荧蒽型苯环系统的基于顶点度的拓扑指数-何守伟.pdf

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1、分类号学校代码密级 非密学号垫142Q!QQ璺塑荧蒽型苯环系统的基于顶点度的拓扑指数The Vertex-Degree-Based Topological Indices of Fluoranthene-type研 究 生 姓 名： 何守伟指导教师姓名、职称： 邓汉元教授学 科 专 业： 运筹学与控制论研 究 方 向： 图论及其应用湖南师范大学学位评定委员会办公室二零一七年三月万方数据摘 要荧蒽是一个著名的共轭烃，针对它们的化学和物理性质，荧蒽及其同类化合物属于苯环型的碳氢化合物。尽管荧蒽型苯环系统的结构与苯环型碳氢化合物类似，但是由于荧蒽型苯环系统存在一个五元环一直在有关苯环型化学图理论中而

2、被忽视。荧蒽型苯环系统分子的拓扑与结构关系在化学和数学文献中也是很少报道。因此，荧蒽型苯环系统分子的研究在化学图论中就显得尤为重要。基于顶点度的拓扑指数的极值问题作为图论中的一个热点问题，与图论中经典的Ramsey理论和Turgm理论有着密切的联系，是现今图论中非常重要的内容之一。对于一个图G=fV E1，基于项点度的拓扑指数定义为：TJ(G)=皿(d(牡)，文。)，其中霍是一个含有两个变量的非负实函数，d()是顶点u的度。当皿(z，Y)分别为x+y，xy，焉1，析西，(z奶01)(y一1)，以i丽，蕊1，(弭炉塑x+y，麴x型y，素，(孟)3，z2+Y2，罴时，T-(G)就是第一和第二Zag

3、reb指数、Randid指数、倒数型Randi6指数、一般Randi5指数、减弱型第二Zagreb指数、减弱倒数型Randi6指数、和连通指数、GA指数、ABC连通性指数、调和指数、增强型Zagreb指数、被遗忘的拓扑指数、逆和Indeg指数。本文，首先利用荧蒽型苯环系统的边界上入口的数目、顶点数目及六边形数目，给出了它的基于顶点度的拓扑指数的计算公式；然后，研究了渺位荧蒽型苯环系统的基于顶点度的拓扑指数的极值，并刻画了其对应的极图；最后，我们研究了荧蒽型苯环系统的线图的基于顶点度的拓扑指数的极值。因此，我们利用基于顶点度拓扑指数，统一处理了荧蒽型苯环系统的第一和第-二-Zagreb指数、Ra

4、ndi6指数、一般Randi6指数、和连通指数、GA指数、ABC连通性指数、调和指数、增强型Zagreb指数等拓扑指数的极值问题。关键词： 拓扑指数；荧蒽型苯环系统；入口；线图万方数据ABSTRACTF1noranthene is a famous conjugated hydrocarbonAccording to theirchemical and physical properties，fluoranthene type and similar compound-S belong to the benzenoid system of hydrocarbonsAlthough fluora

5、nthenesvstem of benzene is similar to the benzenoid system of hydrocarbons，thetheory Oil fluoranthene system iS neglected since fluoranthene system containsa five ringThe relations between molecular topology and structure of thefluoranthene systems in chemistry andhteratureTherefore，the study on the

6、in the chemical graph theorymathematics are rarely reported in thefluoranthene systems is very importantThe extrema1 problem of topological index based on vertex degree is aninteresting problem in graph theory and is related to Ra,msey and Turan the-ory in the classical graph theoryIt is nOW one of

7、very important contentin the graph theoryFor a graph G=(V；E)，the topolo百eal index basedon vertex degree is defined as：TI(G)=E皿(d(“)，d()，皿is a nonneg-ative real function of two variables，d(v)is the degree of vertex V When皿(茁，Y)isx+y，xy，去，、丽，(茁可)“，(。一1)(y1)，、(茁一1)(可一1)，而1，(z+可)n，and雯z+封 ，上x+y，rx+yL-21

