关于两个随机变量和的分布类型的研究.docx

关于两个随机变量和的分布类型的研究 摘要：在概率论的学习中，学生对于两个随机变量和的分布类型很迷茫，简洁地认为两个连续型随机变量的和肯定是连续型，离散型与连续型随机变量的和既非离散型也非连续型。本文证明白一个离散型随机变量与一个连续型随机变量的和在肯定条件下为连续型随机变量，发觉两个连续型随机变量的和却不肯定是连续型随机变量，而两个非连续型随机变量的和也可能为连续型随机变量. 关键词：随机变量；离散型；连续型；相互独立 中图分类号：G648 文献标识码：B 文章编号：1673-157801-0020-02 1.在概率论的学习中，常常会遇到两个随机变量函数的分布，特殊是两个随机变量和的分布 许多文献都着重探讨如何求两个随机变量和的分布，找寻好的解题方法与技巧，而对于和的分布类型却很少探讨。而有许多学生误以为两个连续型随机变量的和肯定是连续型，离散型与连续型随机变量的和既非离散型也非连续型。本文主要分三种不怜悯况对两个随机变量和的分布类型进行分析. 2.两个离散型随机变量和的分布 由于离散型随机变量是只取有限个值或者可列个值的随机变量，它们的和当然也只取有限个值或可列个值。所以两个离散型随机变量的和肯定是离散型。且当 与 相互独立时，有下面的结论： 定理2.11设X，Y均为离散型随机变量且相互独立，其中X，Y的分布律分别为 则X，Y的分布律为 例12 设随机变量X与Y相互独立，它们都取非负整数值，且分布律分别为 则X+Y的分布律为 式称为离散卷积公式. 例如：若，X与Y相互独立，则； 若，X与Y相互独立，则 3.离散型随机变量与连续型随机变量和的分布 定理3.1 设 为一离散型随机变量，其分布律为 而Y为连续型随机变量，其概率密度为且X与Y相互独立，则Z=X+Y也肯定是連续型随机变量，其概率密度为 证明 设Z的分布函数为。由于 组成一个完备事务组，又，则有意义，因此由全概率公式得 因为X与Y相互独立，则 因此 从而 例2 设随机变量X的概率分布为 ，Y听从上的匀称分布，且X与Y相互独立，求Z=X+Y的密度函数. 解： 的密度函数为 解 由于组成一个完备事务组，且X与Y相互独立，由定理3.1知，Z=X+Y为连续型随机变量，其密度函数为 于是Z=X+Y的密度函数为 4.两个连续型随机变量和的分布 引理4.14 设是二维连续型随机变量，其联合概率密度为f，则Z=X+Y为连续型随机变量，且概率密度为 定理4.14 设X与Y相互独立，均为连续型随机变量，其概率密度分别为fx，fy.则Z=X+Y为连续型随机变量，概率密度为 证明 因为X，Y均为连续型随机变量且相互独立，则也是二维连续型随机变量，且联合概率密度为，再由引理4.1知Z=X+Y为连续型随机变量，且式成立. 例34 设X与Y相互独立，且 .则Z=X+Y仍旧听从正态分布，且 由定理4.1知两个相互独立的连续型随机变量的和仍是连续型随机变量.但假如把定理4.1中的"X与Y相互独立"这个条件去掉.对于随意两个连续型随机变量的和结论是否成立呢？我们先看下面的例子. 例4设随机变量X与Y相互独立，X听从参数为12的0-1分布， 令求 的分布函数为 解 由于组成一个完备事务组，由全概率公式得 因此即Z为连续型随机变量. 分析：因为 所以Z+Y与Z-Y都不是连续型随机变量。而Z和Y都是连续型随机变量，也就是说两个连续型随机变量的和不肯定是连续型，当然这时Z和Y不独立.我们再来视察，是一连续型随机变量，说明两个非连续型随机变量的和却有可能为连续型. 5.结论 以上分析表明，两个离散型随机变量的和是离散型，两个连续型随机变量的和不肯定是连续型随机变量，而两个非连续型随机变量的和却有可能为连续型随机变量.对于一个离散型随机变量与一连续型随机变量的和在肯定条件下为连续型随机变量. 参考文献 1 吴赣昌. 概率论与数理统计M. 北京：中国人民高校出版社，2022. 101-102. 2 张立卓，李博纳，许静. 概率论与数理统计解题方法与技巧M. 北京：北京高校出版社，2022. 94-113. 3 魏宗舒等. 概率论与数理统计教程M. 北京：高等教化出版社，2022. 136-137 4 韩旭里，谢永钦. 概率论与数理统计M. 上海：复旦高校出版社，2022. 78-79. 第5页 共5页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页