高二数学-知识讲解_《定积分》全章复习与随堂_提高.doc

定积分全章复习与巩固编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1定积分的概念通过估算曲边梯形面积等实例，引入定积分的概念，理解“分割、求和、取极限”的过程，知道定积分是一个确定的数值2微积分基本定理 理解微积分基本定理，体会导数与积分的关系，会通过查表求简单的定积分3定积分的应用 通过实例，进一步理解定积分的思想，了解定积分在求平面图形的面积、旋转体的体积等方面的简单应用【知识网络】定积分的背景面积和路程问题定积分的概念定积分的意义及性质定积分的计算及意义定积分微积分基本定理平面图形的面积定积分的简单应用简单几何体的体积【要点梳理】要点一：定积分的概念定积分的概念如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上取点，作和式：当时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记作：，即要点诠释：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时），记为，而不是(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即（称为积分形式的不变性），另外定积分与积分区间，息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如与的值就不同要点二：定积分的几何意义从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图a中的阴影部分)的面积.要点诠释：（1）当时，由、=、=与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方，积分在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数（负数）所以，即，如图（b）（2）当在区间，上有正有负时，积分在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（轴上方面积取正号，轴下方面积取负号）在如图（c）所示的图象中，定积分要点三：定积分的运算性质性质1：；性质2：；性质3：定积分关于积分区间具有可加性。如右图：（其中）性质4 设在，上连续：当是奇函数，；当是偶函数，要点四：求定积分的基本方法定义法（极限观点）一般步骤：分割，近似代替，求和，取极限公式法（微积分基本定理）微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）：如果，且在，上可积，则利用定积分的几何意义，转化为规则图形（如三角形、四边形、圆等）的面积利用奇（偶）函数在对称区间上的性质（要点三运算性质4）。要点诠释： 对于这几种计算定积分的方法，要合理的利用：一般先看积分区间，如果是对称区间，就利用对称区间上积分的性质来化简（方法），接着分析被积函数的特点，如果是有理函数，就利用微积分基本定理计算（方法），如果是无理函数，则利用定积分的几何意义计算（方法）而利用定积分的定义求积分的值时，除了几个特殊的情况需要求积分比较困难，一般很少用要点五：定积分的应用平面图形的面积求平面图形的面积，主要是利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题 不分割型图形的面积由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可求由曲线围成图形面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限（联立与，解方程组得）；(3)确定被积函数（上曲线-下曲线：）；(4)将面积用定积分表示（）；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果分割型图形面积的求解由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？要将所求的曲面面积分割成几个不分割图形面积的形式求分割型图形面积的一般步骤：（1）根据题意画出图形；（2）先求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化；（3）确定相应区间的被积函数（上曲线-下曲线）；（4）将各细分区间的不分割平面图形的面积分别用定积分表示，则所求图形面积表示为若干定积分和的形式；（5）利用微积分基本定理计算定积分得出结果简单旋转体的体积旋转体可以看作是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的几何体，如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等利用定积分也可以求出一些简单的旋转体的体积，体积公式为【典型例题】类型一：定积分的计算例1. 计算下列各定积分：（1）； （2）；（3）； （4）.