基于改进非支配排序遗传算法的正铲挖掘机工作装置优化设计-徐弓岳.pdf

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1、 机 械 工 程 学 报 JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING 第 52 卷第 21 期 2016 年 11 月 Vol.52 No.21 Nov. 2016 DOI： 10.3901/JME.2016.21.035 基于改进非支配排序遗传算法的正铲挖掘机 工作装置优化设计*徐弓岳1, 2丁华锋1, 2孙玉玉1, 2(1. 先进锻压成型技术与科学教育部重点实验室 (燕山大学 ) 秦皇岛 066004； 2. 燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室 秦皇岛 066004) 摘要： 采用多目标进化算法对正铲挖掘机工作装置进行优化设计，目标是水平直线挖掘铲斗切削后角变

2、化量、主要挖掘区域内纵向斗杆挖掘最大挖掘力和纵向铲斗挖掘最大挖掘力 3 个性能指标。针对 NSGA-II 处理具有复杂 Pareto 最优前端优化问题能力不足的问题，提出动态拥挤排序策略，提高算法求解的多样性，引入差分算子和柯西变异算子，提高算法的全局寻优能力。使用 ZDT 系列测试函数对改进算法进行测试研究，结果表明改进算法的收敛性指标和多样性指标均有很大提高，能够很好地处理具有复杂 Pareto 最优前端的优化问题。基于改进的优化算法对正铲挖掘机工作装置进行优化设计，并利用理想解法得到了最满意优化方案，优化结果表明了改进算法应用于实际工程问题的有效性和可行性。 关键词 ： 正铲挖掘机；工作

3、装置；多目标优化； NSGA-II；理想解法 中图分类号 ： TH122； TU621 Optimization of Face-shovel Excavators Attachment Based on Improved NSGA-II XU Gongyue1, 2DING Huafeng1, 2SUN Yuyu1, 2(1. Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science (Yanshan University), Ministry of Education of China, Qinhuangdao

4、 066004； 2. Hebei Provincial Key Laboratory of Parallel Robot and Mechatronic System, Yanshan University, Qinhuangdao 066004) Abstract： A multi-objective evolutionary algorithm is applied to optimize the face-shovel excavator attachment, which sets the variable quantity of buckets cutting angle in e

5、xcavating along horizontal line, the stick digging force and the bucket digging force in vertical direction in main digging range as optimization goals. Aiming at improving the performance of NSGA-II in the optimization problems of complicated Pareto front, a dynamic sorting algorithm is designed to

6、 improve the diversity. Differential evolution operator and Cauchy mutation operator are proposed for improving the convergency and the ability of global optimization. By using a class of continuous multi-objective optimization test instances to test the improved NSGA-II, the experimental results in

7、dicate that the proposed algorithm could significantly outperform NSGA-II on these test instances. The proposed algorithm is applied to a practical example of face-shovel excavator, and can make use of TOPSIS to select the most satisfied schedule from the Pareto set. The comparison with other scheme

8、s testifies the feasibility and effectiveness of the improved NSGA-II. Key words： face-shovel excavator； working device； multi-objective optimization； NSGA-II； technique for order preference by similarity to ideal solution 0 前言*液压挖掘机在建筑、交通运输、水利施工、露 国家优秀青年科学基金 (51422509)和国家自然科学基金 (51275437)资助项目。 2015

9、1110 收到初稿， 20160825 收到修改稿 天采矿及现代化军事工程中都有着广泛应用，是各种土方施工中不可缺少的一种重要机械设备。正铲挖掘机具有较大的挖掘力和掘起力，能实现铲斗的水平直线挖掘，很好地满足了矿产的分层开采，清理和平整作业场地的要求。正铲工作装置的尺寸是挖掘机设计中极为重要的部分，它直接影响着整机万方数据 机 械 工 程 学 报 第 52 卷第 21 期 期 36 工作效率及作业性能。正铲工作装置的优化问题是多变量、多约束、多目标的非线性优化问题。蒋炎坤等1将斗杆挖掘力和铲斗挖掘力线性加权后作为目标函数，通过遗传算法对挖掘机工作装置进行优化设计。卜祥建等2将力学性能和工作尺寸