8、，z2+Y2，螽respectively,TI(G)i8协efirstgeneral Randic index，the weakening second Zagreb index，tile abate bottomRandic index、the Slim connectivity index，the general SHIn connectivity in-dexthe index of GA，the ABC connectivity index，the harmonic index，theenhanced Zagreb index，the forgotten topological ind

9、ex，the inverse and Indegindex，respectivelyIn this articlewe first give the formulas for computing the topological in-dex based on vertex degree by using the number of inlets，vertices and edges ofthe fluoranthenetype benzene system，and then we study their extremal val-uE嚣and characterize the correspo

10、nding extremal graphsFinally，we study theextremal values of their topological indices for the line graphs of fluorantheneIII万方数据systemsIn short，by using the topological index TI(G)based on vertex degree，wedeal with unified the extremal problems on the first and the second Zagrebindex，Randic index，th

11、e reciprocal Randic index，the general Randic index，the weakening second Zagreb index：the abate bottom Randic index，the SUmconnectivity index，the general sum connectivity index，the index of GA，theABC connectivity index，the hmmonic index，the enhanced Zagreb index，theforgotten topological index，the inv

12、erse and Indeg index in the fluoranthenesystemsKey words：topological index；fluoranthene-type benzenoid system；in-let；line graphIV万方数据目录中文摘要I英文摘要III1 引言(1)2荧蒽型苯环系统的基于顶点度的拓扑指数(7)3渺位缩合的荧蒽型苯环系统的基于顶点度拓扑指数的极值(10)4荧蒽型苯环系统的基于顶点度拓扑指数的极值(17)5荧蒽型苯环系统线图的基于顶点度拓扑指数(30)6渺位缩合的荧蒽型苯环系统线图的基于顶点度拓扑指数的极值(33)7荧葸型苯环系统线图的基于

13、顶点度拓扑指数的极值(38)参考文献(44)附录一攻读硕士学位期间完成的论文(49)附录二致谢(51)学位论文原创性声明与版权使用授权书(53)万方数据荧蒽型苯环系统的基于项点度的拓扑指数1引言1857年Cayley非常自然地在有机化学领域里发现了一族重要的图，称为树。他应用树来计算饱和氢化合物G啦。+。的同分异构体的数目。在化学中，图可以描述不同的内容，如分子、反应、晶体、聚合物、簇等等，其共同特征是点及其点间的连接。化学图中的一类为分子结构图，在这类图中顶点为原子，边为键。为简单起见，一般将氢原子略去，此时结构图称为分子骨架式隐氢图。分子图可较好地用于在化合物物理化学性质的预测，这是化学图

14、论得以发展的重要原因。分子图是个非数值的数学对象，为此，要把分子图中的信息转变为一种能用数值表达的量，通常把具有这个作用的图不变量称为拓扑指数。拓扑指数是从化合物的结构图中衍生出来的一种数学不变量，是运用分子拓扑学原理来寻求分子结构的拓扑不变量，是通过数值化进行表征建立结构与性能之间的定量构造关系模型的描述元。至今已有上百种被证实在结构活性性质相关性(QSARQSPRj中非常有用。这些指数中有些是基于图中顶点之间的距离，有些是基于图中顶点的度数。下面简单介绍一些著名的基于顶点度的拓扑指数。图的Randid指数(也称为连通指数)是在1975年由MRandi634】提出，定义为兄(G)=丽丽1uv

15、E(O)V 一，w。，其中d(让)表示顶点的度数，E(a)为图G的边集，MRandi6证实了他的指数与各种有机化合物化学性质密切相关。后来，这种结构的描述成为应用最多的一种拓扑指数之一，许多文献也都探讨了它，像其它拓扑指数一样，Randi6指数引起了许多数学家和化学家的极大关注，在1998年，Bofiob矗s和Erdos f231用任意的实数OZ代替了一百1，给出了广义的一般Randi6指数风(G)=(d(u)d()8uvEE(G)万方数据硕士学位论文当d=1时，R-(G)就是第-二Zagreb指数21。第一Zagreb指数M(G)是Gutman等人提出来的，它是各顶点的度的平方和蜴(G)=(

