高等数学在《量子力学》中的作用.docx

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1、高等数学在量子力学中的作用 【摘 要】高等数学和量子力学是物理学相关专业本科教化中特别重要的两门课程。本文首先介绍了量子力学建立的相关数学背景，接着阐述了量子力学中所用的数学学问，最终说明量子力学与高等数学相辅相成的关系：学好量子力学要有好的高等数学基础；在量子力学课程中，高等数学的大部分学问都会得以应用，能促进学生对高等数学的理解。 【关键词】量子力学；高等数学；作用 量子力学是探讨微观粒子运动规律的物理学分支学科，它主要探讨原子、分子等微观客体的运行规律。由于量子力学的出现，材料的半导体性、超导性、磁性都有了突破性的进展，除此之外它在化学等有关学科和很多近代技术中也得到了广泛的应用。数学是

2、人类相识客观世界的重要工具，通过抽象、概括及推理来描述自然科学中各种量的改变关系。高等数学是理工科专业学生都要学的基础课程，“高等”是相对学生中学所学的数学而言的，它比中学数学更抽象，但逻辑更为严密和应用更为广泛。它的抽象性、逻辑性在量子力学中得到充分的应用。想要学好量子力学，理解量子力学，数学基础是必不行少的。 1 量子力学的建立与数学密不行分 量子力学是在波尔氢原子理论、德布罗意物质波理论基础上，先由薛定谔和海森堡独立提出，又经过狄拉克等人补充完善而建立的。 微分方程与薛定谔理论。1923年德布罗意依据类比的关系提出电子犹如光子一样具有波粒二象性，给出了闻名的德布罗意关系结合驻波理论可以说

3、明波尔氢原子理论中稳定的电子轨道。物质波被戴维孙和革末在试验上所证明，但它的本质和运动规律却不清晰。薛定谔把电子看成一团带电物质作松紧振动的实体波，从经典力学动身导出这种物质波满意的微分方程薛定谔方程，它以简洁的数学形式描述了物质波在空间中随时间的演化规律，是量子力学的重大突破。利用薛定谔方程方程，不须要波尔的三种假设：定态假设、跃迁条件和角动量条件，可以得到和波尔氢原子理论相同的结果，使人类相识微观世界脱离了波尔那种半经典半量子模型，量子力学观念快速的被接受和认可。 矩阵与海森堡理论。海森堡认为解开原子之谜，只能从可视察的数量入手。海森堡接受波尔理论中被试验所证明量子化的概念，如能级、定态、

4、量子跃迁等概念，忽视了电子轨道的观点。他从经典力学中的哈密顿正则运动方程动身，指出原子稳定态的理论须要电子坐标、动量等物理量必需用厄米矩阵描述，由于经典力学中的乘法与矩阵乘法有巨大的区分，导致力学量之间存在对易关系，接受这种对易规则，微观体系中包括能量在内的确定值和平均值都能给出，还可以计算出两个定态之间的跃迁概率。随着计算机的发展，矩阵力学在量子力学中的应用更为广泛。 薛定谔在提出波动力学之后，接着证明白它与海森堡的矩阵力学是等价的。量子力学更普遍的表述是由狄拉克等人完成的，他们细致分析了波动力学和矩阵力学的本质特征，结合数学中矢量运算中的坐标系选取的观点，认为不同的物理问题须要不同量子力学

5、形式描述更为便利，整理出表象理论，使量子力学体系更加完备。 2 量子力学与数学工具 量子力学中的状态用波函数来描述，每一个波函数可以看成数学中的希尔伯特空间的一个矢量。空间的运算法则，如矢量的加法、数乘、内积也是量子力学中基本运算，基矢量的线性无关和完全性与力学量的本征态的特点对应。量子力学中的力学量用算符或者矩阵来描述，数学中的微分方程和矩阵运算对与量子力学就尤为重要。此外作为可观测的力学量，它的取值有确定值和期望值两种，理解确定值须要学好数学中本正值与本整函数理论，期望值的概念涉及到数学中与概率相关的学问。在表象理论中波函数在坐标表象下和动量表象下的描述可以看成是数学中的傅里叶变换，表象变

6、换就是线性代数中的幺正改变。 想学好量子力学，以下相关的数学学问须要特殊留意。 厄米方程与谐振子模型。随意在平衡位置旁边的小振动都可以用谐振子模型来描述，假如选择合适的坐标系，该物理模型可以分解成一系列相互独立的一维谐振动。谐振子是量子力学中为数不多的可以精确求解的例子，探讨清晰谐振子问题，对理解量子和应用量子力学都有巨大的帮助。有关谐振子问题就需我们驾驭厄米方程相关问题，要知道厄米方程： 3 量子力学与数学相辅相成。 综上所述，量子力学的产生、完善都与高等数学亲密相关，其中涉及到了大部分高等数学学问，如数学分析、线性代数、概率统计、微分方程等。学生想要学好量子力学，相关的数学学问必需驾驭扎实

7、。同时学生在本科期间所学的高等数学学问，在量子力学中都能得到应用。量子力学这门课程一般都开设在本科第三学年，正是高等数学都已学完，学生起先打算考研的关键时期，假如能利用量子力学这门课程，加强学生数学方面的训练，不仅能提高量子力学的教学质量，对培育学生的综合科研素养也有帮助。 【参考文献】 1曾谨言.量子力学：卷IM.3版.科学出版社，2000. 2喀兴林.高等量子力学M.2版.高教出版社，2001. 责任编辑：王迎迎 第4页 共4页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页