10、通过线性加权统一为一个目标，通过广义既约梯度算法对挖掘机工作装置进行多目标优化。杨莹等3将挖掘图谱指标通过线性加权转换为单一目标，采用复合形法对正铲挖掘机进行优化设计。张羽林等4基于ADAMS 的挖掘机工作装置仿真优化研究表明，工作范围和力学性能的多个目标之间相互制约，在进行优化时需要进行综合考虑。邱清盈等5提出了一种基于全局灵敏度分析的复杂优化模型的分解方法，对反铲挖掘机工作装置进行了多目标优化，取得了很好的效果。早期的多目标优化方法通过加权组合、目标规划等将多个目标转化为单目标优化问题来处理， 但权系数的设置要求有很强的先验知识，而且一次优化只能得到一组最优解，无法得到综合考量各方面性能的

11、最优解集。基于 Pareto 支配关系的优化算法能使种群收敛到一个不被其他任何解支配的 Pareto 最优解集，已被成功应用于许多领 域6-8，是当前多目标优化算法的研究热点。本文采用基于 Pareto 支配关系的非支配排序遗传算法(Non-dominated sorting genetic algorithm II, NSGA-II)来进行正铲挖掘机工作装置的优化设计。 1 正铲挖掘机工作装置的数学模型 1.1 正铲挖掘机工作装置的结构 正铲工作装置由动臂、斗杆、铲斗和工作液压缸等组成。本文将整个工作装置作为一个整体进行研究，工作装置与机身连接点、各部件尺寸、各部件之间的铰点、工作液压缸参数

12、共同决定了工作装置的性能。 图 1 正铲挖掘机三维模型 正铲挖掘机工作装置的数学模型如图 2 所示，以回转中心和停机面的交点为原点，水平方向为 x轴，竖直方向为 y 轴建立坐标系，本文一共选取了23 个设计变量 123123, , , , , , , ,A AEE AB AGBG AF BF AI BIBC BH CH CJ CD DJxyxyLLLLLLLLLLLLLLLL=X式中， xA， yA， xE， yE分别为铰点 A 和铰点 E 的坐标； LAB， LBC， LCD分别为动臂、斗杆、铲斗的长度；LAG， LBG， LAF， LBF， LAI， LBI， LBH， LCH， LCJ，

13、 LDJ为各个铰点间的距离； L1， L2， L3，1 ，2 ，3 分别为动臂液压缸、斗杆液压缸、铲斗液压缸的全缩值和伸缩比 。 图 2 正铲工作装置的数学模型 1.2 目标函数 正铲挖掘机主要用于采矿及装载作业，在挖掘过程中以纵向斗杆挖掘为主，动臂缸及铲斗缸起调节铲斗位置和切削角度的作用。 当斗杆推压结束时，铲斗缸伸出，对物料面进行破碎，并进一步充斗，然后动臂缸举升使铲斗提升。正铲挖掘机必须保证挖掘过程中斗杆缸能够产生足够的推压力，同时也要考虑铲斗缸的破碎能力和动臂缸的提升能力，这些都是保证正铲挖掘机工作装置正常工作的必要条件。 正铲液压挖掘机常用于矿产的分层开采以及平整地面，水平直线挖掘是

14、其重要性能 (图 3)。本文将正铲挖掘机停机面上水平直线挖掘过程中铲斗切削后角的变化量作为目标函数。 图 3 水平直线挖掘工况 ()1maxminF = = x(1) 大型正铲液压挖掘机的铲掘对象主要是爆破后的矿石和岩石，在实际挖掘中挖掘阻力的瞬间变化存在很大的随机性，这导致挖掘过程中载荷情况万方数据月 2016 年 11 月 徐弓岳等：基于改进非支配排序遗传算法的正铲挖掘机工作装置优化设计 37 复杂。且由于挖掘过程的复杂性，很难对挖掘阻力进行直接分析。目前，关于矿用正铲液压挖掘机的载荷谱研究没有相应的经验公式可循，本文在挖掘力计算时仅考虑沿斗齿运动切线方向的挖掘力9-10。 正铲挖掘机以纵

15、向挖掘为主，本文将主要挖掘区域内纵向斗杆挖掘最大挖掘力和纵向铲斗挖掘最大挖掘力作为目标函数。在进行挖掘力计算时还需考虑各液压缸闭锁条件、前倾限制条件、后倾限制条件、地面附着条件等限制因素9-10。斗杆挖掘力 1,minab deFFFF=c铲斗挖掘力 2,min ,ab ecdFFFF=(2) 式中， Fa为主动液压缸的理论挖掘力， Fb， Fc分别为其他两组工作液压缸闭锁条件限制的挖掘力， Fd为整机与地面附着条件限制的挖掘力， Fe为整机前倾或后倾条件限制的挖掘力。 本文的优化算法以目标最小化为进化方向，目标函数为 21max32a()()FCFFCF=xx(3)式中， C 为常数，本文取