16、d(u)2=(d(乱)+d(u)“V(G) uv6E(C)另一种连通性指数叫做和连通指数，与Randid指数有着非常密切的相关性，但是目前对和连通指数的研究还是相对较少的，它是由zhou和Trinajstic【38提出的，定义为 x(G)=、丽1uvEE(GV、 、w。w、。，后来，Zhou和ninajstic391用任意的实数。代替了一，给出了广义的一般和连通指数xo(a)=(d(“)+d()。uvEE(G)1998年，Estrada10】等人也提出了一个基于顶点度的拓扑指数，把它兀q做原子键连通性指数，简称ABC指数，定义如下一c啦、掣赫产 uvE(G、V 、7、7基于Randid指数的定

17、义，VukiSvid禾WFurtuta35】提出了图的几何算术指数，定义为 CA(C)=篙涨基于顶点度的拓扑指数还有较多，如调和指数、增强型Zagreb指数、被遗忘指数和逆和Indeg指数等。这些拓扑指数可统一地用以下方式定义【1，16。设G=(KE)是一个图，基于顶点度的拓扑指数可表示为TI(G)=皿(d(u)，d(u) (1)uvEE2万方数据荧蒽型苯环系统的基于顶点度的拓扑指数其中皿是一个含有两个非负变量的函数，d()是顶点u的度数。特别地，方程(1)中函数的不同选择可以得到一些化学图论中非常著名的拓扑指数。比如：对于第-Zagreb指数，皿(z，Y)=z+Y(见211)；对于第二Zag

18、reb指数，皿(。，Y)=xy(见21)；对于Randi6指数，皿(z，可)=而1 (见34)；对于倒数型Randi6指数，(z，Y)=厕(见11)；对于一般Randi6指数，雪(z，)=(z剪)a(见23】)，其中Q0是一个实数：对于减弱型第_二Zagreb指数，ff2(x，Y)=协一1)(y一1)(见171)；对于减弱倒数型Randid指数，v(x，Y)=、厅ij瓜i可(见【26)；对于和连通指数，皿(z，可)=了弱1 (见38】)；对于一般和连通指数，皿(z，)=扛+秒)n(见391)，其中0是一个实数；足tT-GA指数，(z，可)=塑x+y(见35】)；)6J于ABC连通性指数，(z，

19、可)=、掣(见【lo】)；对于调和指数，皿(z，可)=南(见3 7】)；对于增强型zagreb指数，皿(z，剪)=(i鹈)3(见【12)；对于被遗忘的拓扑指数，皿(z，Y)=茁2+Y2(见【13)；对于逆和Indeg指数，皿(z，可)=丑X+Y(见36】)。在一个含有n个顶点的连通图G中，定义m；，是连接两个顶点度分别为i和J的边数。那么方程(1)关于顶点度的拓扑指数可以表示为：TZ(C)=m巧皿(i，) (2)l墨2曼，茎nl3万方数据硕士学位论文器魏盆铯纛2器图1：荧葸型苯环系统：1和2是渺位的，3是迫位的，4是渺位缩合的，5是迫位缩合的。在一般情况下，计算一个分子图特定的拓扑指数T，并不

20、那么容易，而发现分子图的顶点度拓扑指数T，的极值(极大或极小)更加困难。在文献161中，给出了亚苯基及其六角形系统的一个简单和普遍有效的关系。在31中利用六边形个数给出了六边形系统的顶点度拓扑指数的极值。在【32中，研究了含有礼个顶点图G的顶点度的拓扑指数的界。在【1】中确定了似星树关于一些基于顶点度的拓扑指数的极值。本文中，我们主要研究的是荧蒽型苯环系统的顶点度的拓扑指数的极值。荧蒽型苯环系统和普通苯环型的系统结构密切相关。前者可以通过一个五元环连接两个普通苯环型系统得到15，19。荧蒽是一个著名的共轭烃，在煤焦油中有大量的提出【2，5】。它由一个苯和萘单元通过五元环相连。在其他多环共轭烃中

