2022高一物理教案第13讲 类碰撞问题（一）——弹簧与圆弧轨道问题.doc

第13讲 类碰撞问题（一）弹簧与圆弧轨道问题13.1弹簧问题 知识点睛相互作用的两个物体在很多情况下运动特征与碰撞问题类似，可以运用动量、能量守恒来分析，物块弹簧模型是一类典型的问题。我们首先结合下面的例子，说明如何分析物块弹簧模型的运动情景。【问题】如图所示，物块左端固定一轻弹簧，静止在光滑的水平面上，物体以速度向运动，假设与弹簧接触之后立即与弹簧粘连在一起不再分开，那么此后、与弹簧相互作用的过程中，运动情景如何呢？【分析】、的运动涉及追及相遇问题，重点要把握住：两物体距离最近（弹簧最短）或最远（弹簧最长）时二者的速度相等。 弹簧刚开始被压缩的过程中，受到弹簧的弹力向右做加速运动，受到弹力做减速运动，开始时的速度大于的速度，弹簧一直被压缩； 当的速度相等时，弹簧缩短到最短，此时弹簧的弹性势能最大； 此后由于继续减速，继续加速，的速度开始大于的速度，弹簧压缩量逐渐减小； 当弹簧恢复至原长时，弹性势能为零，的速度减至最小，的速度增至最大； 此后弹簧开始伸长，做加速运动，做减速运动； 当弹簧伸长至最长时，的速度再次相等，弹簧的弹性势能最大； 此后继续加速，继续减速，弹簧逐渐缩短至原长； 当弹簧再恢复至原长时，弹性势能为零，的速度增至最大，的速度减至最小。此后将重复上述过程。上面我们从受力和运动的角度，分析了弹簧的运动情景。如果两物体是在光滑水平面上运动，系统的动量守恒；在这个过程中只有两物体的动能和弹簧弹性势能的相互转化；因此，我们可以从动量和能量的角度来分析问题。设任意时刻、的速度分别为、，弹簧的弹性势能为。由动量守恒可得：；由能量守恒可得：；由此可以求解整个运动过程中各种速度及弹性势能的极值问题，具体结果请同学们自己分析。对比碰撞模型，我们会发现：从初始到弹簧压缩到最短的过程，实际上是一个完全非弹性碰撞的过程；从初始到弹簧第一次恢复原长过程，实际上是一个弹性碰撞的过程；两个模型所列出的动量、能量守恒方程类似（只是非弹性碰撞过程中损失的能量表现为弹性势能），因此我们可以直接套用上一讲碰撞问题中得出的结果。上面我们通过具体的情景，说明了物块弹簧模型的分析方法，对于不同初始状态（如两个物块都运动）、多物体多过程等其它复杂情况，请同学们结合具体问题自己进行分析。*教师版说明： 物块弹簧模型比较复杂，讲义中重点分析了运动情景并给出了利用动量能量守恒解决问题的思路，并没有给出速度和弹性势能的极值等结论，老师可以在分析的过程中推导结果。 老师可以重点说明一下物块弹簧模型与碰撞问题的相似性，直接用碰撞的结论可以简化很多问题。 由于学生可能没有学过简谐振动的内容，因此讲义中没有给运动过程中的图象；如果学生可以接受，老师也可以根据情况自己补充这个内容，加深对运动情景的理解。*例题精讲 *例题说明：例1、例2侧重对运动过程的分析，可以利用碰撞模型的结论对结果进行分析；例3结合图象分析运动过程并进行简单计算，此题只要求会读取有用信息即可，不要求学生明白为什么图象是这样的，因此不涉及简谐振动内容；例4计算速度及弹性势能等的极值；例5是简单变式，但本质仍是动量能量双守恒；例6、例7是涉及多物体多过程的问题。挑战极限部分的两道题难度较大，例8设问比较特别，需要通过假设进行推理；例9是竖直方向的弹簧模型，运动情景比较复杂，需要分析清楚运动过程才能正确求解。*【例1】 如图所示，、两物体质量相等，上连有一轻质弹簧，且静止在光滑的水平面上，当以速度通过弹簧与正碰，则A当弹簧压缩量最大时，的动能恰好为零B当弹簧压缩量最大时，弹簧具有的弹性势能等于物体碰前动能的一半C碰后离开弹簧，被弹回向左运动，向右运动D碰后离开弹簧，、都以的速度向右运动【答案】 B【例2】 在足够大的光滑水平面上放有两物块和，已知，物块连接一个轻弹簧并处于静止状态，物体以初速度向着物块运动，在物块与弹簧作用过程中（与弹簧接触后不再分开），两物块在同一条直线上运动，下列判断正确的是A弹簧恢复原长时，物块的速度为零B弹簧恢复原长时，物块的速度不为零，且方向向右C在弹簧压缩过程中，物块动能先减小后增大D在与弹簧相互作用的整个过程中，物块的动能先减小后增大【答案】 D【例3】 如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为和的两物块、相连接，并静止在光滑的水平面上。