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问题解决数学教学模式的价值与策略 摘 要:数学教学不仅要教给学生数学学问,而且还要揭示运用学问解决问题的过程。随着新的数学课程标准的制定,我们起先思索怎样的数学教学才是有利于学生发展的教学,针对当前数学教学中存在的现实问题,我们制定“问题解决”数学教学模式。本文从数学历史发展以及教化探讨的角度透视问题解决的探讨价值所在。然后把目光转向国内数学教化的理论探讨与实践,洞察国内数学问题解决探讨的现状以及数学教学实践层面存在的问题,并具体讲解了基于问题解决的教学策略。 关键词:问题解决 教学策略 过程策略 方法策略 谈到数学问题解决的探讨,波利亚 (G.Polya)是无法回避也不能回避的重要人物。作为数学家,波利亚在众多的数学分支,如函数论、变分学、概率论、数论、组合数学以及计算和应用数学等领域多有建树,留下了很多以他的名字命名的术语和定理。在数学教化方面,波利亚对数学教化的发展所起的作用及其产生的影响特别之大。他曾以数十年的时间悉心探讨数学启发法和数学教学,为数学问题解决和数学方法的现代探讨奠定了必要的理论基础。他反复指出,数学教化的目的不仅仅是传授学问,还要发展“学生本身的内蕴实力”。 纵览波利亚在这方面的几部主要著作,即怎样解题数学的发觉数学与猜想等,而他在怎样解题一书中提出:数学问题解决的技巧不仅好玩,而且问题解决还让我们把课堂上学到的原理尽可能广泛地应用。他所说的技巧指的是“探究法”或“启发”,其目的是要“学习发觉和创建的方法和规则”。而且在任何一个问题的解决中都有“发觉的收获”,“你要解答的题目可能很平常,但是假如它激起你的新奇心,并使你的创建力发挥出来,而且假如你用自己的方法解决了它,那么你就能经验那种惊慌状态,而且享受那种发觉的喜悦。”他提出了下面的一些启发式方法: 1.理解问题。什么是未知的?数据有哪些?条件是什么?作出图表,给出适当的说明,把条件分类。 2.拟订方案。找出数据与未知之间的联系,以前你见过它吗?你知道与它相关的问题吗? 3.执行方案。检查每一个步骤,你能确定每一步都正确吗?你能证明吗? 4.回顾检查。你能检查得到的结果对错与否吗?你能检查论据吗?你能用其他方法得到结果吗?你能用此结果或方法解决某些其他问题吗? 现在,世界上几乎全部的国家都已将提高学生问题解决的实力作为数学教化的主要目标之一,问题解决亦己成为国际数学教化探讨的一个热点。问题解决的教学模式快速地为各国的数学教化教学工作者所接受。在11016年召开的第八届国际数学教化大会上,各国确立的将来数学课程目标的共同点是:1.帮助学生树立正确的数学观; 2.培育学生基本的数学素养;3.帮助学生提高数学思维实力;4.培育应用数学解决问题的实力,以及利用数学模型解决肯定的实际问题的实力。在这一形式下,问题解决快速占据了数学教化中的重要地位。 一、于问题解决的数学教学策略 1.学会“数学的思维” 例.老师通过变更传统的“典型”应用题,创设以下问题情景:“一位客车司机以73km/h的速度开车行驶,发觉对面开来一列货车,这列货车从他身边驶过去用了8s。”让学生揣测客车司机的可能想法,相互探讨,自编应用题。 (1)数学的谈论。 甲:依据客车的速度,我能估计货车的速度(很多学生认为估计速度比较难)。 乙:我会数一数,货车有几节车厢? 丙:我会想一想,货车有多长? 乙:知道货车有几节车厢,就能算出货车的长度。 丁:那首先得知道一节车厢有多长。 师:你知道一节车厢有多长吗?假如不知道怎么办? 学生提出以下几种方案:去实地量一量;自己查找资料;老师供应。 也有学生认为,客车司机应当能知道一节车厢的长度。 把探讨的问题用数学语言描述,可编出以下较为困难的应用题: 应用题1:一列客车以73km/h的速度行驶,客车的司机发觉对面开来一列货车,速度是54km/h,这列货车从他身边驶过去用了8s,求这列货车的长。 应用题2:客车司机以73km/h的速度行驶,发觉对面开来一列货车,货车长280m(或编成:数一数是14节,已知每节车厢长20m),从他身边驶过去用了8s,求这列货车的速度。 (2)数学的思维(即探究“问题解决”的策略)。 通过编题把上述“实际问题”纳入到数学“行程问题”的学问结构之中,接着可对这一困难问题进行剖析,使之成为较为熟识、较为简洁的模式。 策略1:把上述问题看成客车头与货车车尾的关系,则这是一个“客车车头”与“货车车尾”的“相遇问题”,而货车车长则是相遇的距离。于是对于应用题1,可解答如下: (54000+73000)÷3600×8=280(m) 对于应用题2,则有: 280÷(8÷3600)-73000=54(km) 策略2:把上述问题看成客车司机与货车车头的关系,建立数学模型,则这是一个“背向而行”的问题,其解答方法与上述相同。 