21、，通过一个五元环将两个苯环型的单位相连被称为一个荧蒽型苯环型的系统15，19。针对他们的化学和物理性质，荧蒽及其同类化合物属于苯环型的碳氢化合物。尽管荧蒽型苯环系统的的结构与苯环型碳氢化合物类似，但是由于荧蒽型苯环系统存在一个五元环一直在有关苯环型化学图理论中而被忽视。荧葸型苯环系统分子的拓扑与结构关系在化学或数学文献中也是很少报道。在191中，Gutman和Durdevid建立了荧蒽型苯环碳4万方数据荧葸型苯环系统的基于顶点度的拓扑指数x ：、 ，7、一一，。图2：荧葸型苯环系统(F)的一般结构，由X和Y两部分组成氢化合物分子图的基本结构特征，并且为研究这类多环芳烃的物理化学性质提供了理论基

22、础。在f191中，研究了荧蒽型苯环碳氢化合物的Hall规则的适用性。在【20】中分析和建立了含有五元环的荧蒽型苯环碳氢化合物中影响丌一电子的最重要结构因素。在15中，Gutman系统分析了荧蒽的Kekul6结构。在12 7中，Ke展示了荧蒽同系物的ABC指数仅仅取决于顶点，六边形和入口的数量。在81中，Ding给出了荧蒽型苯环系统的R，andid指数的公式计算并且确定了极值及其对应的极值图。在f24，251中，Li和Ye给出了荧蒽型苯环系统的二阶Randid指数和一般连通指数的表达式。图1中给出了几个荧蒽型苯环系统以及它们的总体结构。下面我们将通过一个分子图来介绍荧蒽型苯环系统19。这意味着顶

23、点表示碳原子，边代表碳碳键。荧蒽型苯环系统的分子图可以这样定义，设x是一个苯环系统(苯环系统的精确定义，以及其基本图论性质可以在f181中找到)，u和u是x中度数为2的两个顶点，“，u都与度数为3的点叫相邻。令y是另一个苯环系统，n和b是两个相邻的2度点。荧蒽型苯环系统F是由两条新边分别将u和a，u和b相连组成的，如图2。首先需要注意的是F中的顶点岛b让V W形成了一个五边形，每个荧葸型苯环系统都恰有一个五边形。5，、，矿p卜y国x万方数据硕士学位论文Oodl矗ssu图3：荧蒽型苯环系统边界的结构特征l,2900n本文中，荧蒽型苯环系统是一个平面图，由一些正六边形和一个五边形组成，不相邻的六边

24、形，以及六边形和五边形都是既不相交也不重合。针对它们的化学和物理性质，荧蒽型苯环系统是混合物，是属于苯环型碳氢化合物。更多关于荧蒽型苯环系统的介绍，可以参看【19】。在这篇文章中，符号和术语主要来自6，14，24，28，29】。如果一个顶点被三个六边形共享，则称这个点为一个内点。如果荧蒽型苯环系统只有一个内点，把它叫做渺位的荧蒽型苯环系统。在本文中，根据荧蒽型苯环系统f不仅仅是渺位的荧蒽型苯环系统)入口的数量，给出了顶点度的拓扑指数TI(比如第二Zagreb指数，GA指数，和连通指数，增强型Zagreb指数，调和指数以及逆和Indeg指数等等)的表达式。给出了渺位的荧蒽型苯环系统的基于顶点度的

25、拓扑指数丌的极大和极小值，以及对应的极值图。在本文最后，也给出了含有h个六边形的荧蒽型苯环系统顶点度的拓扑指数TJ的极值以及荧蒽型苯环系统的线图的基于顶点度的拓扑指数TI(L(G)的表达式和极值。6万方数据荧葸型苯环系统的基于顶点度的拓扑指数2 荧蒽型苯环系统的基于顶点度的拓扑指数根据荧蒽型苯环系统边界的结构特征，在19中给出了以下几个术语：裂缝(fissure)，海湾(bay)，小湾(cove)，峡湾(fjord)，泻湖(1agoon)18，如图3。它们对应的顶点的度序列分别为(2，3，2)，(2，3，3，2)，(2，3，3，3，2)，(2，3，3，3，3，2)，(2，3，3，3，3，3，2