16、为 500 kN。 1.3 约束处理 工作装置的约束条件主要有：几何条件约束、运动转角约束、作业范围约束、力学和稳定性约束。为提高运算效率，我们针对不同性质和重要程度的约束进行分级处理。只有在满足前一级约束的情况下才能进入下一级运算。第一级约束主要为几何条件、运动转角约束，第二级约束主要为作业范围约束，第三级为力学性能和目标函数。由于约束众多，不在此一一罗列。 2 基于 Pareto 占优的 NSGA-II 算法 2.1 Pareto 最优解 多目标优化问题大量存在于工业制造，能源分配，资本预算等众多领域，如何取得这些问题的最优解，一直是学术界关注的焦点。 Pareto 最早从政治经济学的角度

17、提出了 Pareto最优解这一适用于多目标优化的概念。 定义 1(Pareto 占优 )。设 x1， x2是多目标问题F(x) = 12(), () ()mff fxx x，的可行解，优化方向为最小化，若满足 121, 2, , ( ) ( )iiimff x xnull 121, 2, , ( ) ( )kkkmff null2.3 改进 NSGA-II 算法 2.3.1 动态拥挤排序策略 NSGA-II 通过计算非支配解的拥挤距离，对非支配解进行排序，去掉拥挤距离较小的解，目的是提高解集的多样性，但该方法没有考虑当单个解被淘汰后其余解拥挤距离的变化情况，无法实时地反映拥挤距离的变化。在改进

18、 NSGA-II 中，本文采用动态拥挤排序策略，实时计算拥挤距离，提高解集的多样性。动态拥挤排序的伪代码如下 crowding distance sortnon - dominated sorti find(sum(rank) N);%delete by the nondominated rank=N-sum(rank j % delete by the crowding distancedistance = calculate_distance(pop);=d min(distance);pop(d) = null;n = size(pop);end=2.3.2 差分算子 NSGA-II 在

19、生成子代个体时采用的是模拟二进制交叉13和多项式变异14，这两种算子在处理具有复杂 Pareto 最优前端的优化问题时能力有限，解集不能完全覆盖 Pareto 最优前端，而且收敛精度不高15-16。 差分进化算法 (Differential evolution, DE)是由STORN 等17于 1995 年提出的一种采用浮点矢量编码在连续空间中进行随机搜索的优化算法。在 2006年 IEEE 举办的进化计算会议 (Congress on evolutionary computation, CEC)的约束实参数竞赛中， DE 获得第一名； 2009 年 CEC 不确定优化问题竞赛中， DE 又获

20、得第一名18。 DE 原理简单，受控参数少，具有很好的全局开发和局部探索能力，已成为最流行和最实用的进化算法之一。本文将 DE算子引入 NSGA-II 中，增强 NSGA-II 的优化性能。 本文采用具有良好的全局寻优能力的DE/rand/1/bin 差分变异方式生成试验个体 ()2,iG iG r G r GF=+ 1,VX X X(5) 式中， Xi,G为第 G 代种群的个体 i， Xr1,G， Xr2,G为第G 代种群中随机抽取的不同个体 r1、 r2， F 为缩放因子，经验选取范围为 0.4 1.0， Vi,G为差分变异得到的试验个体。 再将 Vi,G与 Xi,G的每一维变量按式 (6

21、)进行交换得到新个体 , 1,ijGijGijGvuCjrxx=+或其他(6) 式中， xi,j,G表示 Xi,G的第 j 维变量， vi,j,G表示 Vi,G的第 j 维变量， C 为交换概率，选取范围为 01， r 为1,m内的随机整数， u 为 0,1内的随机数。 在 DE 算法中还有比较子代个体与父代个体优劣的“选择”算子，而 NSGA-II 算法带有精英保留策略， 所以在改进 NSGA-II 中没有 DE 算法中的 “选择”算子。 DE 中的父代是随机选取的，在改进NSGA-II 中去掉了“联赛选择”算子。 2.3.3 随机变异算子 NSGA-II 中，采用的是多项式变异，其全局寻优

