三(1)二次函数与方程、不等式(教师).docx

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1、三(1)二次函数与方程、不等式(教师) 微信公众号：数学第六感；小编微信： AA-teacher 模块： 三、函数 课题： 1、二次函数与方程、不等式 教学目标 ： 二次函数与一元二次方程的联系 重难点 ： 二次函数零点的分布 一、 学问要点 1、二次函数解析式的表示法 一般式 2 0 f x ax bx c a； 顶点式 2 0 f x a x m n a； 两根式 f x a x x1 x x2 a 0 2、二次函数的最值 核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的探讨 一般分为： 对称轴在区间的左 边，中间，右边三种状况 2 0 ，求 f (x) 在 x m，n 上的最大值与最小值设

2、f (x) ax bx c(a ) 分析：将 f (x) 配方，得对称轴方程 x 1）当 a 0时，抛物线开口向上 b 2a 若 b 2a m，n ，则必在顶点取得最小值， 离对称轴较远端点处取得最大值； 若 b 2a m，n ，此时函数在 m，n上具有单调性， 故在离对称轴 x b 2a 较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值 2）当 a 0时，同上 综上，对二次函数的区间最值结合函数图像总结如下： 当a 0时： f ( x)max b 1 f ( m)， (m n)( ) 1 如图 2a 2 b 1 f n m n ( )， ( )( ) 如图 2 2a 2 b f (n)， n(如图

3、 3) 2a b b f (x) f ( ) m n( ) ， 如图 4 min 2a 2a b f (m) m( ) ， 如图5 2a 当 a 0时： QQ 群号码： 3911019252 微信公众号：数学第六感；小编微信： AA-teacher b f (n) n( ) ， 6 如图 2a b b 如图 7 max 2a 2a b f m ， m 8 ( ) ( ) 如图 2a f (x) min b 1 f (m) (m n)( ) ， 9 如图 2a 2 b 1 f n m n ( )， ( )( ) 如图 10 2a 2 3、二次函数的零点 零点的定义 ：一般地，假如函数 y f x

4、 在实数 a 处的值等于 0，即 f a 0，则 a 叫做这个函数的零点 对于函数的图像， 零点也就是这个函数的图像与 x 轴的交点的横坐标 二次函数的零点性质 ： 1、二次函数的图像是连续的，当它通过零点时 ，函数值变号 2、相邻两个零点之间的全部函数值保持同号 3、方程 f x 0 有实数根 函数 y f x 的图像与 x 轴有交点 函数 f x 0有零点 解题方法 ：1、方程的根、函数图像与 x 轴的交点的横坐标、以及函数的零点是同一个 问题的三种不同的表现形式 例如求方程根的个数， 就是看对应的函数图像与 x 轴有几个交 点反过来求函数的零点个数，则可以看方程有几个实数根 2、函数零点

5、的存在性的推断方法是本节的重点和难点，它指出了函数零点的一种找寻 方法 对于连绵不断的函数，只需找到一个区间， 使区间两端点的函数值异号，就可确定在 此区间内至少有一个零点即 f a f b 0 a b ，则 f x 在 a,b 上有一个零点 二次函数 2 , 0 f x ax bx c a 根分布解题分析的 4 个步骤： 1、函数图像开口方向： a 的正负 2、函数特别节点的取值正负： 3、 的正负： 4、对称轴与区间的关系： x b 2a QQ 群号码： 3911019252 微信公众号：数学第六感；小编微信： AA-teacher 二、 例题精讲 例 1、已知二次函数 f x 满意 f

6、2 x f 2 x ，图像顶点为 A，其图像与 x 轴 交于 B 1,0 和C 点，且 ABC的面积为 18，试确定此二次函数 答案： 2 2 f x x 2 或 3 2 f x x 3 2 2 6 例 2、已知函数 2 2 tan 1, 1, 3 f x x x x ，其中 , 2 2 ， 当 6 时，求函数 f x 的最大值和最小值； 求 的取值范围，使 y f x 在区间 1, 3 上是单调函数 答案： 2 3 f x； max 3 4 f x； min 3 , , 2 3 4 2 例 3、函数 2 3 f x x ax ， 当 x R时， f x a 恒成立，求 a 的范围； 当 x

7、2,2 时， f x a恒成立，求 a 的范围 答案： 6 a 2； a 7,2 例 4、已知： , 是方程 2 2 1 4 2 0 x m x m 的两个根，且 2 ， 求 m 的取值范围； 若 2 2 0 x ax 的两根都小于 1，求 a 的取值范围 答案： m 3；2 2 a 3 QQ 群号码： 3911019252 微信公众号：数学第六感；小编微信： AA-teacher 例 5、设函数 f x 2 0 , x bx c x 2 x 0 ，若 f 4 f 0 ， f 2 2，求关 于 x 的方程 f x x的解的个数 答案： 3 个 例 6、若函数 x f x a x a有两个零点，

