高二数学-导数的概念及几何意义_基础.doc

导数的概念及几何意义编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1知识与技能（1）理解导数的概念，知识瞬时变化率就是导数，能解释具体函数在这一点的导数的实际意义（2）通过函数图象直观的理解导数的实际意义，理解曲线在某一点处切线的意义，会求一些简单的初等函数在某点的切线方程2过程与方法经历导数概念的形成过程，掌握通过逼近无限的数学研究方法；经历由割线得到切线的形成过程，体会导数的思想及其内涵，完善对切线的理解和认识3情感、态度与价值观领悟导数的概念、切线的定义形成过程所体现的具体与抽象、特殊与一般、无限与有限、静止到运动的形成过程，体会导学的思想及其内涵，完善对切线的理解和认识【要点梳理】要点一：导数的概念1 导数的概念设函数，当自变量从变时，函数值从变到，函数值关于的平均变化率为，当趋于，即趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数在点的导数，通常用符号表示，记作要点诠释：（1）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率（2）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义如位移运动中，位移从时间到的平均变化率即为到这段时间的平均速度（3）增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数（4）时，y在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数即存在一个常数与无限接近（5）函数在点的导数还可以用符号表示要点二：导数的几何意义表示曲线在处的切线的斜率，即（为切线的倾斜角）已知点是曲线上一定点，点是曲线上的动点，我们知道平均变化率表示割线的斜率如图所示：当点无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率即：要点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：曲线在点处的切线：点在曲线上，在点处作曲线的切线（是切点），此时数量唯一如图1曲线经过点处的切线：点位置不确定（在曲线上或曲线外），过点作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点即可），数量不唯一如图2，无论点在曲线上还是曲线外， 过点都可以作两条直线、与曲线相切（3）直线与曲线相切ö直线和曲线有1个公共点；有别于直线和圆，如图，直线2与曲线有唯一公共点，但我们不能说直线2与曲线相切；而直线1尽管与曲线相切，却有不止一个公共点这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因要点三：导数的物理意义在物理学中，如图物体运动的规律是，那么该物体在时刻的瞬时速度就是在时的导数，即；如果物体运动的速度随时间变化的规律是，那么物体在时刻的瞬时加速度就是在时的导数，即要点诠释：表示函数在处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的比如，瞬时角速度是角度对时间的变化率；瞬时电流是电量对时间的变化率；瞬时功率是功对时间的变化率；瞬时电动势是磁通量对时间的变化率最常用的是瞬时速度与瞬时加速度【典型例题】类型一：导数定义的应用例1 用导数的定义，求函数在x=1处的导数【思路点拨】三步法求函数在某点处的导数值【解析】先求增量：再求平均变化率：求极限，得导数：【总结升华】利用定义求函数的导数值，有三步，即三步求导法，具体步骤如下：（1）求函数的增量：；（2）求平均变化率：；（3）求极限，得导数：举一反三：【变式1】已知函数的图象上的一点及临近一点，则 ， 【解析】 ， ，【变式2】求函数 在x=1处的导数【解析】 ， ，即函数在处的导数为6 【变式3】求函数在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数【解析】，例2 已知函数，求【解析】先求增量：，再求平均变化率：求极限，得导数：【总结升华】求导数的步骤和求导数值的步骤一样，叫三步法求导举一反三：【变式1】求函数在内的导函数【解析】， 【变式2】已知，求，【解析】，所以当时，例3 若，则_【思路点拨】【解析】根据导数定义：（这时增量），所以【思路点拨】 （1）有一种错误的解法： 根据导数的定义：（这时增量），所以 （2）在导数的定义中，增量的形式是多种多样的，但不论选择哪种形式，也必须选择与之相对应的形式利用函数在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题举一反三：【变式1】函数满足，则当无限趋近于0时，（1） ；（2） 【答案】（1） （2）【变式2】若（1）求的值；（2）求的值【答案】【变式3】设函数在点x0处可导，则_【答案】 原式 类型二：求曲线的切线方程例4求曲线在点处的切线方程【思路点拨】利用导数的几何意义，曲线在点P（1，2）处的切线的斜率等于函数在处的导数值，再利用直线的点斜式方程写出切线方程【解析】先求切线的斜率：，由条件可知，由点斜式可得，过点的切线方程为：，即 【总结升华】求曲线在处切线的步骤：（1）先求，即曲线在处切线的斜率（2）再求，则切线过点；（2）最后由点斜式写出直线方程：特别的，如果在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：举一反三：【变式】求曲线上一点处的切线方程【答案】先求：，再求：由点斜式得切线方程：，即【高清课堂：导数的几何意义 385147 例2】例5求曲线经过点的切线方程【思路点拨】本题要分点是切点和不是切点两类进行求解【解析】第一步：先求导函数第二步：验证点是否在曲线上由于，所以在曲线上第三步：分类讨论若点是切点，则切线的斜率为，于是切线方程为，即；若点不是切点，设切点为则切线的斜率为，于是切线方程为： 由于切线经过点，于是有，整理得：，解得或（舍去）所以切线方程是，即综上所述，所求切线方程为或【思路点拨】求曲线经过点的切线方程的一般步骤：（1）求导函数；（2）验证点是否在曲线上：计算，观察是否成立；（3）分类讨论：若，则是切点，切线唯一，方程为：若，则不是切点，求切点：设切点坐标为，则切线方程，代入点坐标，求出的值（注意），可得切线方程举一反三：【变式1】 已知函数，过点作函数图象的切线 求切线方程【解析】先求导函数：再验证：，所以点在函数图象上最后讨论：（1）当点是切点时，切线的斜率为，则切线方程为：（2）当点不是切点时，设切点坐标为则切线的斜率为（），所以切线方程为代入点得：整理得：，此时切线方程为综上所述，所求的切线方程为或【变式2】已知曲线（1）求曲线过点的切线方程；（2）求满足斜率为的曲线的切线方程【解析】（1）由于点不在曲线上，设切点坐标为，则切线的斜率为，切线方程为，将代入，得所以所求的切线方程为（2）令，解得所以斜率为的切线的切点为或所以所求的切线方程为或【高清课堂：导数的几何意义 385147 例3】【变式3】设函数，（其中，为常数）已知曲线与在点（2，0）处有相同的切线求的值，并写出切线的方程【答案】 由条件可知：且，所以切线的方程：类型三：导数的实际应用例6蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为，其中为体温(单位：)，为太阳落山后的时间(单位：min)计算，并解释它的实际意义【思路点拨】【解析】表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以的速度下降【总结升华】解释导学的实际意义要结合题目中变化的事物（指自变量），它反映事物变化的快慢举一反三：【变式1】设一个物体的运动方程是：，其中是初速度（单位：m），是时间（单位：s）求：时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）【解析】 的瞬时速度是【变式2】质点按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s）若质点在时的瞬时速度为8 m / s，求常数的值【答案】质点时的瞬时速度为，所以，即=2