22、能力与局部探索能力较均衡，但在处理具有复杂Pareto 最优前端的优化问题时能力不足，在本文提出的改进 NSGA-II 算法中，引入了全局寻优能力更加出色的柯西变异，以随机变异的形式，综合两种变异方式的优点，提高算法的优化能力19。随机变异算子如下 万方数据月 2016 年 11 月 徐弓岳等：基于改进非支配排序遗传算法的正铲挖掘机工作装置优化设计 39 ()()(),1,*0,1 0.5*( )uliGiGuliG mCu+ 最大进化代数 Tmax) 如果满足终止条件，进化停止，输出结果，否则返回第 2.4.2 节。 3 算法测试 多目标优化算法的设计必须围绕着如何有效地实现这 3 个目标：

23、 一组数量尽可能大的非支配解集； 解集必须尽可能逼近问题的 Pareto 最优前端 (收敛性 )； 解集要尽可能均匀地分布在整个Pareto 最优前端 (多样性 )。 为测试改进 NSGA-II 的性能，本文采用多目标优化算法常用的 ZDT 系列测试函数20进行算法测试， 并采用多目标优化性能指标进行量化比较。 ZDT系列函数均为多变量的无约束优化问题，其中ZDT3、 ZDT4、 ZDT6 函数具有复杂的 Pareto 最优前端，能够很好测试优化算法的性能。 ZDT1 ()11 1212min ( )min ( ) (1 )() 1 9 ( 1)s.t. 0 1 1, 2, , 30miiif

24、x xfgfggxmxi mm=+ = =xxnull(8)函数特征： Pareto 最优前端为凸。 ZDT2 ()11 12212min ( )min ( ) (1 )() 1 9 ( 1)s.t. 0 1 1, 2, , 30miiifx xfgfggxmxi mm=+ = =xxnull(9)函数特征： Pareto 最优前端为凹。 ZDT3 ()11 121112min ( )min ( ) (1 sin(10 )() 1 9 ( 1)s.t. 0 1 1, 2, , 30miiifx xf gfgfg fgxmxi mm= =+ = =xxnull(10)函数特征： Pareto 最

25、优前端为凸且不连续。 ZDT4 11 121221min ( )min ( ) (1() 1 10 1) ( 10cos(4 )s.t. 0 1 5 5 2,3, , 10miiiifx xfx g fggmx xxxim=+ + = =x）（null(11)函数特征： Pareto 最优前端为凹。 ZDT6 ()611 1 12210.252min ( ) 1 exp( 4 )sin (6 )min ( ) (1 )() 1 9( ( 1) )s.t. 0 1 1, 2, , 10miiif xxxfgfggxmxi mm= =+ = =xxnull(12)函数特征： Pareto 最优前端

26、为凸，非均匀分布。 改进 NSGA-II 的相关参数设置与文献 11相同，差分算子的参数按照经验范围选取。 表 1 优化算法参数设置 参数 NSGA-II 改进 NSGA-II 最大进化代数 250 250 种群规模 100100 锦标赛规模 2 交叉概率 0.9 0.9 变异概率 1/m 1/m 缩放因子 0.5 差分交换概率 0.3 模拟二进制交叉系数 20 多项式变异系数 20 20 注： m 为设计变量维数。 为量化比较改进 NAGS-II与 NSGA-II的优化性万方数据 机 械 工 程 学 报 第 52 卷第 21 期 期 40 能，本文采用文献 11提出的多目标优化算法的两种性能

27、指标进行分析。 收敛性指标 1nkminkdn=(13) 式中， dkmin为 Pareto 最优解集中第 k 个解到真实Pareto 最优前端全部参考点的欧氏距离的最小值， n为解集规模。 收敛性指标 越小，算法逼近 Pareto 最优前端的程度越好，当所得到的解刚好和从最优前端上取得的点重合时， =0。 多样性指标 11nfl iiflhh hhhhh=+ =+(14) 式中， hi为 Pareto 最优解集相邻两点的距离， h 为hi的均值， hf与 hl为算法得到的 Pareto 最优解集中的两个边界解分别与对应的真实 Pareto 最优前端边界解的距离， n 为解集规模。 多样性指标

