜角)若直线AB过抛物线(p0)的焦点，且点A、B在抛物线上，则有(i)； (ii)( 是直线AB的倾斜角)要点三：圆锥曲线方程的一般求法定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：直接法建系设点列式化简证明（可省略，但必须删去增加的或者补上丢失的解）代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法参数法 参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程常见的参数法有：（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解如x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P除设P（x1，y1）外，也可直接设P（2y，-1，y1）（2）斜率为参数 当直线过某一定点P(x0，y0)时，常设此直线为y-y0=k(x-x0)，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等（3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题要点注释：（1）求轨迹方程的一般思路：若曲线的类型已确定，一般用待定系数法；若曲线的类型未确定，但曲线上动点的运动在题目中有明确的表述，一般采用直接法；若动点的变化依赖于另一相关点的变化，一般采用相关点法（代入转移法）；若动点坐标之间的关系不易找出，一般可采用参数法但应注意所列方程个数比参数个数要多一个，才可以消去参数（2）求轨迹方程应注意的问题：求轨迹方程后一定要注意轨迹的纯粹性和完备性；以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应的关系， 尤其是题中涉及三角形、斜率、参数方程中参数的限制， 往往使方程产生增根要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念类型四：圆锥曲线的实际应用解答圆锥曲线的应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答【典型例题】类型一：圆锥曲线的方程与性质例1 已知两定点、，且，动点到与到的距离比为常数，求点的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线【思路点拨】依据题中已知条件直接列出几何关系式子，再将其“翻译”成数学语言即可【解析】如图所示建立坐标系，则、，设是轨迹上任意一点则由题设，得，坐标代入得，化简得：整理得：点M的轨迹方程是 点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆【总结升华】本题采用的是直接法，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程举一反三：【变式1】已知两定点、，且，动点满足：，求点的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线【答案】建立坐标系如图所示，则、，设是轨迹上任意一点则，由，得，整理得：点M的轨迹方程是； 点M的轨迹是圆【高清课堂：圆锥曲线综合371714 例2】【变式2】设F、F是双曲线x2y24的两焦点，Q是双曲线上任意一点，从F引FQF平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程是【答案】设O为F1F2的中点， 延长F1P交QF2于A，连接OP，据题意知：AQF1为等腰三角形所以QF1=QA|QF1-QF2|=4|QA-QF2|=4即AF2=4OP为F1F2A的中位线OP=2故点P的轨迹为以O为圆心，以2为半径的圆，方程为：x2+y2=4例2过原点的直线与曲线y=x2-2x+2交于A，B两点，求弦AB中点的轨迹 【思路点拨】AB的中点是受A，B两点的影响而运动的，而A，B的运动是由于直线的转动而导致的，因此可以选择直线的斜率k作为参数【解析】设AB的中点M(x，y)， A(x1，y1)， B(x2，y2)，依题意，直线的斜率必须存，设为k， 又直线 过原点，直线的方程为：y=kx， 将此式代入y=x2-2x+2整理得：x2-(2+k)x +2=0 x1+x2=2+k， 由消去k，得又由于直线与曲线有两交点，故(1)式中的判别式>0， (2+k)2-8>0， 解得或 ，或所求的轨迹是抛物线y=2x2-2x(或)部分【总结升华】在处理涉及直线和二次曲线交点的轨迹问题时，直线的斜率是常用的参数，即“k参数”，此时要考虑直线的斜率不存在这一特殊情况参数的选择多种多样，应视具体情况而定 常见的参数有k参数、点参数，也可以选有几何意义的量如角参数、参数a，b，c等恰当选择参数，可以简化解题过程解题时应先对动点的形成过程进行分析，确定参数，探求几何关系，建立参数方程对参数方程化简以后，要重视检验工作，确定变量的范围举一反三：【变式1】设双曲线的两个焦点分别是F1和F2， A 、B分别是双曲线两条渐近线上的动点， 且， 求线段AB中点的轨迹方程【答案】设A点在渐进线上， B点在渐近线上， A(x1， y1)， B(x2， y2)，线段AB中点 M(x， y)， 由=30，得， ， 化简得【变式2】设直线x-y=4a与抛物线y2=4ax 交于两点A，B (a为定值)，C为抛物线上任意一点，求ABC的重心的轨迹方程【答案】设ABC的重心为G(x，y) ，点C的坐标为C(x0，y0)，A(x1，y1)， B(x2，y2) 由方程组消去y并整理得：x2-12ax+16a2=0x1+x2=12a， y1+y2=(x1-4a)+(x2-4a)=(x1+x2)-8a=4a由于G(x，y)为ABC的重心， 