辨析概率论中容易混淆的几个概念.docx

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1、辨析概率论中容易混淆的几个概念 摘 要：概率论的学习中有些概念学生简单与直觉相混淆，本文通过一些详细的例题说明这些概念的区分和联系 关键词：互不相容；相互独立；频率；概率；不行能事务；必定事务 一、 互不相容和相互独立 互不相容：AB= 相互独立：P=PP 例1：设盒中有2个黑球，1个白球，现从盒中抽球两次，每次抽取出一球。 设：A=“第一次抽取的是黑球”，B=“其次次抽取的是黑球” 问题：若该试验为有放回抽取，事务A与B是否相互独立？是否相容？ 若该试验为不放回抽取，事务A与B是否相互独立？是否相容？ 解：事务A与B相互独立，又因为事务A与B可能同时发生， 所以事务A与B是相容的。 事实上由

2、于P=23，P=P=23， P=PP=PP=49， 即事务A与B相互独立，然而P=49，即有AB， 所以事务A与B是相容的。 事务A与B不相互独立，第一次抽取一球后必定变更盒中两种颜色的球的组成成分，从而影响了其次次抽球，因为盒中有2个黑球，即使不放回抽样，事务A与B依旧可能同时发生，所以事务A与B相容。 事实上，由于P=23，P=23，P=12， P=PP=49，PP=13。 所以事务A与B不相互独立，此时易知AB，所以事务A与B是相容的。 两事务相互独立与两事务互不相容虽是两个不同的概念，但它们之间也有关系。 例2：证明：若P0，P0，则有 当事务A与B相互独立时，AB，即A与B相容。 当

3、AB=即事务A与B互不相容时，A与B不独立。 证因事务A与B相互独立，且P0，P0，P=PP0，故AB，即事务A与B相容。 因AB=，故P=P=0，而P，P均为正数，故PP也为正数，于是PPP，即A与B不独立。 由上例得到“互不相容”与“相互独立”之间的关系 结论：当事务A，B的概率都非零时，若A与B相互独立，则A与B必相容；反之，若A与B互不相容，则A与B必不相互独立。 二、 频率和概率 概率的统计性定义：在相同的条件下，独立重复的做n次试验，设是n次试验中事务A发生的次数，当试验次数n充分大时，若事务A的频率fn=/n将“稳定”于某常数p的“旁边”；且随着试验次数的增多，频率偏离这个常数p

4、的可能性越来越小，则称常数p为事务A在该条件下发生的概率，记作P=p。但是，能否认为频率的极限就是概率呢？我们可以先做假设limnn=p，即对0，某个N，当nNn-pN，此时n次试验中每次出现正面是可能发生的，则n-p=nn-0.5=0.5，因此limnn=p不成立。 但我们发觉n次试验中每次出现正面的概率为12n0，发生的可能性很小，几乎为零。也就是说对），limnpn-p=1成立，即频率n依概率收敛于概率p，这就是伯努利大数定律。 我们再通过一个详细的例子野生资源调查问题，来体会一下何为频率何为概率。池塘中有鱼若干，先捞上200条作记号，放回后再捞上200条，发觉其中有4条带记号，用A表示

5、事务“任捞一条带记号”，问下面两个数：200n，4200，哪个是A的频率？哪个是A的概率？由概率的統计定义不难知道，前者为概率，后者是频率。 三、 概率为零的事务不肯定是不行能事务 我们知道不行能事务的概率确定为零，不行能事务可表示为A=，则P=0。反之则不成立，概率为零的事务却不肯定为不行能事务，当P=0，不肯定能得到A=。 例如：在几何概率中，设 =：x2+y29 A=：x2+y2=9 为圆域，而A为其中一圆周，则P=A的面积的面积=09=0。明显，A是可能发生的，即若向内随机投点，点落在圆周x2+y2=9上的状况是可能发生的。又如，对于连续型随机变量X，有P=0，但X=a是可能发生的，即

6、X可以取到值a。 那么在何种状况下当P=0时，才有A=，其仅在样本点有限或样本点可数这种特别的状况下才成立。 四、 概率为1的事务不肯定是必定事务 我们知道必定事务的概率值肯定等于1，即当A=时，得到P=1，但反过来概率等于1的事务却不肯定是必定事务，即当P=1时，不肯定能得到A=。 例如：在几何概率中，设 =：x2+y24 A=：x2+y2=1 A-=-A=：x2+y24且x2+y21 故：P=P-P=1-0=1 但事务A-明显不是必定事务。若向内随机投点，点有可能不落在A-上而落在A上。 又如，对于连续型随机变量X，P=1，但Xa不是必定会发生的。只是在样本点有限或样本点可数的特别状况下，

7、 当P=1时，才有A=。 综上，理解数学概念是驾驭定理、法则、公式和解题方法的基础，学习时要理清概念、定理、公式和法则的来龙去脉，要有针对性的弄清它们的逻辑联系、内涵和外延，留意归纳整理，这样才能更加游刃有余地解决概率当中的问题。 参考文献： 1马元生.概率统计简明教程M.北京：科学出版社，2022. 2运怀立.概率论的思想与方法M.北京：中国人民高校出版社，2022. 3梅长林，王宁，周家良.概率论和数理统计：学习与提高M.西安：西安交通高校出版社，2001. 作者简介： 严峰军，吴静，樊雪双，讲师，陕西省西安市，西安思源学院基础部。 第5页 共5页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页