28、 越小，多样性越好。当算法获得的 Pareto 最优解完全均匀地分布在均衡面上时，=0。 运行 100 次，改进 NSGA-II 得到的性能指标的均值和标准差见表 2，其中 NSGA-II 的性能指标数据来自于文献 11。 表 2 运行 250 代性能指标比较 收敛性指标 多样性指标 优化 算法 测试函数 均值 标准差 均值 标准差 ZDT1 0.033 5 4.750 01030.390 3 1.880 0103ZDT2 0.072 4 0.031 7 0.430 8 4.720 0103ZDT3 0.114 5 7.940 01030.738 5 0.019 7 ZDT4 0.513 1

29、0.118 5 0.702 6 0.064 6 NSGA-II ZDT6 0.296 6 0.013 1 0.668 0 9.900 0103ZDT1 0.002 1 4.250 01040.155 5 0.014 5 ZDT2 0.001 7 3.670 01040.154 1 0.012 9 ZDT3 0.005 2 4.150 01040.461 2 0.012 5 ZDT4 0.142 9 0.113 2 0.709 4 0.235 6 改进NSGA-II ZDT6 0.004 9 0.017 9 0.211 1 0.278 6 从性能指标的对比数据可以看出改进 NSGA-II较原算法

30、的收敛性和多样性均有很大提高，特别是收敛性指标降低了近一个数量级，而且收敛性指标的标准差相对较低，这说明改进算法的收敛性是稳定可靠的，也表明差分算子和随机变异算子在改善算法的收敛性和全局优化能力方面发挥着积极的作用。多样性指标方面，除 ZDT4 函数外，在多样性指标的均值上， 改进 NSGA-II的表现也优于原算法，这说明动态拥挤排序的策略确实很好地改善了算法的多样性，提高了解集分布的均匀性，但改进算法多样性指标的标准差劣于原算法，特别是 ZDT4、ZDT6 函数多样性指标的标准差太大。 考虑到 ZDT3、 ZDT4、 ZDT6 是具有复杂 Pareto最优前端的测试函数，仅运行 250 代，

31、种群可能尚未“成熟” 。针对这三个测试函数，本文将进化代数取为 500，其他参数不变，运行 50 次，性能指标数据见表 3，其中 NSGA-II 的性能指标数据来自于文献 11。 表 3 运行 500 代性能指标比较 收敛性指标 多样性指标 优化 算法 测试函数均值 标准差 均值 标准差 ZDT3 0.018 5 2.270 01040.688 2 6.100 0104ZDT4 0.090 7 0.053 5 0.440 0 0.026 7 NSGA-IIZDT6 0.276 6 0.015 8 0.655 9 3.300 0103ZDT3 0.004 5 2.320 01040.433 3

32、7.400 0103ZDT4 0.003 3 7.810 01040.163 0 0.0220 改进NSGA-IIZDT6 7.930 01046.060 01050.128 2 8.900 0103从表 3 可以看出，无论是 NSGA-II 还是改进NSGA-II， ZDT3、 ZDT4 的性能指标与运行 250 代时的性能指标有一定的提高，收敛性指标提升的更为明显，这说明对于具有复杂 Pareto 最优前端的优化问题，需要更多的进化代数来逼近 Pareto 最优前端。对于 ZDT6 函数， NSGA-II 的性能指标提升的并不明显，说明 250 代时种群已经“成熟” ，也说明NSGA-II

33、 对于 ZDT6 函数的全局寻优能力有限。改进 NSGA-II 的各项指标优于 NSGA-II，特别是ZDT4、 ZDT6 函数的性能指标有了很大提高，说明进化代数在 250 代时，改进 NSGA-II 优化的种群尚未“成熟” ，也说明改进 NSGA-II 具备更强的全局优化能力。 算法测试的结果表明，改进 NSGA-II 算法是一种优秀的多目标优化算法，能够很好地处理具有复杂 Pareto 最优前端的优化问题。 4 正铲工作装置优化设计 4.1 正铲工作装置优化 用改进 NSGA-II 对国内标准斗容 4 m3，机重70t 级的某型正铲挖掘机进行优化设计。考虑到实际工程优化问题的复杂性，优化

