2022高三总复习教案空间角、空间距离.doc
空间角、空间距离编稿：孙永钊 审稿: 张林娟【考纲要求】1、了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；2、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；3、利用向量法求空间角与距离；4、在解答题中综合考查空间想象能力，计算能力及数形结合思想。【知识网络】空间向量定义、加法、减法、数乘运算数量积坐标表示：夹角和距离公式求距离求空间角证明平行与垂直【考点梳理】考点一、空间向量有关知识一、空间直角坐标系1、空间直角坐标系及有关概念（1）空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴。这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，X轴，y轴，z轴统称坐标轴。由坐标轴确定的平面叫做坐标平面；（2）右手直角坐标系的含义是：当右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴方向时，中指一定指向z轴的正方向；（3）空间一点M的坐标为有序实数组（x,y,z）,记作M（x,y,z），其中x叫做M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。2、空间两点间的距离公式设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|=要点诠释：在空间直角坐标系中，点M（x,y,z）的坐标满足x2+y2+z2=1,则点M的轨迹是一个以原点为球心，以1为半径的球面。二、空间向量及其运算空间向量的概念及运算同平面向量基本相同。加减运算遵循三角形或平行四边形法则；数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算相同；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标。考点二、直线的方向向量与平面的法向量的确定1、直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量；2、平面的法向量可利用方程组求出：设，是平面内两不共线向量，为平面的法向量，则求法向量的方程组为。要点诠释：所列方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？（给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标。）考点三、空间向量与空间角的关系1、设异面直线，的方向向量分别为则，所成的角满足cos=|cos<>|;2、设直线的方向向量和平面的法向量分别为,则直线与平面所成角满足sin=|cos<>|;3、求二面角的大小如图，AB，CD是二面角-的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小=<,>如图，分别是二面角-的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos=cos<>或-cos<>考点四、点面距的求法如图，设AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则B到平面的距离要点诠释：对于以下几类立体几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；(5) 探索性问题运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程 【典型例题】类型一、利用空间向量求空间角【例1】如图所示，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上,PDA=60°.(1)求DP与CC所成角的大小;(2)求DP与平面AADD所成角的大小.【解析】如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz.则=（1，0，0），=(0,0,1).连接BD,BD.在平面BBDD中,延长DP交BD于H.设=(m,m,1) (m0),由已知,=60°,由·=|cos, ,可得2m=.解得m=,所以=（,1）.(1)因为cos,=,所以,=45°,即DP与CC所成的角为45°.(2)平面AADD的一个法向量是=(0,1,0).因为cos,=,所以,=60°,可得DP与平面AADD所成的角为30°.【总结升华】求空间角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角）一直是高考的热点，如果用几何法求需要作出这些角的平面角，对空间想象能力要求高。而用向量法求解时，只需利用公式。通过简单的向量运算即可解决，显示了向量这一工具巨大的作用。求二面角时，可以利用法向量求。举一反三：【变式】如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（2）求证：无论点E在BC边的何处，都有PEAF；（3）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°.【解析】（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.在PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，EFPC.又EF平面PAC，而PC平面PAC，EF平面PAC.（2）以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，），D（，0，0）.设BE=x，则E（x，1，0），·=（x，1，-1）·（0，）=0，PEAF.（3）设平面PDE的法向量为=(p,q,1),由（2）知=（，0，-1），=（x，1，-1）由，得=.而=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45°,sin45°=，=,得BE=x=-或BE=x=+（舍去）.故BE=-时，PA与平面PDE所成角为45°.【例2】ID 401043 【高清视频空间角、空间距离例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD,AP=AB=2，BC=2，E,F分别是AD，PC的中点。（1） 证明：PC平面BEF；（2） 求平面BEF与平面BAP夹角的大小。举一反三：【变式】如图，三棱锥PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB(I) 求证：AB平面PCB；(II) 求异面直线AP与BC所成角的大小； 来源:Z (III)求二面角C-PA-B的大小的余弦值【解析】(1) PC平面ABC,平面ABC，PCAB.CD平面PAB，平面PAB，CDAB又，AB平面PCB (2) 由(I) AB平面PCB，PC=AC=2，又AB=BC，可求得BC=以B为原点，如图建立坐标系则（,），（0,0,0）， C（,0），P（,2）=(,2)，=(,0,0)则=×+0+0=2 = 异面直线AP与BC所成的角为 （3）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)=(0, ,0),=(,2)，则 即解得令z= -1,得 m= (，0，-1) 设平面PAC的法向量为n=(x¢, y¢, z¢).(0,0,2), =(,0)， 则 即解得 令x¢=1, 得 n= (1，1，0) =. 二面角C-PA-B的大小的余弦值为二面角C-PA-B的大小的余弦值为 类型二、利用空间向量求空间距离【例3】已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1AC1.(1)求证：AC1平面A1BC；(2)求点C1到平面A1AB的距离；(3)求二面角A-A1B-C的余弦值.【解析】(1)如图，取AB的中点E，则DEBC，因为BCAC,所以DEAC,且A1D平面ABC,以射线DE,DC,DA1分别为x,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则A(0,-1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),设A1(0,0,t),C1(0,2,t),则=(0,3,t),=(-2,-1,t), =(2,0,0),AC1CB,BA1AC1,AC1平面A1BC.(2)由(1)知AC1平面A1BC,=-3+t2=0,得t=.来源:学科网设平面A1AB的一个法向量为n=(x,y,z), =(0,1,),=(2,2,0),所以设z=1,则.所以点C1到平面A1AB的距离.(3)设平面A1BC的一个法向量为m=(x1,y1,z1),=(0,-1,), =(2,0,0),所以设z1=1，则m=(0,1),故,由题意知二面角A-A1B-C为锐角.二面角A-A1B-C的余弦值为.【总结升华】利用向量法求点面距，其步骤如下：（1）求出该平面的一个法向量；（2）找出过该点的平面的任一条斜线段对应的向量；（3）求出法向量与斜线段所对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点面平面的距离，如图：点P到平面的距离。举一反三：【变式】在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示. 求点B到平面CMN的距离.【解析】取AC的中点O，连接OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO，ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABC=AC，SO平面ABC，SOBO.如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，则B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M（1，0），N（0，）.=（3，0），=（-1，0，），=（-1，0）.设=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，则，取z=1，则x=,y=-,=（，-，1）.点B到平面CMN的距离d=.
