伽玛函数和贝塔函数在大学数学中的应用.docx

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1、伽玛函数和贝塔函数在大学数学中的应用 摘要本文首先给出伽玛函数和贝塔函数的定义及性质;然后将其应用到定积分,广义反常积分计算以及概率统计中。通过敏捷运用它们可以简化我们的运算和证明。 关键词伽玛函数 贝塔函数 定积分 广义积分 中图分类号:O174文献标识码:A 1 引言 在高等数学及概率统计中,常常会看到伽玛函数和贝塔函数这两个熟识的名字,但是关于这两个函数性质及具体的应用却很少提及,然而这两个函数在积分运算中常常起到意想不到的简便效果。虽也有一些文献探讨它们在积分运算和概率统计中的应用,但是篇幅太少,并没有具体的介绍。本文将对这两个函数在积分运算以及概率统计中的应用给出具体的介绍并推导出一

2、些有用的结论。 首先我们给出这两个函数的定义: 定义1:称函数(a)=xa-1e-1dx为伽玛函数,其中参数a0称函数B(a,b)=xa-1(1-x)b-1dx为贝塔函数,其中参数a0,b0这两个函数是欧拉提出的,因此又常称为欧拉积分。 引理1.1 伽玛函数具有如下性质: (1)(n+1)=n!(nN) ;(2)(a+1)=a(a);(3)(1/2)=;(4)(a)=x-1e-xdx;(5)(a)=x-1(-lnx)-1。证明:关于前三个结论的证明参见文献1。下面我们证明结论(4)(a)= x-1e-xdx=-1y-1e-ydy(这里换元:y=x)=y-1e-ydy=x-1e-xdx(这里应用

3、积分与积分变量无关的性质,最终我们证明性质(5)(a)=xa-1e-xdx=(-lnz)a-1z(-)dz (这里换元:y=e-) =-1z(-lnz)-1dz = x-1(-lnx)-1dx(这里应用积分与积分变量无关的性质)。 引理1.2贝塔函数具有如下性质: (1)B(a,b)=B(b,a);(2)贝塔函数与伽玛函数的关系:B(a,b)=;(3)B(a,1-a)=(a0)。通过借用这两个积分,可以常常简化我们的积分运算。 2 在定积分中的应用 2.1 在定积分计算中的应用 例 1 计算定积分(1-x2)ndx,其中nN 解 设t=x2,dx=t-dt有: (1-x2)ndx=2(1-x2

4、)ndx(因(1-x2)n为偶函数) 例2对正数a,b有: 证明令t=sinx,则x=arcsint,dx=dt则 2.2 在利用定积分求平面图形的面积中的应用 例3 求曲线所围成的平面图形的面积 解:由于区域边界曲线的对称性质,区域面积: 注:上面其次个等号应用了例2的结论。 例4求麦克劳林正弦螺线Pn=ancos(n)所围成的平面图形的面积。 解:该曲线每一支所界定的区域面积是 注:其次个等号应用换元:t=n;第三个等号应用例2结论。 3 在广义积分中的应用 例5 计算广义积分dx(其中ba) 解:令x=a+(b-a),00为常数则数学期望 EX= 证明 做变量代换=t得 引理4.4 设随

5、机变量 X听从参数为0 ,0的伽玛分布Gamma(,): 证明: 特殊的,当k=1时,我们有数学期望: 注:(1)当=1时,随机变量X听从参数为的指数分布E(),其数学期望为:EX=,方差为:Var(X),矩:EXk= (2)当=,=时,随机变量X听从自由度为n的卡方分布2(n)。而一般的概率统计教材通常采纳如下的定义:若随机变量X1,Xn相互独立,都听从正态分布N(0,1),则Y=X12+Xn2听从自由度为n的卡方分布2(n)有了上面我们的结论,我们不但可以知道卡方分布2(n)的密度函数: 而且,可以知道它的数学期望EX=n;方差:Var(X)=2n 引理4.5设随机变量X1,Xn独立同分布

6、,同听从参数为和2的正态分布N(,2), 试证明:S不是的无偏估计。 证明:我们知道随机变量Y=听从自由度为n的卡方分布2(n-1),而由引理1.6的注中我们知道: 2(n-1)=Gamma(,)故 上式最终一个等号应用了引理1.2的4)。从而 故结论得证。 参考文献 1胡淑荣.函数及应用J.哈尔滨师范高校学报,2002.18(4):1215 2成龙生.函数及一类积分公式在概率统计中的应用J.南京理工高校学报,2003(27):8489 3谭琳.函数札记M.杭州:浙江高校出版社,11019. 4盛骤,谢式千,等. 概率论与数理统计(第2版) M.北京:高等教化出版社,11019. 5胡春华.利用函数求积分J.高等数学探讨,2022.8(4):3132. 6沈恒范.概率论与数理统计教程M.北京:高等教化出版社,2003. 7肖筱南编.新编概率论与数理统计M.北京:北京高校出版社,2002. 8王松桂,程维虎,高旅端编.概率论与数理统M.北京:科学出版社,2003. 第5页 共5页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页