现使瞬时获得水平向右的速度，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图象信息可得A在、时刻两物块达到共同速度，且弹簧都是处于压缩状态B从到时刻弹簧由压缩状态恢复到原长C两物体的质量之比为D在时刻与的动能之比为【答案】 CD*教师版说明：例3只要求会读取有用信息即可，不要求学生理解为什么图象是这样的。如果有的学生理解能力较强，老师可以再补充一道物块弹簧模型的图象的题，此题完全讲白有难度，老师根据情况选用。【补充1】 如图所示，在足够大的光滑水平面上放有质量相等的物块和，其中物块连接一个轻弹簧并处于静止状态，物块以速度向着物块运动。当物块与弹簧作用时，两物块在同一条直线上运动。则物块、与弹簧相互作用的过程中，两物块和的图象正确的是【答案】 D*【例4】 如图所示，车质量为，沿光滑水平面以速度向质量为的静止的车运动，车撞上车后面的弹簧将弹簧压缩并与弹簧连接在一起，求在此后的运动过程中： 弹簧的最大弹性势能； 车的最大速度。【答案】 *教师版说明：下面再补充一道弹性势能计算的题目，供老师选用【补充2】 如图所示，在光滑的水平面上，物体原来静止，在物体上固定一个轻弹簧，物体以某一速度沿水平方向向右运动，通过弹簧与物体发生作用，若两物体的质量相等，在作用过程中弹簧获得的最大弹性势能为；现将的质量加倍，再使物体以同样的速度通过弹簧与物体发生作用（作用前物体仍静止），在作用过程中弹簧获得的最大弹性势能为，那么A BC D【答案】 B*【例5】 如图所示，、两滑块的质量均为，分别穿在光滑的足够长的水平固定导杆上，两导杆平行，间距为。用自然长度也为的轻弹簧连接两滑块。开始时两滑块均处于静止状态，今给滑块一个向右的瞬时冲量，求以后滑块的最大速度。【答案】【例6】 如图，、三个木块的质量均为，置于光滑的水平面上。、之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触但不相接，将弹簧压紧到不能再压缩时，用细线把、紧连，使弹簧不能伸展，以至于、可视为一个整体。现以速度沿的连线方向朝运动，与相碰并粘合在一起，以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使与、分离。已知离开弹簧后的速度恰为，求弹簧释放的势能。【答案】【例7】 如图所示，物块静止在光滑的水平面上，三者的质量均为。轻弹簧的左端与连接，右端与连接。弹簧处于原长，和紧靠在一起（不粘连）。现给物块方向水平向右、大小为的初速度，在以后的运动过程中物块没有相碰，求弹簧被拉伸最长时的弹性势能（设弹簧处于原长时的弹性势能为零）。【答案】挑战极限【例8】 如图所示，滑块、的质量分别为与，由轻质弹簧相连接置于水平的气垫导轨上，用一轻绳把两滑块拉至最近，使弹簧处于最大压缩状态后绑紧。两滑块一起以恒定的速率向右滑动，突然轻绳断开。当弹簧伸至本身的自然长度时，滑块的速度正好为。求： 绳断开到第一次恢复自然长度的过程中弹簧释放的弹性势能； 在以后的运动过程中，滑块是否会有速度为的时刻?试通过定量分析证明你的结论【答案】 ； 不可能出现滑块的速度为的情况【例9】 质量为的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为，如图所示。一物块从钢板正上方距离为的处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为时，它们恰能回到点。若物块质量为，仍从处自由落下，则物块与钢板回到点时，还具有向上的速度。求物块向上运动到达的最高点与点的距离。【答案】*教师版说明：下面再补充一道高考题，此题与前面讲义上的类型不太一样，知识的综合性较强，但整体难度不如挑战极限部分的两道题目，老师可以根据情况选用。【补充3】 光滑水平面上放着质量，的物块与质量的物块，与均可视为质点，靠在竖直墙壁上，、间夹一个被压缩的轻弹簧（弹簧与、均不拴接），用手挡住不动，此时弹簧弹性势能。在、间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图所示。