34、算法选取较大的种群规模和进化代数。 万方数据月 2016 年 11 月 徐弓岳等：基于改进非支配排序遗传算法的正铲挖掘机工作装置优化设计 41 表 4 改进 NSGA-II 参数设置 参数 数值 最大进化代数 1000 种群规模 300 交叉概率 0.9 变异概率 0.1 缩放因子 0.5 差分交换概率 0.3 多项式变异系数 20 优化结果是规模为 300 的 Pareto 解集，均为非支配解，得到的部分最优解见表 5。 表 5 部分 Pareto 最优解 序号 目标函数 1 目标函数 2 目标函数 3 1 1.36 141 144 2 1.5 134 144 3 1.7 124 135 4

35、 1.9 108 126 5 2.0 103 120 6 2.2 97 118 7 2.4 83 118 8 2.6 81 117 9 2.8 78 116 10 3.0 68 114 11 3.2 61 113 12 3.4 56 112 4.2 多属性决策 通过优化算法得到了包含有大量方案的 Pareto最优解集，在缺乏先验知识的情况下，可利用客观评价的多属性决策方法可从中挑选出最满意的方案。理想解法 (Technique for order preference by similarity to ideal solution, TOPSIS)通过构造多属性决策问题的正理想点和负理想点计算

36、各方案与正负理想点的距离，以靠近正理想点和远离负理想点两个基准作为评价指标排序，具有直观的几何意义。本文采用基于绝对理想点的 TOPSIS 法进行最满意方案的选取21。 决策矩阵为优化得到的 Pareto 最优解集中全部的非劣解 X=(xij)m n。 构造规范化决策矩阵 Y=(yij)m n，其中 21ijijmijiyxx=(15) 构造规范化加权决策矩阵 Z=(zij)m n。 权矢量设为 =(0.4 0.3 0.3)，有 ij j ijz y=(16) 式中， i=1, 2, , m， j=1, 2, , n。 确定正理想解 A+和负理想解 A-12 12(,) (,)nnz zz z

37、zz+ + =A Anullnull (17) 式中，minj ijiz z+=，maxj ijiz z=。 计算各方案与正负理想解的欧拉距离 2121()()nii ijjjnii ijjjdA zzdA zz+ += = = = = zz(18) 式中， zi表示 Z=(zij)m n的第 i 行。 计算各方案的贴近度 iiiidCdd+=+(19) 若 zi=A+， Ci=1；若 zi=A-， Ci=0； Ci越大，方案满意度越高。 将本文得到的满意度最高的优化方案和原机型方案以及文献 3提出的优化方案进行对比，在同时优化三个目标函数的情况下，本文的优化方案优于其他方案 (表 6)。 本

38、文优化方案得到的挖掘机工作范围也完全满足实际工况的需要 (图 6)， 这充分说明本文提出的改进算法应用于实际工程问题的有效性和可行性。 表 6 优化方案比较 目标函数 原机型方案 文献 3优化方案 本文优化方案铲斗姿态角 /() 2.0 斗杆挖掘力 /kN 363 393 397 铲斗挖掘力 /kN 336 369 380 图 6 本文优化方案得到的正铲挖掘机包络图 万方数据 机 械 工 程 学 报 第 52 卷第 21 期 期 42 5 结论 (1) 根据实际工况的需要，以水平直线挖掘铲斗切削后角变化量、纵向斗杆挖掘最大挖掘力和纵向铲斗挖掘最大挖掘力为目标建立了正铲挖掘机工作装置多目标优化模

39、型。 (2) 提出了基于动态拥挤排序策略、差分算子和随机变异算子的改进非支配排序遗传算法，运用多目标优化 ZDT 系列测试函数进行分析， 改进算法的收敛性和均匀性有很大提高。 (3) 将改进非支配排序算法应用于正铲挖掘机工作装置的优化设计， 得到了大量的 Pareto 最优解，采用理想解法从中选出最满意的优化方案，该方案优于原方案与文献 3提出的优化方案，验证了改进算法的有效性与可行性。 参 考 文 献 1 蒋炎坤，刘刚强，李宗，等 . 基于遗传算法的挖掘机工作装置铰点位置优化 J. 华中科技大学学报， 2011(3)：22-25. JIANG Yankun ， LIU Gangqiang ，

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41、design of backhoe working device based on the generalized reduced gradient algorithmJ. Journal of Xiamen University， 2014(3)： 368-372. 3 杨莹，陈进，张石强，等 . 正铲液压挖掘机工作装置优化设计 J. 工程机械， 2008， 39(7)： 5. YANG Ying， CHEN Jin， ZHANG Shiqiang， et al. Opyimum design of hydraulic face-shovel working deviceJ. Constru

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