8、则实数 a 的取值范 围是 x 函数 f x 2 3x的零点所在的一个区间是 A、 2, 1 B、 1, 0 C、 0,1 D、 1,2 x 若函数 f x 的零点与 g x 4 2x 2的零点之差的肯定值不超过 0.25，则 f x 可以是 2 A、 f x 4x 1 B、 f x x 1 x C、 f x e 1 D、 f x ln x 1 2 答案： a 1B A 例 7、函数 2 0 f x ax bx c a 的图像关于直线 x b 2a 对称，据此可推想， 对随意的非零实数 a,b,c ,m, n, p ，关于 x 的方程 2 m f x nf x p 0 的解集都 不行能是 A、

9、 1, 2 B、 1, 4 C、 1,2,3,4 D、 1,4,16,64 答案： D QQ 群号码： 3911019252 微信公众号：数学第六感；小编微信： AA-teacher *例 8、已知函数 2 x 10 f x x x 10 10 ， 求 f x 的反函数； 假如不等式 1 1 x f x m m x 对于 1 1 , 9 4 上的每一个 x 的值都成立， 求实数 m 的取值范围； 设 g x 1 x 2 1 f x 10 ，求函数 y g x 的最小值及相应的 x 的值 答案： 1 10 1 x f x 0 x 1 1 x ； 1 481 1 481 m； 6 6 2 g x

10、g 3 2 2 min 5 三、 课堂练习 1、二次方程 2 2 1 0 x kx k 的两个根 x1与 x2 ，当 2 x1 1且1 x2 2 时，实数 k 的取值范围是 答案： 3 4 ,0 2、已知函数 2 2 3 f x x x 在区间 0,a a 0 上的最大值为 3，最小值为 2，那么实 数 a 的取值范围是 答案： 1 a 2 3、已知 2 0 x bx c 的解集 1 2 ,1 ，则 b c 答案： 0 4、已知二次函数 2 2 f x 4x 2 p 2 x 2p p 1，若在区间 1,1 内至少存在一个 实数 c ，使 f c 0，则实数 p 的取值范围为 答案： 3, 3

11、2 QQ 群号码： 3911019252 微信公众号：数学第六感；小编微信： AA-teacher 5、若函数 2 f x x ax b的两个零点是 2 和 3，则函数 2 1 g x bx ax 的零点 是 答案： 1 1 , 2 3 四、 课后作业 一、填空题 1、已知二次函数的图像经过点 0,1 ，当 x 2时，函数的最小值为 3，则函数的解析式 为 答案： 2 4 1 y x x 2、已知 , 是 x 的二次方程 2 2 6 0 x ax a 的两实数根，则 2 2 1 1 的最 小值为 答案： 8 3、将长度为 1 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积

12、之和最小，正方形的周长应为 4 答案： 4 4、若 x 0, y 0，且 x 2y 1，则 2 2x 3y 的值域为 答案： 3 4 , 2 5、当 x 1,2 时，不等式 2 4 0 x mx 恒成立，则 m 的取值范围是 答案： , 5 6、关于 x的实系数方程 2 2 0 x ax b 的一根在区间 0,1 上，另一根在区间 1,2 上，则 2a 3b的最大值为 答案： 9 二、选择题 7、关于 x 的不等式 2 1 2 1 1 0 a x a x 恒成立，则 a 的取值范围是 A、 3 a 或 a 1 B、 5 3 5 a 1 C、 3 5 a 1或 a 1 D、以上均不对 答案： B

13、 QQ 群号码： 3911019252 微信公众号：数学第六感；小编微信： AA-teacher 8、若函数 2 f x ax bx c满意 f 4 f 1 ，那么 A、 f 2 f 3 B、 f 3 f 2 C、 f 3 f 2 D、 f 3 与 f 2 大小不能确定 答案： C 9、函数 2 y ax bx c的图像经过四个象限的充要条件是 b A、a 0且 f 0 2a B、a 0且 2 4 0 b ac C、 a 0且 b 0 D、a f 0 0 答案： D 三、解答题 10、已知函数 2 2 f x 4x 4ax a 2a 2在区间 0,2 上有最小值 3，求 a 的值 答案： a

14、1 2 或 a 5 10 11 、 已 知 函 数 2 8 f x ax b x a ab ， 当 x 3 , 2 时 ， f x 0； 当 x , 3 2 , 时， f x 0 求 f x 在 0,1 内的值域； c 为何值时， 2 0 ax bx c 的解集为 R 答案： 12,18； c 25 12 12、设函数 2 2 2 f x ax x ，对于满意 1 x 4的一切 x 值都有 f x 0 ，求实数 a 的取值范围 答案： a 1 2 QQ 群号码： 3911019252 第20页 共20页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页