26、)。裂缝，海湾，小湾，峡湾，泻湖的数目分别记作，B，C，E和L。裂缝，海湾，小湾，峡湾，泻湖统称为入口(见3l】)。所有入口的数目厂+B+C+Fj+L记作r。另一个参数b=B+2C+3Fj+4L叫做湾区域的数目。显然在所有的荧蒽型苯环系统中，62恒成立。在数量上b就是(3，3)边的数目。广+2B十3c+4蜀+5L是边界上所有度数为3的顶点数目。一个J度点是指一个度为J的顶点，O，k)表示的是一条连接J度点和k度点的边。一个图中的J度点和k)边的数目分别记作nf和m渺根据荧蒽型苯环系统的结构可知，荧蒽型苯环系统的分子图中只有2度点和3度点，因此只有三种类型边(2，2)边，(2，3)边和(33)边

27、。所以方程(2)的表达式可以写成TI(G)=m2202(2，2)+m23皿(2，3)+m33k叮(3，3) (3)上述表达式(3)中涉及到系数m。，m。，m3。，因此，需要求出荧蒽型苯环系统中(2，2)边，(2，3)边和(3，3)边的数目。在8中已经给出了m221 m。，m。的简单表达式，为了文章的完整性，我们这里也重述他们的推导过程。设F是一个含有礼个顶点，m条边和h个六边形的荧蒽型苯环系统，Nr有h+l圈(个六边形和一个五边形)。因此，m=n+h，n2+扎3=n，2n2+3n3=2m，可以推出地=?l一2h，n3=2h。我们把F边界上的顶点和边分别叫做外部点和外部边，它们的数目分别记作他。

28、和m很明显n。=77,。F中不是外部的点和边，我们把它们叫做内部点和内部边，它们万方数据硕士学位论文的数目分别记作n和7D,，显然佗。十m=扎，m。+m产m。lt里1191 F是一个有竹个顶点，m条边，3个六边形的荧蒽型苯环系统，m是内点的个数，则(1)mi=h+ni；(2)11,=4h+5一m；(3)?Tt=5h+5一啦。引理2191 F是一个有n个顶点，h3个六边形的荧蒽型苯环系统，则(1)?Tb22+?7223+7233=t：(2)6m22+5m23+4m33=6n。也就是说(2，3)边仅仅出现在F的边界上，并且每一个入口刚好有两条(2，3)边，因此，m23=2r。根据引理2，m22=3

29、n一2mjlm23=3n一2mr，m33=3(m一扎)一石1m23=3(m一几)一r。根据引理1，有m22=2+5一亿ir=礼一2hr和m33=3hr。将方程(3)的系数m。，m。，?7。用以上表达式替换，可以得到以下结论。定理3设F是一个有扎个顶点，危3个六边形和r个入口的荧蒽型苯环系统，则TI(F)=(n一2hr)(2，2)+2r皿(2，3)+(3一r)皿(3，3) f41=皿(2，2)他+(2v(2，3)一皿(2：2)一(3：3)r+(3q_，(3，3)一2(2，2) 、7由方程(4)，我们可以知道荧蒽型苯环系统的顶点度的拓扑指数完全由顶点，六边形和入口的数目所决定。根据定理3，我们可以

30、得到荧蒽型苯环系统的第_二Zagreb指数，几何算术指数，和连通指数，增强型Zagreb指数，调和指数以及逆和Indeg指数等等的表达式。推论4设F是一个有礼个顶点，3个六边形和r个入口的荧蒽型苯环系统(1)F的第一Zagreb指数Ml(F)=4n+10h：8万方数据荧蒽型苯环系统的基于顶点度的拓扑指数(2)F的第一Zagreb指数(F)：4佗一r+19h；(3)F的Randid指数R(F)=石1扎+2瓶。-5； (4)F的倒数型Rand托指数RR(毋=2n+(2瓶一5)r+5h；(5)F的一般Randi6指数吼(F)=4an+(2x6n一4a一9“)r+(3x9a一2x4n)尼(参见25】)

