基于多目标粒子群算法的高维多目标无功优化-蔡博.pdf

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1、第45卷第15期 电力系统保护与控制Vbl45 No152017年8月1日Power System Protection and Control Aug12017DOI：107667PSPCI70542基于多目标粒子群算法的高维多目标无功优化蔡博，黄少锋(华北电力大学新能源电力系统国家重点实验室，北京1 02206)摘要：提出一种高维多目标电力系统无功优化模型。相比于传统的电力系统无功优化模型，该模型能够在无功优化中同时兼顾系统的有功损耗、电压水平、静态电压稳定性以及供电能力。针对已有的求解多目标无功优化模型的算法应用于求解所提模型时存在的局限性，进一步引入一种基于帕雷托熵的高维多目标粒子群优

2、化算法并加以改进，使得该算法能够有效求解高维多目标优化问题。最后，利用IEEE一39节点系统验证了所提模型和求解算法的正确性和有效性。仿真结果表明，在传统的多目标无功优化模型中引入系统供电能力，能够在不恶化其他目标函数优化效果的情况下，使系统的供电能力得到提高。关键词：无功优化：高维多目标优化；供电能力；粒子群算法Multiobj ective reactive power optimization based on the mulfi-objectiveparticle swarm optimization algorithmCAI Bo，HUANG Shaofeng(State Key L

3、aboratory ofAlternate Electrical Power System with Renewable Energy Source，North China Electric Power University,Beijing 1 02206，China)Abstract：The paper proposes a high-dimensional multiobjective reactive power optimization model of power systemCompared with the traditional power system reactive po

4、wer optimization model，the proposed model can balance theactive loss，voltage level，static voltage stability and power supply capacity in reactive optimizationOwing to thelimitations of the existing algorithm for solving the multi-objective reactive power optimization model，a newhigh-dimensional mult

5、i-objective particle swarm optimization algorithm based on Pareto entropy is introduced andimproved further in this paper to effectively solve the high-dimensional multiobjective optimization problemFinally,thecorrectness and validity of the proposed model and the algorithm are verified by IEEE一39 n

6、ode systemIn addition，thesimulation results show that the introduction of power supply capacity into traditional multi-objective reactive poweroptimization model can improve systemS power supply capacity with no deterioration in optimization of other objectivefunctionsThis work is supported by Natio

7、nal Natural Science Foundation of China(No5 1 677069)Key words：reactive power optimization；high-dimensional multiobjective optimization；power supply capacity；particleswarm optimization algorithm0引言无功优化在电力系统优化运行中起着非常重要的作用，静态无功优化问题是指在系统负荷水平给定的情况下，通过改变电容器组的投切数量、有载调压变压器分接头位置、发电机机端电压，从而使系统的安全指标和经济指标在满足系统

8、运行约束的基金项目：国家自然科学基金项目(51 677069)前提下达到最优【l。6J。传统的静态无功优化问题只考虑最小化网损、最小化电压偏差或两者的结合，且同时考虑两者时简单地通过权重将多目标转化为单目标求解【，瑙J。基于权重的多目标优化算法的优化结果受权重的影响很大，对于权重不同的取值往往会导致不同的优化结果【9J；而基于帕雷托占优的多目标进化算法因为能够得到一组帕雷托最优解而受到研究人员的关注。文献10】建立了同时考虑最小化网损和最小化万方数据78 电力系统保护与控制电压偏差的静态无功优化模型，并通过基于帕雷托占优的多目标粒子群算法进行求解。文献11在文献101的基础上，又考虑了最大化静

9、态电压稳定裕度，建立了三维多目标静态无功优化模型，并采用NSGAII进行求解。文献【12】建立的无功优化模型与文献1 1基本相同，但采用快速的基于帕雷托占优的多目标粒子群算法进行求解。以上传统的多目标静态无功优化问题均属于二维或者三维的多目标优化问题，采用传统的基于帕雷托占优的多目标进化算法能够取得满意的帕雷托最优解。本文在传统多目标静态无功优化问题的基础上，将系统的供电能力最大考虑入目标函数，构成四维多目标静态无功优化模型。针对模型的高维属性，引入并改进了基于帕雷托熵的高维多目标粒子群算法求解模型。最后，通过IEEE39节点系统对所提模型及求解算法的正确性和有效性进行了验证。1 基于潮流熵的

