高三数学-秋季文科 第1讲 等差数列与等比数列.定稿.doc

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1、等差数列与等比数列第1讲 知识结构图知识梳理一、等差数列：1定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示通项公式：；前项和公式：2等差数列的性质（其中公差为，前项和为）：，；若，则有；若，则有（，）；等距离取出若干项也构成一个等差数列，即，为等差数列，公差为；等差数列的连续项和也构成等差数列，即，为等差数列，公差为；对于奇数项和有；对于偶数项和有；若也为等差数列，记为其前项和，则，二、等比数列：3定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数

2、列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示等比数列中的项不为通项公式：；前项和公式：4等比数列的性质（其中公比为）：，；若，则有；若，则有；等距离取出若干项也构成一个等比数列，即，为等比数列，公比为等比数列的连续项和也构成等比数列，即，为等比数列，公比为经典精讲由于最近几年北京高考的最后一题已经固定为创新题，以集合或数列题型出现，因此常规的等差等比数列题型除了在期末一模二模的大题偶有涉及，一般只在小题中出现（不过文科16题也可能考到等差等比数列题）而在小题中的考察就以考察基本量和基本性质为主 等差数列的基本量：，；知道其中任意三个就可以确定另外两个； 等比数列的基本量：，；同样也是知道其中

3、三个就可以确定另外两个尖子班学案1【铺1】 （2011全国文6）设为等差数列的前项和，若，公差，则（ ）A B C D【解析】 D考点：等差数列的基本量【例1】 （2009山东文13）在等差数列中，则_（2010辽宁文14）设为等差数列的前项和，若，则 已知数列是非零等差数列，又，组成一个等比数列的前三项，则的值是（ ）A B C或 D不能确定【解析】 15 C目标班学案1【拓2】 首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是 【解析】小题中对于等差数列性质的考查，常着手于以下方面： 是等差数列是不超过一次的多项式（因为）；是不超过二次的多项式且常数项必定为（因为）；是等差数列，且

4、公差为（因为）； 的最值： 若，则有最小值：若，则最小值就是；若，则最小值就是前面全体非正项的和；反之，若，则有最大值：若，则最大值就是；若，则最大值就是前面全体非负项的和；实际考试中，对的情形的考查，是比较常见的考点：等差数列的性质【例2】 设等差数列的前项和为，若，则当取最小值时，等于（ ）A6 B7 C8 D9 （2010全国II文6）如果等差数列中，那么（ ）A14 B21 C28 D35 在等差数列中，则数列的前9项之和等于（ ）A66 B99 C144 D297 设是等差数列的前项和，若，则等于（ ）A B C D【解析】 A C B A尖子班学案2【拓1】 （2009辽宁文3）为

5、等差数列，且，则公差（ ）A B C D【解析】 B目标班学案2【拓2】 （2010西城二模文7）等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）A B C D【解析】 C尖子班学案3【铺1】 在等比数列中，若公比，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式 【解析】考点：等比数列的基本量【例3】 （2010湖北文7）已知等比数列中，各项都是正数，且、成等差数列，则（ ）A B C D 已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则数列的前5项和为（ ）A或5 B或5 C D 设是由正数组成的等比数列，为其前项和已知，则（ ）A B C D【解析】 C C B考点：等比数列的性质【例4】 （201

6、0全国卷文 4）已知各项均为正数的等比数列，则（ ）A B7 C6 D 在各项均为正数的等比数列中，若，则 设等比数列的公比，前项和为，已知，则的通项公式为 各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则等于（ ）A16 B26 C30 D80【解析】 A 10 或； C目标班学案3【拓2】 （2011年丰台区期末文5）已知等比数列的公比为，并且，那么的值是（ ）A B C D【解析】 B等差、等比数列在大题中出现时，前面的一二小问除了经常求通项求和式以外，还常出现根据题干已给的递推结构，证明某个变形的数列是等差或等比数列的情况对于等差数列或等比数列的判定与证明，通常来说，只需考虑从以下角度入手：等

7、差数列的等价条件：是等差数列 定义：，为常数； 等差中项：，； 通项公式：，为常数； 前项和公式：，为常数； 前项平均值：，是等差数列等比数列的等价条件：是等比数列 定义：，为非零常数； 等比中项：，； 通项公式：，为常数 前项和公式：，（常数列）或者，考点：等差数列与等比数列的判定【例5】 已知数列满足，令 求证：数列是等差数列； 求数列的通项公式【解析】 由已知得：， ，故是首项为，公差为的等差数列 【备选】证明：在直角三角形中，三条边的长度成等差数列的充要条件是它们的比为【解析】 （必要性）设直角三角形的三边长成等差数列，将这三条边的长从小到大排列，它们可以表示为，其中；根据勾股定理，得

8、，化简得，即三角形三边长为，三边长之比为（充分性）如果直角三角形的三边长之比为，则可设三边长为，则，即三边长为等差数列【例6】 设数列，满足，证明为等比数列的充要条件是为等差数列【解析】 （必要性）若为等比数列，设公比为，则，（常数），即数列为等差数列；（充分性）若为等差数列，设公差为，则，两式相减，得，两式相减，得，即（常数），为等比数列【拓2】 数列，是各项均为正数的等比数列，设 数列是否为等比数列？证明你的结论； 设数列，的前项和分别为，若，求数列前项和【解析】 是等比数列设的公比为，的公比为，则，故为等比数列 数列的前项和为设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ）A充分而不必要

9、条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】 D已知数列的前项和为（，为非零常数），则为（ ）A等差数列 B等比数列C既是等差数列，又是等比数列 D既不是等差数列，又不是等比数列【解析】 D真题再现 1、 （2011北京文12）在等比数列中，若，则公比_；_【解析】 ； 2、 （2010北京文16）已知为等差数列，且， 求的通项公式； 若等比数列满足，求的前项和【解析】 的前项和实战演练【演练1】（2010海淀一模理6）已知等差数列，等比数列，则该等差数列的公差为（ ）A或 B或 C DKS*5U.C#【解析】 C【演练2】已知等差数列的公差，它的第项顺次成等比数列，

10、则这个等比数列的公比是（ ）A B C或 D或【解析】 A【演练3】设等差数列的前项和为 若，求 若，求【解析】 【演练4】设等比数列的前项和为，若，则（ ）A B C D【解析】 A【演练5】已知数列，其前项和为 求数列的通项公式，并证明数列是等差数列； 如果数列满足，请证明数列是等比数列，并求其前项和【解析】 当时，当时，又满足， ，数列是以为首项，为公差的等差数列 由已知得，又，数列是以为首项，为公比的等比数列；数列的前项和为 大千世界（2006年上海交大自主招生测试）一个正实数与它的整数部分、小数部分成等比数列，那么这个正实数是_【解析】设这个正实数的整数部分为，小数部分为，则，于是根据题意，构成等比数列： ，即 由此解得： 由于且，所以舍去负根，； 再由得知只能有，； 这个正实数为