又点C(x0，y0)在抛物线上，将点C的坐标代入抛物线的方程得：(3y-4a)2=4a(3x-12a)， 即又点C与A，B不重合，类型二：直线与圆锥曲线的位置关系例3判断直线与椭圆的位置关系【解析】由可得（1）当时，直线与椭圆相交（2）当时，直线与椭圆相切（3）当时，直线与椭圆相离【总结升华】（1）直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去或得到关于或的一元二次方程，则有：直线与椭圆相交；直线与椭圆相切；直线与椭圆相离所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具（2）判断直线与椭圆相交，还可证明直线经过椭圆内的某定点定点在椭圆内部，则举一反三：【变式】已知直线y=(a+1)x1与曲线y2=ax恰有一个公共点，求实数a的值【答案】联立方程（1）当a=0时，此方程恰有一组解为：（2）当a0时，消去x，得若，即a=1，方程变为一元一次方程：y1=0，方程组恰有一组解：若，即a1令得：，可得，这时直线与曲线相切，只有一个公共点综上所述知，当a=0、1、时，直线y=(a+1)x1与曲线y2=ax恰有一个公共点例4设直线过双曲线的一个焦点，交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，若，求|AB|的值【解析】直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解当ABx轴时，点A（2，3），B（2，3），不满足条件则直线AB斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y=k(x2)代入双曲线方程，得即设点，则当>0时，从而 ，解得此时，故由焦点弦长公式，得：【总结升华】 处理涉及直线和二次曲线交点问题时，一般设出交点坐标，但不求交点坐标，而 是用韦达定理作整体运算（把x1+x2或x1x2看作一个整体），即所谓“设而不求” 涉及直线与双曲线相交弦的问题，0是必不可少的条件关于直线与双曲线的某一支的相交问题，不但要考虑0，同时要考虑方程根的取值范围举一反三：【变式1】已知点A和B ，动点A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线yx交于D、E两点，求线段DE的长【答案】设点C（x ， y），则CA |CB |±根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线由2a ，得a2，b2故点C的轨迹方程是由，得x24x，直线与双曲线有两个交点设D（x1，y1）、E（x2，y2），则x1x2，x1·x26故【变式2】设椭圆的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点，较y轴于点M，若，求直线l的方程【答案】（1）由题设知由于，则有，所以点A的坐标为，故所在直线方程为，所以坐标原点O到直线的距离为，又，所以，解得，所求椭圆的方程为（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，则有，设，由于，解得 又Q在椭圆C上，得，解得， 故直线l的方程为或， 即或 类型三：圆锥曲线的实际应用例5 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为，求该彗星与地球的最近距离【思路点拨】本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路为：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法运用椭圆的第二定义求解同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考仔细分析题意由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点时，彗星与地球的距离才达到最小值即为，这样就把问题转化为求a，c和【解析】建立如图所示直角坐标系，设地球位于焦点F（c，0）处，椭圆的方程为当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，由椭圆的几何意义可知，彗星只能满足OFA=（或）作ABOF于B，则由椭圆的第二定义可得：两式相减得，即a=2c，代入得，即，因此，【总结升华】（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨迹一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是，另一个是（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质 【变式1】如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线对称轴1 m，则在水池直径的下列可选值中，最合算的是 （ ）A2.5 m  B4 m  C5 m D6 m 【答案】C【变式2】某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP或BP运到P处（如图所示）已知PA=100 m，PB=150 m，APB=60°，试说明怎样运土最省工【答案】以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立如图直角坐标系，设M（x，y）是沿AP、BP运土同等距离的点，则在PAB中，由余弦定理得：，且50<|AB|由双曲线定义知点M在以A、B为焦点的双曲线右支上，设此双曲线方程为（a>0，b>0），解之得点M轨迹是在半圆内的一段双曲线弧于是运土时将双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工