全国自考概率统计指定教材中一个表述欠完美的定理.docx

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1、全国自考概率统计指定教材中一个表述欠完美的定理 摘 要： 本文以实例说明白概率论与数理统计全国高等教化自学考试指定教材中求连续型随机变量函数的概率密度的定理存在欠完备之处，并对此作了完善。实践证明，完善后的定理便于学生驾驭，学生运用它解决问题时不简单出错。 关键词： 连续型随机变量 随机变量的函数 概率密度函数 1.引言 近两年我应邀为我院与南京财经高校合办的专接本班讲授概率统计课，在教学过程中我发觉，全国高等教化自学考试指定教材概率论与数理统计第52页关于求连续型随机变量函数概率密度的定理的表述不够完备，学生运用该定理求连续型随机变量函数的概率密度时简单出错.发觉问题后，我又翻阅全国高等教化

2、自学考试指定教材概率论与数理统计等其他作者主编的几本教材，发觉也存在类似的问题.求连续型随机变量函数的概率密度，是全国高等教化自学考试大纲规定的自学重点，也是学生自学的难点.我深感必需把这个问题指出来，并应予以完善，以免让欠完备的说法误导读者，特殊是误导没有老师指导的参与自学考试的读者. 2.问题所在 教材概率论与数理统计中关于求连续型随机变量函数概率密度的定理： 设X为连续型随机变量，其概率密度为f.设g是一严格单调的可导函数，其值域为，且g0.记x=h为y=g的反函数，则Y=g的概率密度 f=fh|h|，y0，其他 特殊的，当=-，=+时， f=fh|h|，-y+ 该定理简单让学生出错的地

3、方是“，是g的值域”. 3.欠完备的缘由 为什么说定理中的“，是g的值域”简单让学生出错呢?因为比较式与式，从形式上来讲，简单让人误认为在的状况下，概率密度函数是一个初等函数，而不是分段函数，事实上从本质上来说，此时也可能是一个分段函数.我们看一个例子. 例如：设随机变量X具有概率密度 f=，0x40，其它 求随机变量Y=2X8的概率密度. 本题学生用现有教材中定理解答常见错误如下： 解：由y=2x+8得，h=从而|h|= 明显y=2x+8的值域为， 故=-，=+. 根据教材中定理学生简单错误地把结果写成： f=fhh =，-y+ 事实上本题的结果应为f=，8y160，其它 4.定理的改进 那

4、么，怎样表述学生运用时才不简单出错呢？我认为应作如下调整. 定理：设X为连续型随机变量，其概率密度为f.设g是一严格单调的可导函数，且g0.记x=h为y=g的反函数，则 当f为一初等函数时，Y=g的概率密度为 f=fh|h|，-y+; 当f为一分段函数，且f在有限区间a，b以外等于零时，Y=g的概率密度为 f=fh|h|，y0，其它 其中，是g在a，b上的值域. 假如这样叙述，学生应用时就不简单出错了.依据这样的叙述，上例就可以很简单地得到正确结果： 解：由y=2x+8得，h=，从而|h|= 明显y=2x+8在0，4的值域为8，16， 故=8，=16 又f=，0x40，其它 本题属于定理中的情

5、形 所以所求概率密度函数为： f=fh|h|，8y160，其它 =，8y160，其它 5.结语 改进后的定理表述与现有教材中定理表述相比，更具可操作性.两年多的实践表明，学生运用改进后的定理求连续型随机变量函数概率密度的错误率显著下降. 参考文献： 1盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计M.北京：高等教化出版社，2022. 2叶中行，王蓉华，徐晓岭，白云芬.概率论与数理统计M.北京：北京高校出版社，2022. 3赵仪娜.概率论与数理统计M.陕西：西安交通高校出版社，2022. 第4页 共4页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页