高二数学-知识讲解_《空间向量与立体几何》全章复习与随堂_提高.doc

空间向量与立体几何全章复习与巩固编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1知识目标：空间向量；相等的向量；空间向量的加减与数乘运算及运算律2能力目标：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题3德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的；会用联系的观点看待事物【知识网络】空间向量与立体几何空间向量及其运算立体几何中的向量方法空间向量的加减运算空间向量的数乘运算空间向量的数量积运算空间向量的坐标运算共线向量定理共面向量定理空间向量基本定理平行与垂直的条件向量夹角与距离直线的方向向量与平面的法向量用空间向量证平行与垂直问题求空间角求空间距离【要点梳理】要点一：向量的有关概念1空间向量的定义：空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；空间向量的表示：一种是用有向线段表示，叫作起点，叫作终点；一种是用小写字母（印刷体）表示，也可以用（而手写体）表示向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或向量的夹角：过空间任意一点作向量的相等向量和，则¯叫作向量的夹角，记作ÀÐ，规定0ÞÀÐÞp如图：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0规定：0与任意向量平行单位向量：长度为1的空间向量，即相等向量：方向相同且模相等的向量相反向量：方向相反但模相等的向量共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合平行于记作，此时ÀÐ=0或ÀÐ=p共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量要点诠释：（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；（2）当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线（3）对于任意一个非零向量，我们把叫作向量的单位向量，记作与同向（4）当ÀÐ=0或p时，向量平行，记作î；当 ÀÐ=时，向量垂直，记作要点二：空间向量的基本运算空间向量的基本运算：运算类型几何方法运算性质向量的加法1平行四边形法则：加法交换率：加法结合率：2三角形法则：向量的减法三角形法则：向量的乘法是一个向量，满足：>0时，与同向；<0时，与异向；=0时， =0向量的数量积1是一个数：；2，或=0共线共面共线定理：空间任意两个向量与（0）共线的充要条件是存在实数l，使共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（），使推论：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对使得，或对空间任意一点有或（其中）要点诠释：（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线（2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面要点三：空间向量基本定理空间向量基本定理：如果是空间三个不共面的向量，是空间任一向量，那么存在唯一一组实数，使得空间中不共面的三个向量称为这个空间的一个基底当向量两两垂直时，就得到这个向量的一个正交分解要点诠释：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念要点四：空间向量的直角坐标运算1 空间直角坐标系及坐标在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量给定一个空间直角坐标系中，对于空间任一点，对应一个向量，若，则有序数组叫点在此空间直角坐标系中的坐标，记为，其中叫做点的横坐标，叫点的纵坐标，叫点的竖坐标 空间两点的距离公式若，则； 的中点坐标为 空间向量运算的的坐标运算设，则 ； ； ； ； ，； 空间向量平行和垂直的条件若，则，；要点诠释：（1）空间任一点的坐标的确定： 过作面的垂线，垂足为，在面中，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，则如图：（）夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中的范围是（）与任意空间向量平行或垂直要点五：用空间向量讨论垂直与平行图示向量证明方法线线平行（）（分别为直线的方向向量）线线垂直（）（分别为直线的方向向量）线面平行（），即（是直线的方向向量，是平面的法向量）线面垂直（）（是直线的方向向量，是平面的法向量）面面平行（）（分别是平面，的法向量）面面垂直（），即（，分别是平面，的法向量）要点诠释：（）直线的方向向量：若、是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量 （）平面的法向量：已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量 一个平面的法向量不是唯一的要点六：用空间向量求夹角图示向量证明方法异面直线的夹角（，是直线上不同的两点，是直线上不同的两点）直线和平面的夹角（其中直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为）平面间的夹角（平面与的法向量分别为和，平面与的夹角为）要点诠释：（）空间两直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角 即设直线与的方向向量分别为，当0时，直线与的夹角等于；当<时，直线与的夹角等于（）最小角定理：斜线和射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角，其范围是（）两平面的夹角范围是，已知平面和的法向量分别为和，则当0时，平面和的夹角等于；当 时，平面和的夹角等于要点七：用空间向量求距离图示向量证明方法两点之间的距离设，则点到直线的距离（是过点平行于向量的直线）点到平面的距离（为平面的法向量）两条异面直线的距离（是直线的公共法向量）与平面平行的直线到平面的距离（是平面的公共法向量）两平行平面间的距离（是平面，的一个公共法向量）要点诠释：（1）在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择（2）空间距离不只有向量法一种方法，比如点面距还有一种重要的求法为等积转化法（3）各种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离而且我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法要点八：立体几何中的向量方法用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”1建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）2通过向量运算研究点、线、面之间的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题；（进行向量运算）3把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回到图形问题）用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤1建立适当的空间直角坐标系；2写出相关点的坐标及向量的坐标；3进行相关的计算；4写出几何意义下的结论【典型例题】类型一：空间向量的概念及运算例1 