中考总复习教案：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（基础）.doc

中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用知识讲解（基础）撰稿：张晓新 审稿：杜少波【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2. 会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想【知识网络】 【考点梳理】考点一、一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程它的一般形式为(a0)2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m0时，方程的解为；当m0时，方程的解；当m0时，方程没有实数解 （2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解（3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为 （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法3一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为>0方程有两个不相等的实数根；0方程有两个相等的实数根；<0方程没有实数根上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边要点诠释： 0方程有实数根.4一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程(a0)的两个根是，那么考点二、分式方程 1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：是方程；含有分母；分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程. 2.分式方程的解法去分母法，换元法3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根考点三、一元二次方程、分式方程的应用1应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律) 关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律 (2)体积变化问题 关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题 其中的几个关系式：利润售价-成本价(进价)，利润率×100% 明确这几个关系式是解决这类问题的关键 (4)关于两个或多个未知量的问题 重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题 对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题 注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量原有量×增长率； 现有量原有量+增长量； 现有量原有量-降低量2解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答要点诠释： 方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想 注意：设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；未知数设出后不要漏棹单位；列方程时，两边单位要统一；求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意【典型例题】类型一、一元二次方程1用配方法解一元二次方程：【思路点拨】把二次项系数化为1，常数项右移，方程两边都加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法解出未知数的值.【答案与解析】移项，得二次项系数化为1，得配方由此可得，【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤：把原方程化为的形式；将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.举一反三：【变式】用配方法解方程x2-7x-1=0【答案】将方程变形为x2-7x=1，两边加一次项系数的一半的平方，得x2-7x+=1+，所以有=1+直接开平方，得x-=或x-=-所以原方程的根为 x=或x=2关于x的方程有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围.(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由【思路点拨】判别式大于0，二次项系数不等于0.【答案与解析】（1）由=(k+2)24k·0 k1 又k0 k的取值范围是k1，且k0（2）不存在符合条件的实数k理由：设方程kx2+(k+2)x+=0的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有：x1+x2=，x1·x2=，又=0 则 =0 由（1）知，时，0，原方程无实解不存在符合条件的k的值.【总结升华】（1）注意隐含条件k0；（2）由根与系数关系的应用，求出k的值，要验证k的值是否符合题意.举一反三：【变式】已知关于x的方程（1）求证方程有两个不相等的实数根（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解【答案】（1）证明:因为= = 所以无论取何值时， >0，所以方程有两个不相等的实数根（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以，根据方程的根与系数的关系得，解得，所以原方程可化为，解得，.类型二、分式方程3解方程：【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验.【答案与解析】方程两边都乘以，得 【总结升华】首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根.举一反三：【变式1】解分式方程：【答案】方程两边同乘以，得 经检验：是原方程的解，所以原方程的解是【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用 高清ID号： 405754关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）】【变式2】方程的解是x= 【答案】.4若解分式方程产生增根，则m的值是（ ） A. B. C. D. 【思路点拨】先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出m的值.【答案】D；【解析】由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得，故选择D.【总结升华】分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值.举一反三：【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用 高清ID号： 405754关联的位置名称（播放点名称）：例1（2）-例2】【变式】若关于的方程无解，则的值是 【答案】1.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.【思路点拨】在航行问题中的等量关系是“顺流速度静水速度水流速度； 逆流速度静水速度水流速度”，两次航行提供了两个等量关系.【答案与解析】设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时 由题意，得 答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时.【总结升华】流水问题公式：顺流速度静水速度水流速度； 逆流速度静水速度水流速度；静水速度(顺流速度逆流速度)÷2；水流速度(顺流速度逆流速度)÷2.举一反三：【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？【答案】设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得： 答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵.6某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？【思路点拨】设该产品的成本价平均每月降低率为x，那么两个月后的销售价格为625（1-20%）（1+6%），两个月后的成本价为500（1-x）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果【答案与解析】 设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为x 625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500 整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81 1-x=±0.9，x=1±0.9， x1=1.9（舍去），x2=0.1=10% 答：该产品的成本价平均每月应降低10%【总结升华】题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价