10、供电能力指标系统的供电能力一方面由系统中线路和变压器的最大传输容量决定，另一方面也受到系统的潮流分布的影响。潮流分布越均衡，系统的供电能力越强。熵是系统混乱和无需状态的一种量度，文献13中引入熵的概念来衡量线路潮流分布的不均衡性。设线路j的额定有功传输功率为F一，系统运行时线路i上实际传输的有功功率为Fo，则线路i的负载率，表示为以剖等卜，2，M 式中，1为系统中的线路总数。给定常数序列U=Ul，U2，Uk，)，设表示满足以(，Uk+。的线路条数，对不同负载率区间内的线路条数概率化可得P(七)2专 (2)式中，P(k)表示满足负载率肛(Uk，Uk+1】的线路占总线路的比例。由式(1)、式(2)

11、得系统的潮流熵为日=一cP(尼)”(七) (3)潮流熵的最小值虬i。和最大值H。由式(4)给出。H。=0，H。=一Cln音 (4)定义由有功潮流分布均衡度决定的供电能力指标如式(5)所示。DH D一minsc2专毒(5)供电能力指标SC越大，表明系统的供电能力越强，且SCe0，1。2 高维多目标无功优化模型传统的多目标无功优化数学模型以有功网损最小、电压水平最好、静态电压稳定裕度最大作为多目标无功优化问题的目标。无功优化过程中对无功功率分布的调节也会引起节点电压变化，从而导致系统有功潮流分布的变化。从这一角度出发，可以将无功优化看作是有功潮流分布的微调。而有功潮流分布的均衡程度直接影响系统的供

12、电能力。因此，在静态无功优化问题中引入由有功潮流分布均衡度决定的供电能力指标很有意义。将供电能力指标引入传统多目标无功优化问题后的数学模型为minF c一，x：，=(至i：乏j：高，童!；st-g(X，x2)：o 。(6)式中：X1=昵，鳞，碍7表示优化变量构成的向量，醒为发电机机端电压幅值向量，Qj为无功补偿装置(本文仅考虑并联电容器组)的无功出力向量，碚为有载调压变压器变比向量；X2=u：，口表示状态变量，纠为非发电机节点电压幅值向量，矿为节点电压相角向量。各目标函数和约束条件的含义见下文。21目标函数目标函数向量F(X，x，)中，一表示系统的有功功率损耗，其表达式为z(x。，x：)=g。

13、(u，2+u，22u，U，cosO，j)(7)NB式中：。表示系统支路集合；U，表示支路k的首端节点电压幅值；U表示支路J|的末端节点电压幅值；谚i表示支路k两端的电压相角差。五(五，五)表示系统的电压水平，采用负荷节点的电压偏差量计算，其表达式为万方数据蔡博，等 基于多目标粒子群算法的高维多目标无功优化 一79一y允 !竺二堡厶,X2)=ieNzU两i,max_-Ui,minXlX (8)厶 )=弋可一 (8)U。和mi。分别表示负荷节点i电压幅值的上限六(墨，鼍)表示系统的静态电压稳定性，本文y、引等一等j 以一，鼍)_生黹型 F需要说明，六(X1，X2)越小，表明系统的静态六(X，K)表

14、示系统由有功潮流分布均衡度工(x，Xz)2南i(10)H=一cZP(七)lnP(|j) (11)、 ， 、 ，约束条件中g(X，鼍)=0表示系统的潮流约f圪，一置，一厍M Uj(gF cos谚j+sin岛)=OQG厂绞厂UiMUj(gF sin岛一sine)=0系统中与节点i相连的节点构成的集合；圪，和QG，无发电机则均为0；置；和QL，分别表示节点i的有功负荷功率和无功负荷功率；g。和分别表示系统约束条件办(X，鼍)0为不等式约束，包括无U。i。UUm。QC-mi。QCQc瓦min瓦，m“ f131Smi。SS。Qc=kQC kz毛=1+kkZ式中：U表示所有节点电压幅值构成的向量；s表示所

15、有支路传输的视在功率构成的向量；AQr表示无功补偿装置的最小调节问隔构成的向量；瓦表示有载调节变压器分接头的最小调节间隔构成的向量；U。和i。分别表示节点电压的最大值向量和最小值向量；疋。和QCmi。分别表示无功补偿装置的最大无功出力向量和最小无功出力向量；靠。、和瓦分别表示有载调压变压器变比的最大值向量和最小值向量。3 基于帕雷托熵的多目标粒子群算法与传统的多目标无功优化模型相比，本文所提出的多目标无功优化模型增大了目标函数的维度，从数学模型的本质上讲属于高维多目标优化模型f即目标函数个数大于3的多目标优化模型)。以NSGAII为代表的求解传统多目标无功优化模型的算法能够有效解决包含2个或3