【思路点拨】（1）中被积区间是对称区间，被积函数是奇函数，故利用性质4进行计算较简便；（2）、（3）用微积分基本定理计算；（4）被积函数是无理函数，利用定积分的几何意义计算。【解析】（1）方法一：利用性质直接计算：函数是奇函数，.方法二：直接计算.方法三：利用定积分的几何意义：函数的图象如图所示：设函数y轴左侧部分图象与轴围成的图形面积为，轴右侧部分图象与轴围城的图形面积为. 由正弦曲线的对称性可知，=.（2），即，.（3）（4）函数表示以（0，0）为圆心，以1为半径的半圆上的一段弧，则表示这段弧所对应的圆心角为的扇形的面积.如图中阴影部分所示：.【总结升华】计算定积分的方法有很多，各个方法有不同的特点，平时学习中注意总结规律，以期选择最适合、最容易计算的方法.除了我们介绍的四种方法之外，还有还原法、分部积分法等等计算定积分的方法，可用于被积函数较复杂的情况。因为超出了考纲范围，因此在教材与教学中不作介绍，有兴趣的同学可以通过课外学习.举一反三：【变式1】计算下来定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；【答案】9/2（1）是奇函数，.（2）.（3）.（4），函数是偶函数，所以，利用导数的几何性质可知，表示圆在第一象限的扇形的面积，为，如图所示。所以.是奇函数，所以。所以.【变式2】计算的值。【答案】，.【变式2】计算，其中【答案】.类型二：利用定积分求平面图形的面积例2. 计算由曲线及直线所围成的平面图形的面积。 【思路点拨】画出图象，确定被积函数与积分上、下限，将面积转化为定积分的形式，利用微积分基本定理正确的计算出结果.【解析】第一步：根据题意画出图形：第二步：找出范围，确定积分上、下限：联立 解得 或所以曲线及直线的交点坐标是（0，0）和（1，1）.则取为积分变量，积分区间为0，1.第三步：确定被积函数：被积函数为：.第四步：将面积用定积分表示，并计算：设所求平面图形的面积S，则.【总结升华】利用定积分求不分割平面图形的面积，要根据图形，确定积分上、下限，确定被积函数，将面积正确的用定积分表示，然后计算即可.举一反三：【变式1】求由抛物线与直线所围成图形的面积【答案】如图，联立 解得 或抛物线与直线的交点坐标是(3，5)和(2，0)取为积分变量，积分区间为：0，1，被积函数为：.设所求图形的面积为S，则【变式2】求椭圆所围图形的面积。【答案】椭圆的大致图形如图所示：由于椭圆是中心对称图形，所以椭圆所围图形的面积（设为S）是椭圆在第一象限内面积（设为）的4倍.在第一象限，椭圆方程可变形为：，所以.根据定积分的几何意义求的值。表示圆的面积，如图：，.所以，椭圆所围图形的面积是.【变式3】求抛物线在（0，1）内的一条切线，使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小. 【答案】设切点坐标为.则该点处的切线方程为，则该切线与轴、y轴的交点坐标分别为，.所以，面积，下面用导数来求其最小值。，令，得，当时，；当时，所以，是在（0，1）上的唯一极小值点，也是最小值点，此时，切线方程为.例3. 求由曲线，及直线，所围成图形的面积【思路点拨】画出图象，在被积区间上被积函数是不一致的，因此需要将积分区间细化.【解析】第一步：根据题意画出图形：第二步：将积分区间细化：联立，解得.由图可知，平面图形（阴影区域）是被分成左、右两部分.第三步：确定被积函数：在区间，被积函数为；在区间，被积函数是.第四步：将面积表示为定积分的形式，并计算：设所求平面图形的面积为S，左边图形面积为，右边图形面积为，则所以，所求图形的面积为.【总结升华】用定积分求分割型平面图形的面积，一般步骤是：先通过求曲线的不同的交点横坐标将积分区间细化，再分别求出相应区间不分割平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下举一反三：【变式1】计算由曲线和直线所围成的图形的面积.【答案】根据题意画图图形，联立 解得所以曲线和直线的交点坐标是.方法一：取为积分变量：所求平面图形（设面积为）被直线分成左、右两部分（设面积分别为），则其中，.所以，所求图形的面积.方法二：取y为积分变量：曲线可化为，直线可化为，则被积函数为，积分区间为：，则所求图形的面积为：.【变式2】曲线与坐标轴所围成的阴影部分图形的面积是_.【答案】设阴影部分图形的面积为S，由图可知，S是由的左边部分（设为）和右边部分（设为）构成的.则：方法一：，其中，.则，.方法二：由的对称性可知，.类型三：利用定积分求简单旋转体的体积例4. 求抛物线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积【思路点拨】确定被积函数与积分区间，根据公式计算.【解析】如图，因为，所以，所以，所求旋转体的体积.所以，所求旋转体的体积是.【总结升华】求简单旋转几何体的体积要理解“累加”思想，根据图形中曲线交点正确确定积分的上、下限，合理确定被积函数.要理解其中蕴含的定积分思想.举一反三：【变式】计算椭圆所围成的图形绕轴旋转而成的几何体的体积【答案】如图：由椭圆的对称性可知，这个旋转体可看作是由上半个椭圆与轴所围成的图形绕轴旋转所生成的几何体，其体积