策略3:对应用题1还可以按相对论 的观点,把货车看成是静止不动的,则只须把客车速度转化为(73+54)km/h,就可得到一个一般的行程问题,即已知客车速度为(73+54)km/h和行使的时间为8s,求行使的路程(即货车车长)。 2.问题解决的过程策略 创设贴近学生生活的状况,在感觉情境中,发觉数学问题是问题解决的过程策略。 (1)感受情境 某城市是否会受到台风的影响;若会受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长;该城市受到台风影响的最大风力为几级。 (2)对情境进行描述 据气象站观测沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米处,风力就会减弱一级,该台风中心现在以15千米/小时的速度沿北偏东30。方憧憬C方向移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或超过四级则算为受台风影响。 该城市是否会受到这次台风的影 响?请说明理由。 若会受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长? 该城市受到台风影响的最大风力为几级? (3)表征数学问题 城市为A,台风中心为B,台风由B向C移动经过E、D、F点,推断A是否受到台风影响。 (4)解决问题 在“阅读理解”的过程中,可以边读边画草图,这样有助于分析,其次,必需理解受台风影响的范围应是以A为圆心,(12-4)×20千米为半径的圆内,即该城市是否受台风影响必需视察A到BC的最小距离是否小于圆的半径,而第小题,求该城市受影响的时间,由于已知台风前进的速度,因此只须求出行驶的距离。第小题求城市受到的最大风力应考虑到A到BC的最短距离(垂线段)应受到的风力最大,依据题意结合视察图形,自然可以联想到勾股定理、垂径定理及从l到直线垂线段最短的数J货模型,从而就可解决问题。 3.问题解决的方法策略 坐标法、复数法和函数法是数学问题解决的常用方法策略。 (1)坐标法 建立坐标系,通过这种方法,一方面可把几何问题映射为代数问题,通过代数结论去获得几何结论,另一方面,又可把代数问题映射为几何问题,通过几何结论获得代数结论。 例.求证:对任一xR,+5。 分析:假如用代数中证明不等式的方法去证明,难度很大。但是,我们可以借助坐标系将代数问题映射为几何问题,通过几何结论去获得代数结论。于是,可先将求证式转化为:+ 5 此式表明:动点(x,0)到(4,2)、(0,1)距离之和以5为最小,建立平面直角坐标系并作出点A(0,0),B(4,2),M(x,0)以及B点关于x轴的对称点B"(4,-2)(见图2), 因为MB=MB, 所以MA+MB=MA+MB 当MA+MB最小时, 点A、M、B应在始终线上,其最小值即线段AB之长,得: =5 (2)复数法 把笛卡尔平面换成高斯平面,那么复平面上的点与复数集建立了一一映射,可把待解决的问题映射为有关复数的关系结构系统。 例.已知抛物线y2=x+1,定点A(3,1),B为抛物线上随意一点,点P在线段AB上,且有BPPA=12,当P在抛物线上变动时,求点P的轨迹方程,并指出这种轨迹为哪种曲线? 分析:这是道纯粹的毫不涉及复数学问的解析几何题。然而,当我们把所给的平面视为复平面,利用复数法进行处理,其解答效果就不同了。 如图3,设ZA=3+i,ZB=x1+y1i,ZP=x+yi分别表示点A、B、P所对应的复数,则向量PB可看成PA按逆时针方向绕点P旋转180。并把模缩小到原来的1/2而得到的向量,于是有 =(cos+isin) 故ZB-ZP=(ZA-ZP)(-1) 得x1+y1i-(x+y1i) =(3+i)-(x+y)·(-1) 即(2x1-3x+3)+(2y1-3y+1)i=0 所以2x1-3x+3=0,2y1-3y+1=0?圯 x1=(x-1),y1=(3y-1) 因为点B(x1,y1)在抛物线y2=x+1上, 所以(3y-1)2=(x-1)+1 故x=y2-y+, 因而,此轨迹为抛物线。 二、结束语 数学问题解决的教学应面对全体学生,贯穿于整个数学活动中,运用什么样的方法和途径去培育数学问题解决实力,使每一个学生真正成为问题解决的胜利者?这是我们数学老师始终要探讨的问题。 参考文献: 1沈丹丹.数学问题解决过程的教学策略J.浙江师高校报(自然科版).2001. 2杨秀萍.数学应用问题的解决策略J.宁波教化学院学报.2003. 3刘定霞.关于“问题解决”的数学教学的实践与探讨J.2003. 作者单位:江苏联合职业技术学院徐州机电工程分院,江苏科技高校数理学院 第9页 共9页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页