16、个目标函数的多目标优化模型，而当这一类算法应用于求解高维多目标优化问题时，会出现随着迭代次数增加，非占优个体在种群中所占比例迅速上升的现象，从而导致算法的寻优能力下降【l 0|。文献17提出了一种基于帕雷托熵的多目标粒子群算法，该算法在高维多目标优化测试问题中表现出很好的优化性能，但实际上该算法在设计过程中并未考虑优化模型的高维属性。为求解提出的高维多目标无功优化模型，本文引入文献17中提出的基于帕雷托熵的多目标粒子群算法，并针对优化模型的高维属性，在算法中采用松散的帕雷托占优关系对个体进行占优关系的评估，为简化表达，下文简称该算法为PMOPSO。以下给出PMOPSO中的重要概念、操作和基本流

17、程，详细的理论基础参见文献17。31平行格坐标变换PMOPSO并未直接在笛卡尔坐标系下进行寻优，而是通过平行格坐标变化将帕雷托前端转化到二维平面，并将笛卡尔坐标值映射为整数值，从而，帕雷托前端被转换至二维平行网络中，称为平行格坐标系统(PCCS)。平行格坐标变换的转换公式如式(14)。万方数据电力系统保护与控制f fmin厶，。=l K盖旨l (14)卅 一埘式中：k=1，2，K，K为外部档案中的成员个数；m=l，2，M，M为优化模型中目标函数的个数；“”为向上取整函数；厶，。E1，2，K表示在PCCS中帕雷托前端的第k个非占优解的第m个格坐标分量；片“和片“分别表示帕雷托前端包含的所有个体中

18、第m个目标函数的最大值和最小值。32帕雷托熵及其差熵PMOPSO采用熵来衡量迭代过程中帕雷托前端的多样性，在第t次迭代中得到的帕雷托前端的帕雷托熵由式(15)给出。 Entropy(归一喜薹掣log掣(15)式中，Q以。(f)表示在PCCS中第f次迭代后，在第k行、第m列格子中帕雷托最优解的个数。另外，用差熵AEntropy来表示当前迭代与前次迭代相比帕雷托前端的变化程度，对于第f次迭代，差熵AEntropy的计算公式如式(16)。AEntropy(t)=Entropy(t)一Entropy(t一1) (16)33 PCCS中的个体密度PMOPSO的外部档案更新策略与一般的多目标粒子群算法相同

19、，仅个体密度采用PCCS中的个体密度进行评估。外部档案中的帕雷托前端被映射到PCCS后，对于任意一个帕雷托最优解只，其个体密度按照式(17)计算。一K 11眈枷纱(只)_，善，而丽万(17)，2I，f1。一f，i，式中：K表示帕雷托前端中帕雷托最优解的个数；PCD(P，只)表示帕雷托最优解只和尸之间的平行格距离，按照式(18)计算。o5 若V耽Li，。=伽肋(只，e)_1缸。一Lj，一若3毗，18式中，厶。和三伽按照式(14)计算。34松散的帕雷托占优关系PMOPSO在进行外部档案更新时要进行帕雷托占优关系的判断，为了提高PMOPSO在求解高维多目标优化问题时的寻优能力，本文在PMOPSO中采

20、用松散的帕雷托占优关系来降低迭代过程中非占优个体在种群中所占的比例。如图1所示，松散的帕雷托占优关系中，对解(Z2，岔)缩小倍后再与解(Z1，爿)进行帕雷托占优关系mln，1图1松散的帕雷托占优关系示意图Fig1 Loose Pareto dominant diagram35格占优强度为了评估外部档案中帕雷托最优解的收敛性，在PCCS中引入格占优强度的概念。首先给出格占优的定义如下。格占优：对于解五和_，若Vm1，2，M)，均有Lx,，。Lx2m，其中Lx,。和t。分别表示解和五在PCCS中的第m个格坐标分量；并且存在j研1，2，M)，使得k，瓯；2)多样化状态蘸lAEntropy(t)l嗔；

21、3)停滞状态IAEntropy(t)l嗔。其中：坑=(21092)H；嗔=(21092)(MK)；H为外部档案中的个体总数；K为外部档案中个体总数的最大值；M为目标函数的个数。对于基于种群的多目标优化算法，迭代过程中全局最优解的选择尤为关键。全局最优解的选择需要同时考虑多样性和收敛性两方面，而个体密度最小的帕雷托最优解可被选择为代表多样性的全局最优解，格占优强度最大的帕雷托最优解可被选择为代表收敛性的全局最优解。据此，PMOPSO根据PCCS中个体密度和格占优强度，按照如图2所示的策略进行全局最优解的选择。万方数据蔡博，等 基于多目标粒子群算法的高维多目标无功优化 -81一图2全局最优解选择策