如图，在平行六面体中，为与的交点 若，则下列向量中与相等的向量是（ ）A B C D 【思路点拨】本题以向量的加减法为前提，考查了向量相等的概念：（1）相等向量指的是方向相同且模相等的向量；（2）注意向量加法的三角形法则和平行四边形法则、减法的三角形法则的正确运用；注意公式，的灵活应用【答案】A【解析】法一：法二：；故选A【总结升华】类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途 用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等与向量的加减法，考查学生的空间想象能力【变式1】如图，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）【变式2】在四边形中，且·0，则四边形是（ ）A 矩形 B 菱形 C直角梯形 D等腰梯形【答案】B类型二：空间向量的直角坐标运算例2已知空间三点，设，（1）求；（2）求和的夹角的余弦值；（2）若向量+与互相垂直，求的值【思路点拨】根据空间向量直角坐标的相关公式进行运算【解析】，=(1，1，0)， =（1，0，2）（1），（2）=，和的夹角的余弦值为(2)+=（，0）+（1，0，2）（1，2），=（+2，4），(+)（2），(+)é（2）=（1，2）·（+2，4）或【变式1】已知三点坐标分别为，求点的坐标使得=【答案】【变式2】已知向量，若，则的值是（）A或 B或 C D【答案】A由题意可知 解得或【变式3】已知空间四点，和，试判断四边形的形状【答案】矩形类型三：共线和共面向量定理的应用例3 已知平行四边形，从平面外一点引向量， 求证：（1）四点共面；（2）平面/平面【思路点拨】（1）利用共面向量定理证明四点共面；（2）由向量共线得到线线平行，利用平面平行的判定定理证明【证明】（1），由共线向量定理可知，点共面（2），又平面，平面，平面同理平面，平面/平面【总结升华】在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解 若要证明两直线平行，只需判断两直线所在的向量是否满足线性关系即可在本题第（1）题的解析中运用了共面向量定理的推论，其实利用共面向量定理也可以给予证明，同学们试一试【变式1】已知，且不共面 若，求的值【答案】由题意列等式：，解得【变式2】下列各组向量共面的是（）A =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)B =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)C =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)D =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)【答案】D类型四：空间向量在立体几何中的应用例4 四棱锥中，底面是矩形，平面， 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值；（3）求点到平面的距离【思路点拨】建立适当的空间直角坐标系，将立体几何问题转化为空间向量问题，再通过向量运算判断向量的平行、垂直及计算向量的夹角，最后再翻译成图形语言（1）将证明平面平面转化为证明平面的法向量与平面的法向量垂直；（2）直线与平面的夹角的正弦值就是直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值；（3）由于点坐标不确定，故将求点到平面的距离，转化为求求点到平面的距离【解析】（1）方法一：是所作球面的直径，。又平面，平面，平面，平面平面方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，设平面的法向量为，则 即取，则，平面的一个法向量，同理可得平面的一个法向量，即，平面平面（2）设平面的一个法向量，由可得：，令，则。设所求角为，则， 所以所求角的正弦值为（3）由题意可得，在中，,则, ，所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为，则，所求距离为【总结升华】在空间图形中，如果线段较多，关系较为复杂（如平行、垂直、角和距离等均有涉及），常常需要多种方法灵活使用，合理结合，才能达到较为理想的效果，在建立坐标后，应根据条件确定相应点的坐标，然后通过向量的坐标计算解决相应问题【变式1】如图，四棱锥中，平面，为的中点，过作平行于底面的平面，分别与另外三条侧棱相交于点 已知底面为直角梯形，（1）求异面直线与所成的角的大小；（2）求平面与平面夹角的余弦值【答案】（1）；（2）【变式2】如图所示，已知正方形的边长为1，平面，且，分别是的中点 (1)求点到平面的距离； (2)求直线到平面的距离 【答案】（1）； （2）.例5 如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。（）试确定，使直线与平面所成角的正切值为；（）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论【思路点拨】建立适当的空间直角坐标系，写出各个已知点的坐标： （）设出点的坐标，可以确定向量与平面的法向量，可以确定它们夹角的余弦值，从而可得直线与平面所成角的正弦值，由同角三角函数可得关于的方程，解方程即可（）假设存在点，并设出其坐标，要使“对任意的，在平面上的射影垂直于”，只要即可 由可以得到点的坐标【解析】（）建立如图所示的空间直角坐标系，则所以由的一个法向量设与所成的角为，则依题意有：，解得故当时，直线与平面所成角的正切值为（）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，则，依题意，对任意的，要使在平面上的射影垂直于，等价于即为的中点时，满足题设要求。【总结升华】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。【变式1】如图，在长方体中，为中点(1)求证：；(2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由；(3)若平面和平面的夹角为30°，求的长【解析】平面和平面的夹角为30°，所以解得，即的长为2【变式2】如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且 设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长【答案】【解析】以为原点，分别为轴、轴建立空间直角坐标系，由平面,得 即 解得故，所以线段的长为【变式3】如图，在四棱锥中，则面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为中点. 那么线段上是否存在点，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】存在，【解析】假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为.如图建立空间直角坐标系，则平面PCD的一个法向量为.设由，得 解得-或(舍去)，此时，所以存在点Q满足题意，此时.