31、；(6)F的减弱型第-二Zagreb指数灾A磊F)：礼一r+10h；(7)F的减弱倒数型Randi6指数nnn(F)=佗+(2以一3)r+4h；(8)F的和连通指数x(F)=礼+些臣趔30 r+等；(9)F的一般和连通指数K(F)=4an+(24。一4a一6a)r+(36a一2 X 4。1无；(10)F的GA指数CA(F)=n+(竿一2)r+h；(11)F的4BG指数ABC(F)=礼+生号迈7+(2以一2)毳；(12)F的调和指数日(F)=j他一嘉r；(13)F的增强型zagreb指数AzJr(F)=8n一署r+百1163。1(14)F的被遗忘的拓扑指数F(F)=8n+38h；(15)F的逆和

32、Indeg删jUSI(F)=佗一击r+；h。推论4给出了荧蒽型苯环系统的一些基于顶点度的拓扑指数计算表达式。9万方数据硕士学位论文3 渺位缩合的荧蒽型苯环系统的基于顶点度拓扑指数的极值由引理1可知，当荧蒽型苯环系统内点为1时，顶点数目扎与六边形数目h有礼：4+4。接下来的问题就是讨论荧蒽型苯环系统内点为1时，些顶点度拓扑指数的极值情况。在这一章中，将完全的确定渺位荧蒽型苯环系统的T，的极大极小值。为了方便，将所有含有h个六边形的渺位荧蒽型苯环系统的集合记作FCh。定理5设FFG，入口数量为r，则TI(F)=(2(2，2)+3(3，3)+(2(2，3)一皿(2，2)一皿(3，3)r+4(2，2)

33、(5)证明因为一个渺位荧蒽型苯环系统只有一个内点，所以根据引理1，有n=4h-4-4。再根据定理3，有TI(F)=(2(2，2)+3皿(3，3)十(2q。(2，3)一(2，2)一ff(3，3)r+412(2，2)。由方程(51可知，一个含有个六边形的渺位荧蒽型苯环系统，它的顶点度拓扑指数”完全由入口数目r确定。推论6设F7，F“FCh，贝JJTI(F7)=TI(F”)当且仅当T(F7)=r(F”)。由方程(5)可知，当2qJ(2，3)一(2，2)一(3，3)0时，含有h个六OOOO(b)f-Linear chain F厶图4：线链和荧蒽型线链10万方数据荧蒽型苯环系统的基于顶点度的拓扑指数O文

34、mt-m：-o-10 扩VO。一跏o V图5：渺位阶梯状e(m1，m2，南)和0(2，2，七)边形的渺位荧蒽型苯环系统f或者含有他个顶点，因为渺位荧蒽型苯环系统只有一个内点，有扎：4+4)的基于顶点度拓扑指数TJ随着入口数量r的增大而单调递增，当2皿(2，3)一皿(2，2)一(3，3)0时，T随着入口数量r的增大而单调递减。因此渺位荧蕙型苯环系统的顶点度拓扑指数TJ的极值由渺位荧蒽型苯环系统中YCh入口数量r的极值决定。探究YCh中入口数量r的极值就显得尤为重要。事实上，在f824】中，FG中入口数量r的极值己经确立了。含有h个六边形的线链记作。，如图4(a)。一个渺位荧蒽型苯环系统叫做一个荧

35、蒽型线链，当且仅当x部分是L。，y部分是一。，记作FL，其中h3，如图4(b)。设e(m，m。，七)是一个渺位梯子，如图5，它是一个分支的渺位六边形系统，在研究苯环系统的Kekule结构7】时经常出现。渺位荧葸型苯环系统既是一个含有h个六边形的荧蒽型苯环系统，它是由e(2，2，k)按照如下构造30】得到的：历，且，玛，届和马如图6所示；当h8时，有以下四种情况：情况1如果h兰O(rnod4)，我们首先构造渺位阶梯e(2，2，等)，再在0(2，2，；)的项部增加一个L，型六边形，最后将e(2，2，ih)的底部加上加上B，如图7所示。情况2如果h兰2(rnod4)，我们首先构造渺位阶梯e(2，2，

