2022高三总复习教案椭圆.doc
椭圆【考纲要求】1.了解椭圆图形的实际背景及形成过程；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；3.掌握椭圆的简单应用；4.理解解析几何中数形结合思想的运用.【知识网络】椭圆数形结合思想标准方程及简单性质椭圆的实际背景及定义【考点梳理】【高清课堂：椭圆及其性质404776 知识要点】考点一、椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.要点诠释：（1）若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.（2）确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。考点二、椭圆的标准方程（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；要点诠释：（1）只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；（2）在椭圆的两种标准方程中，都有和；（3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，.考点三、椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）范围：，（2）焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距，（3）离心率是且；椭圆的的简单几何性质（1）范围：，（2）焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距，（3）离心率是.考点四、椭圆图像中线段的几何特征椭圆的图像如图所示（1），；（2），；（3）,，；（4）中常利用余弦定理、三角形面积公式：，将有关线段、，有关角()结合起来，建立、的关系.考点五、椭圆与（ab0）的区别和联系标准方程图形性质焦点，焦距范围，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点，轴长轴长=，短轴长= 离心率准线方程*焦半径*，要点诠释：椭圆，（ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有ab0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。【典型例题】类型一：求椭圆的标准方程例1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.【思路点拨】先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）.【解析】方法一：因为有焦点为，所以设椭圆方程为，,由，消去得，所以 解得故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方程 ,因为弦AB中点,所以，由得,（点差法）所以 又 故椭圆标准方程为.【举一反三】【高清课堂：椭圆及其性质404776 例2】【变式1】如果方程表示焦点在Y轴上的椭圆，求实数的取值范围。【解析】把整理为标准方程：因为焦点在Y轴上，所以解得【变式2】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标准方程为()，并有，解之得，, 椭圆标准方程为类型二：圆锥曲线的焦点三角形例2已知、是椭圆（）的两焦点，P是椭圆上一点，且，求的面积.【思路点拨】如图求的面积应利用，即.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有，易求之.【解析】设, 依题意有(1)2-(2)得，即.【举一反三】【变式1】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线. 求椭圆的方程； 设点P在椭圆上,且,求.【答案】 . 设则 ，又 .类型三：椭圆中的几何性质例3. 已知椭圆上的点和左焦点，椭圆的右顶点和上顶点，当，（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.【思路点拨】因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.【解析】设椭圆方程为（），则，即.，即，.又，.【总结升华】求椭圆的离心率，即求的比值，则可由如下方法求.（1）可直接求出、；（2）在不好直接求出、的情况下，找到一个关于、的齐次等式或、用同一个量表示；（3）若求的取值范围，则想办法找不等关系.【举一反三】【变式1】如图，椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使. 求椭圆的离心率.【答案】设椭圆的方程为（），焦距为, 则直线l的方程为:,由，消去得, 设点、,则, C点坐标为.C点在椭圆上,. 又 【变式2】设、为椭圆的两个焦点，点是以为直径的圆与椭圆的交点，若，则椭圆离心率为_.【答案】如图，点满足，且. 在中，有： ， , 令此椭圆方程为 则由椭圆的定义有 , 又 ， ， ，即.例4已知、为椭圆的两个焦点，为此椭圆上一点，且.求此椭圆离心率的取值范围；【解析】如图，令, ,则在中，由正弦定理 ，令此椭圆方程为 (),则, 即 （）， , ,且为三角形内角， , , .即此椭圆离心率的取值范围为.【举一反三】【变式1】椭圆中心在坐标系原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆P、Q两点，且OPOQ，求其离心率e的取值范围【答案】 e,1)【变式2】双曲线 (a>1,b>0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和sc求双曲线的离心率e的取值范围【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线的距离同理得到点(-1,0)到直线的距离=由sc,得c,即5a2c2于是得52e2即4e4-25e2+250解不等式,得e25由于e>1,所以e的取值范围是类型五：轨迹方程例5已知中，,为动点，若、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程.【思路点拨】充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视解法一：设动点,且,则、边上两中点、的坐标分别为,., ,即.从上式知，动点到两定点,的距离之和为常数30，故动点的轨迹是以,为焦点且,的椭圆，挖去点.动点的轨迹方程是 ().解法二：设的重心 ，,动点,且，则.点的轨迹是以,为焦点的椭圆（挖去点），且,.其方程为().又, 代入上式，得()为所求.【总结升华】求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.【举一反三】【变式1】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，.动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，b2=12，故所求轨迹方程为.【变式2】若动圆与圆:相外切，且与直线:相切，求动圆圆心的轨迹方程.法一：设,动圆半径，动圆与直线切于点，点.依题意点在直线的左侧，故,.化简得, 即为所求.法二：设,作直线：.过作于，交于，依题意有, ,由抛物线定义可知，点的轨迹是以为顶点，为焦点，：为准线的抛物线.故为所求.