22、略流程图Fig2 Flow chart of global optimal solution selection strategy图2中，M表示目标函数的个数，爿表示外部档案中存储的帕雷托最优解集，C表示候选的全局最优解构成的集合；Top(D S，2，”ASC”|”DESC”)表示将集合D或集合s按照升序(对应于“ASC”)或降序(对应于“DESC”)的方式排列后，返回最前面的刀个成员；RandSelect(C)为随机选择函数，表示从集合C中随机返回一个元素；gbest表示全局最优解。37自适应参数调整策略粒子群算法的运动方程中参数W、c，和c的取值对算法的寻优能力影响很大，在PMOPSO中采

23、用白适应的参数调整策略，对迭代过程中的缈、C1和c进行动态调整，具体的自适应参数调整策略如式(19、)_式(21)所示。w(t)=c1(f)=c2(f)=w(t一1) 谚=诒w(t-1)一2StePw(1+AEntropy(t)力=鸦(19)w(f一1)+Stepw IAEntropy(t)| 谚=呜cl(t-1) 谚=萌q(t-1)一2Stepc,(1+IAEntropy(t)I)谚=畦(20)Cl(t-1)+StePcl IAEntropy(t)I 馋=缟c2(t一1) 谚=呜c2(卜1)一2慨(1+l如锄(，)1)谚=唆(21)c2(t一1)+Step吃IAEntropy(t)I 谚=呜

24、式中：谚表示种群的进化状态，破、晚和织分别对应于停滞状态、收敛状态和多样化状态；Step。、Step。和Stepc2分别表示参数W、e1和c2的调节步长，其取值由式(22)给出(仅给出Step。的计算公式，Step，和Step，同理)。 Step。=Wmax-Wmin(22)max式中：wm瓤和Wmi。分别表示W的取值上限和下限；己。，表示最大迭代次数。38算法的整体流程假设待求解的多目标优化问题的目标函数个数为M，优化变量的个数为D，优化问题的可行域表示为SD，外部档案存储的帕雷托最优解的最大个数表示为K，PMOPSO中种群粒子数表示为，最大迭代次数表示为已。，全局外部档案中帕雷托最优解集表

25、示为gArchive，个体外部档案为pArchtve，全局最优解为gbest，个体最优解为pbest。则PMOPSO的整体流程如图3所示。( 开始 )+ 输心，Nk 士f=勺l在sD内随机生成个位置均匀分布、速度为0的粒子计算个粒子的各目标函数值初始化叫，civP和鲥rciw0卢-t+1 卜根据式(14)，将鲥rc姚映射到PCcs中0计算鲥，c紫的熵和差熵，并判断 当前种群进化状态0计算鲥rchive每个粒子的个体密度和格占优强度0根据式(19卜一式(21)计算w，cl，c2山l根据图2计算曲r和每个粒子的p6f士更新每个粒子的位置和速度士l计算每个粒子的各目标函数值，更新鲥rchive和pA

26、rchive上=蔓立山是 输出94”iw 山( 结束 )图3 PMOPSO算法整体流程图Fig3 Overall flow chart of PMOPSO algorithm万方数据一82一 电力系统保护与控制4 算例分析本节利用IEEE39节点系纠18】，对提出的高维多目标无功优化模型及PMOPSO求解算法的正确性和有效性进行验证。41算例参数IEEE39节点系统的单线图如图4所示，假设系统中包含5台有载调压变压器T1T5，各有载调压变压器的变比调节范围均为095105，变比的最小调节间隔为0025；母线3、4、8、16、20处加装有并联无功补偿装置，各无功补偿装置的额定容量为一100150

27、 Mvar，无功输出的最小调节间隔为25 Mvar；系统内10台发电机的机端电压调节范围均设为094106 Pu，在此范围内机端电压可连续调节：假设各负荷母线的重要程度相等，均令兄=l；其余系统参数维持不变，参见文献15。对于PMOPSO算法，取种群粒子数N=200，最大迭代次数Tm，。=200，外部档案存储的帕雷托最优解的最大个数K=200，W、c和c的初始值分别取09、15和15。图4 IEEE39节点单线图Fig4 Chart of IEEE39 node single line另外，无功优化前系统的各目标函数值如表1所示。表1无功优化前的各目标函数值Table 1 Values of