放手后向右运动，绳在短暂时间内被拉断，之后冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道，其半径,恰能到达最高点。，求 绳拉断后瞬间的速度的大小； 绳拉断过程绳对的冲量的大小； 绳拉断过程绳对所做的功。【答案】 大小为 *13.2圆弧轨道问题 知识点睛圆弧轨道模型也是一类典型的问题，本质与碰撞问题类似。我们还是结合下面的情景说明分析方法。如图所示，质量为的滑块静止在光滑水平面上，滑块的光滑弧面底面与桌面相切，一个质量为的小球以速度向滑块滚来。若小球最终不会越过滑块，则在小球上升到最高点时（即小球在竖直方向上的速度为零），两者速度相等（方向均为水平方向）。在这个问题中，滑块和小球水平方向动量守恒，整个过程中能量守恒（只有小球的重力势能与二者动能的相互转化），我们仍然可以列出动量和能量守恒的方程进行求解，具体的计算请大家结合具体问题进行分析。对比碰撞模型，我们会发现：从初始状态到小球上升到最高点，类似完全非弹性碰撞的过程；从初始状态到小球最终从弧面上滚下与圆弧分离的过程类似弹性碰撞的过程；两者动量、能量守恒方程类似（只是动量守恒的方程对应的是水平方向的动量守恒、非弹性碰撞过程中损失的能量表现为小球的重力势能），同样可以利用之前的结论进行分析。圆弧轨道模型有时会有变式（与其它问题综合），如在圆弧轨道之前连接一段有摩擦的水平轨道（整体仍放在光滑水平地面上），这个附加过程类似“非弹性碰撞”问题，而且动能损失可以求解：。*教师版说明：圆弧轨道模型相对简单一些，讲义只分析了情景与思路，具体的计算老师可以结合例题讲解，有关圆弧轨道与板块模型综合的问题，没有过多讲。*例题精讲 *例题说明：例10、例11是对知识点的巩固和复习，这两道题都可以利用碰撞模型的结论，难度不大；例12涉及两个圆弧轨道，需要依次分析；例13考察圆弧轨道的运动细节，有一定难度；例14是一道圆弧轨道的变式，虽然没有出现圆弧模型，但本质仍然是水平方向动量守恒、重力势能与动能的转化；*【例10】 如图所示，质量为的滑块静止在光滑水平面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一个质量为的小球以速度向滑块滚来，设小球不能越过滑块，则小球刚到达最高点时，小球的速度大小为多少？滑块的速度大小为多少？【答案】 ，【例11】 带有(1/4)光滑圆弧轨道、质量为的滑车静止置于光滑水平面上，如图所示。一质量为的小球以速度水平冲上滑车，当小球上行再返回，并脱离滑车时，以下说法可能正确的是A小球一定沿水平方向向左做平抛运动B小球可能沿水平方向向左做平抛运动C小球可能做自由落体运动D小球可能水平向右做平抛运动【答案】 BCD 【例12】 两质量分别为和的劈和，高度相同，放在光滑水平面上，和的倾斜面都是光滑曲面，曲面下端与水平面相切，如图所示，一质量为的物块位于劈的倾斜面上，距水平面的高度为。物块从静止滑下，然后又滑上劈。求物块在上能够达到的最大高度。【答案】【例13】 如图所示，、两物体彼此接触静止放在光滑的桌面上，物体的上表面是半径为的光滑半圆形轨道，物体由静止开始从点下滑，设三个物体质量均为，刚滑到最低点时的速率为，则A和不会出现分离现象B当第一次滑到最低点时，和开始分离C当滑到左侧最高点时，的速度为，方向向左D最后将在桌面左边滑出【答案】 BCD【例14】 某根刚性管固定，一质量为的小球可在水管中水平移动。球连接一根长为的轻绳，下端接一质量为的小球。将球拉到与竖直方向成角的位置，松手后球下摆，求其摆到最低位置时的速度。【答案】挑战极限*例题说明：例15有一定难度，在水平轨道上有摩擦；重点是分析运动情景，涉及圆弧轨道运动过程中的受力和板块模型的一些内容，找到极值位置后利用动量能量守恒求解即可（类似一般非弹性碰撞），此题老师可以根据情况选讲，或放在下一讲板块问题一起讲。（主要是此题用到对圆弧轨道运动过程的分析，所以放在这讲）*【例15】 如图所示，质量的小车，静止在光滑的水平面上。车上段是一条直线段，长；部分是一光滑的圆弧轨道，半径足够大。今有质量的金属滑块以水平速度冲上小车，它与小车间的动摩擦因数。试求小车所获得的最大速度值。（取）【答案】