高三数学-[第6讲.创新大题高分攻略.教师版] .doc

创新大题高分攻略第6讲 经典精讲考点1：数列新性质例1 （2012年东城一模理）若对于正整数，表示的最大奇数因数，例如，设 求，的值； 求，的值； 求数列的通项公式【解析】 ， ； 考虑，一方面，对于，由于，而必然是奇数，因此当时，不同的的值至多有个另一方面，由于对中的任何一个奇数，都存在，使得因此当时，不同的的值至少有个综上，时，的取值集合为，且每个取值恰好取一次因此而，备选1 （2011年海淀一模）已知每项均是正整数的数列：，其中等于的项有个，设 ， 设数列，求； 若数列满足，求函数的最小值【解析】 122221353038414125041660420 记，则根据数列的定义，记则当时，；当时，于是当时，；当时，这就意味着从第项起是常数列，且该常数就是数列的最小值（两种不同的求和方式）例2 （2010年海淀高三期末）给定项数为（，）的数列，其中（）若存在一个正整数（），若数列中存在连续的项和该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等，则称数列是“阶可重复数列”，例如数列：因为与按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列” 分别判断下列数列 ： ：是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项； 若项数为的数列一定是 “3阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由； 假设数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值【解析】 ；不是“5阶可重复数列”； 1°先构造一个尽可能长的非“3阶可重复数列”，如该数列中组合均已出现2°若，则此时，共组连续项中必然会出现相同的组综合1°2°，的最小值为 数列为，其中根据题意存在，使得且于是，不妨设此时若，则，中必然会出现两个相同的连续5项，矛盾，即备选2 （2012年西城高三期末）已知数列：如果数列：满足，其中，则称为的“衍生数列” 若数列：的“衍生数列”是：，求； 若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是； 若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，依次将数列的第（）项取出，构成数列：证明：是等差数列【解析】 ： 法1：由已知，因此，猜想 当时，猜想成立； 假设，时，当时，故当时猜想也成立由、可知，对于任意正整数，有设数列的“衍生数列”为，则由以上结论可知，其中由于为偶数，所以，所以，其中因此，数列即是数列 法2：，因此，即由于，（），根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列” 法1：设数列，中后者是前者的“衍生数列”欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明（）即可由中结论可知 ，所以，即成等差数列，所以是等差数列法2：因为（），所以，（）所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可 对于数列及其“衍生数列”，因此即设数列的“衍生数列”为，因为，所以，即成等差数列 依次类推，所以成等差数列考点2：特征量【教师备案】例3及其备选题中奇偶变化为特征量，例4中需要我们自行挖掘特征量例3 （2012年朝阳二模）已知数列满足，且当时，令 写出的所有可能的值； 求的最大值； 是否存在数列，使得？若存在，求出数列；若不存在，说明理由【解析】 ，满足条件的数列的所有可能情况有：，此时；，此时；，此时；，此时；，此时；，此时；所以，的所有可能的值为： 由，可设，则或（，），因为，所以 因为，所以，且为奇数，是由个和个构成的数列所以 则当的前项取，后项取时最大，此时证明如下：假设的前项中恰有项取，则的后项中恰有项取，其中，所以 所以的最大值为 由可知，如果的前项中恰有项取，的后项中恰有项取，则，若，则，因为是奇数，所以是奇数，而是偶数，因此不存在数列，使得备选3 （2011年北京）若数列（）满足（），则称为数列记 写出一个满足，且的数列； 若，证明：数列是递增数列的充要条件是； 对任意给定的整数（），是否存在首项为的数列，使得如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由【解析】 ； ，于是；，从而，当且仅当时取得等号即，当且仅当数列是递增数列时取得等号因此原命题成立 显然当是奇数时，是偶数；当是偶数时，是奇数其中，因此若，则为的倍数或为的倍数加1，否则为奇数当为的倍数时，满足条件的一个是；当为的倍数加1时，满足条件的一个是当为的倍数加2或3时，不存在满足条件的数列例4 设是数列的前项和，按如下方式定义数列：（），对任意，设为满足的整数，且整除 时，试给出的前6项； 证明：，有； 证明：对任意的，数列必从某项起为常数列【解析】 时，； 而，所以命题成立 记数列，则根据数列的定义数列也是一个正整数数列于是根据，有下面我们分两步证明该命题：第一步：证明：“如果数列从某项起是常数列，那么从某项起为常数列假设，则于是，于是这就证明了如果数列从第项起是常数列，那么从第项起是常数列第二步，证明“数列从某项起是常数列”用反证法：如果命题“数列从某项起是常数列”不成立，即“，使得”于是存在个递增正整数，使得，而根据，可得由于为正整数数列，与矛盾这样就证明了数列从某项起是常数列【备注】对于数列的递推过程，为其特征量实战演练练习1 （2012年西城二模）若（或，），则称为和的一个位排列对于，将排列记为；将排列记为；依此类推，直至对于排列和（），它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做和的相关值，记作例如，则， 若，则称为最佳排列 写出所有的最佳排列； 证明：不存在最佳排列； 若某个（是正整数）为最佳排列，求排列中的个数【解析】 为位排列，因此最佳排列满足（）中对应位置数字相同的个数与对应位置数字不同的个数分别为和考虑与，有；考虑与，有假设中有个，个，则，或所有最佳排列为， 为5位排列，因此最佳排列满足（）中对应位置数字相同的个数与对应位置数字不同的个数分别为和与相同，将四个和式相加，有假设中有个，个，则，或此时考虑无论如何排列该值始终为偶数，不可能为，矛盾不存在最佳排列 与类似，假设中有个，个，则，或【备注】中，也可考虑共5次变化中，奇偶性只变化次，矛盾练习2 在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列” 举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； 若“绝对差数列” 中，数列满足，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值； 证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项【解析】 ； 从开始，数列为于是当时，不存在极限；而当时，存在极限为 1°先证明任何“绝对差数列”中总含有为零的项用反证法，假设“绝对差数列”中没有为零的项由于，类似的于是记数列为，则为单调递减数列，而为正整数，矛盾，因此任何“绝对差数列”中总含有为零的项2°再证明“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项由1°，设“绝对差数列”中，设则从第项起数列为因此“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项