28、the objectives before optimizationEntropy(t)和差熵AEntropy(t)的变化曲线。从图中可以看出，在前期的迭代过程中，Entropy(t)及AEntropy(t)的值不断发生变化，说明PMOPSO不断得到新的帕雷托最优解，从而使得外部档案中旧的帕雷托最优解不断被新解占优，导致得到的帕雷托前端不断变化已逼近优化模型的真实帕雷托前端。另外，在前期的迭代过程中，Entropy(t)及AEntropy(t1的变化规律呈现出波动性的特点，说明了PMOPSO能够不断摆脱局部最优解，具有良好的全局寻优能力。AEntropy(t)在120次左右迭代后趋于0，此时P

29、MOPS0已经收敛到了全局最优解，说明PMOPSO在求解提出的高维多目标无功优化模型时具有良好的收敛性。图5迭代过程中厶jf，opy(O和AEntropy(t)的变化曲线Fig5 Entropy(t)and AEntropy(t)change curveduring iterative process图6为通过PMOPSO得到的高维多目标无功优化问题的帕雷托前端在PCCS中的分布图，从图中可以看出，得到的帕雷托前端的空间分布表现出良好的均匀性和多样性。因此，利用PMOPSO求解提出的高维多目标无功优化模型能够为电网运行人员提供多样化的帕雷托最优解。目标函数图6 PCCS中的帕雷托前端Fig6

30、Pareto front end in PCCS42算例结果及分析图5给出了利用PMOPSO求解提出的高维多 图7给出了将帕雷托前端投影到不同的目标函目标无功优化模型时算法迭代过程中帕雷托熵 数构成的二维平面中的情况。结合图7和表1可得，(，X争态暮等(_|x箨譬暑亩瑚啪啪o亘l巅留蜷皿Sd】u2万方数据蔡博，等 基r多目标粒子群算法的高维多目标无功优化对于所有的帕雷托最优解，系统的有功功率损耗，：均小于优化前的值471925 MW(可从图7(c)、图7(e)或图7(f)中看出)；静态电压稳定性指标兵均大于优化前的值00476，静态电压稳定性较优化前增强(可从图7(b)、图7(d)或图7(0中

31、看出)：供电能力指标兀均大于优化前的值09797，供电能力较优化前增大(可从图7(a)、图7(b)或图7(c)中看出)。而对于图7中绝大多数的帕雷托最优解，电压水平指标小于优化前的值01931，电压水平较优化前提高(可从图7(a)、图7(d)或图7(e)中看出)。0 999009985q 0 99800 99750 997042 43 44 45 46 47：Mwrc、0MW(r)图7帕雷托前端投影到不同二维平面中的情况Fig7 Projection ofthe front end of Pareto to differenttwo-dimensional planes另外，根据图7(d)、图

32、7(e)及图7(f)可得，不同帕雷托最优解的系统有功功率损耗、电压水平和静态电压稳定性之间均呈现出一定的相关性，但根据图7(a)、图7(b)及图7(c)可得，系统的供电能力与其余三个目标函数之间并不存在相关性。进一步，以图7(e)和图7(c)为例，由于系统有功功率损耗一和电压水平指标之间存在一定的负相关性，因而优化过程中对电压水平的提高是以牺牲系统有功功率损耗为代价的：而由于系统供电能力和有功功率损耗，：之间不存在相关性，因而优化过程中对系统供电能力的提升并不会对系统的有功功率损耗产生显著的影响。因此，根据图7(a)、图7(b)和图7(c)不难得出，在传统的多目标无功优化模型中加入系统的供电能

33、力后，可在不影响其他三个目标函数优化效果的情况下，使系统的供电能力得到提高。5 结论本文全面考虑无功优化问题对系统特性的影响，建立了综合考虑系统有功功率损耗、电压水平、静态电压稳定性及供电能力的高维多目标无功优化模型。为求解所建立的多目标无功优化模型，针对所模型的高维属性，引入了PMOPSO算法并加以改进。最后，利用IEEE一39节点系统验证了所提模型和求解算法的有效性和有效性；另外，仿真结果表明，在传统的多目标无功优化模型中引入系统供电能力，能够在不恶化其他目标函数优化效果的情况下，使系统的供电能力得到提高。参考文献1 郑爱霞，陈星莺，余昆，等基于关联矩阵和动态规划法的地区电网无功优化J1电

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