组合公式的偏导数证明.docx

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1、组合公式的偏导数证明 摘要：本文借助于多元函数求偏导数，从分析的角度给出了组合公式的一个证明。从分析的角度来证明组合问题是一个奇妙的想法，对一些问题的求解供应了一种新奇的思路。 关键词：组合公式；偏导数 中图分类号：G642.0 文献标记码：A 文章编号：1674-932427-0193-02 一、引言 在高校数学课程如概率论，微积分和线性代数等的讲授过程中，我们常遇到以下组合计数12：nn n-n n n-n -n n 。这里nn 表示：从n个不同元素里取n 个元素不同组合的个数。该组合计数可以看作将带有标号的n个球分为k组，第一组有n 个球，其次组有n 个球，第k组有n 个球不同分法的个数

2、。例如含有k个变量n次多项式绽开式为： x +x +x = nn n-n n n-n -n n x x x 又如，k个函数乘积的n阶导数求法为： f f f = nn n-n n n-n -n n f f f 我们都熟识以下等式： nn n-n n n-n -n n = 这个等式是如何计算出来的？ 常规的证明方法为排列计数法1。简述如下： 我们将带有标号的n个球分为k组，第一组有n 个球，其次组有n 个球，第k组有n 个球。假设分法有x种。即设x=nn n-n n n-n -n n ，对于一个给定的分组，假如考虑标号，不同的标号假如认为不同的排列，那么对于给定的一个分组，由于不同标号的排列总共

3、有n ！n ！n ！个新排列。而带有标号的n个球的全排列为n！。这样我们有： xn ！n ！n ！=n！ 所以有式成立。 本文我们借助偏导数的方法来证明公式。 二、证明 对公式的两边求n阶混合偏导数，有 x +x +x = nn n-n n n-n -n n x x x 其中m 0，i=1，2，k且m +m +m =n。 等式左边为， x +x +x =n！ 等式的右边，除了m =n ，i=1，2，k的那一项外，其他项的偏导数为零。所以有： nn n-n n n-n -n n x x x = nm n-m m n-m -m m x x x =nm n-m m n-m -m m m ！m ！m

4、！ 由公式，所以有： nm n-m m n-m -m m = 證毕。 特殊地，若k=2，则： x +x = nlx x n！=nmm！n-m！ 所以有： nm= 三、结论 组合公式nm n-m m n-m -m m = 是我们熟识的一个公式，常规的思路为借助于排列计数的方法来证明。本文我们借助于求偏导数来证明该公式，这是一种用分析方法证明组合公式的尝试。该方法较为新奇，为我们解决组合问题供应了一种新的思路。 四、致谢 感谢中国石油高校北京教改项目支持。 参考文献： 1钟开莱.初等概率论附随机过程M.北京：人民教化出版社，11019. 2茆诗松.概率论基础M.北京：高等教化出版社，19101. 第4页 共4页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页