36、牮)，再在e(2，2，学)的顶部增加一个六边形，最后将e(2，2，学)的底部加上一个玛，如图7所示。情况3如果h三1(rood4)，我们首先构造渺位阶梯e(2，2，学)，再在e(2，2，字)的顶部增加一个六边形，最后将e(2，2，字)的底部加上：万方数据硕士学位论文岔器器器莎器图6：渺位荧蒽型苯环系统玛，如，最和一个荧蒽乃一个R，如图8所示。情况4如果h三3(rood4)，我们首先构造渺位阶梯0(2，2，Th+1)，再在O(2，2，Th+1)的顶部删除一个L。型六边形，最后将e(2，2，丁h+1)的底部加上一个F】，如图8所示。下面的结果表明：在FCh中，荧蒽型线链EL。和渺位荧蒽型苯环系统玩

37、分别有最大和最小的入口数。引理7【8，24任意的FF瓯，h3，都有(i)r(F)r(FLh)=2h一3；(ii)f半，是偶数；r(p)r(取)=I了h+3，h是奇数从引理7和定理5可以得到渺位荧蒽型苯环系统顶点度的拓扑指数T的极大和极小值。定理8令FFCh，其中3。当2皿(2，3)(2，2)一皿(3，3)0时，则有(i)TI(F)TI(FLh)=7(2，2)+(4h一6)皿(2，3)+(h+3)(3，3)；1 2万方数据荧葸型苯环系统的基于顶点度的拓扑指数蜀(h5 0(rood4) 联hi2(mad4)图7：当聩壬偶数时，玩的两种类型E呔h rood4=1andh is odm E舳rood4

38、=3andh is ocla)图8：当h是奇数时，甄的两种类型13野：零万方数据硕士学位论文G。丁以F，T“玩，=f (；+2)毋(2，2)+(；一2)皿(3，3)，(；+1)皿(2，2)+(1一i)皿(3，3)， ，3) h是偶数，3) h是奇数当2皿(2，3)一皿(2，2)一m(3，3)0时，则上面的不等式反向。运用定理8，可以获得渺位荧蒽型苯环系统的第二zagreb指数，GA指数，和连通指数，增强型Zagreb指数等拓扑指数的极值。 也就是说当2(2，3)一(2，2)一皿(3，3)o时，皿(z，耖)=掣对于几何算术指数，皿(z，秒)=p-4-)a对于一般的和连通指数(这里oo和皿(2，2

39、)+皿(3，3)一2皿(2，3)0时，则有(i)TI随着和b的减小(扎的增大，6的减小)而减小；(ii)T，随着n：和b的增大(佗的减小，b的增大)而增大。(II)当皿(3，3)一2(2，3)ot(2，2)+(3，3)一2皿(2，3)0时，贝0有(i)Tl随着啦的增大和b的减小(n和6的减小)而减小；(ii)TI随着他的减小和b的增大(n和b的增大)而增大。(IV)当(3，3)一2(2，3)o和皿(2，2)十(3，3)一2(2，3)0，含有九个六边形的荧蒽型苯环系统F的顶点度拓扑指数TJ有最小值，当且仅当心(F)=l，b(F)=2，即F=FL(ii)当皿(3，3)一2ti,(2，3)0，皿(2

40、，2)+皿(3，3)一2皿(2，3)o时，矸的顶点度拓扑指数Tj值是所有含有h个六边形的荧蒽型苯环系统中的最小值。根据定理14以及函数的不同选择，可以得到以下结论。推论15设F是一个含有h个六边形的荧蒽型苯环系统，h一1是一个正整数，口。，口。，n。，口。是方程(9)的一个解，满足集合口2)a3，a4，a6)中有一个元素8i等于2，则(1)对于第-二-Zagreb指数，有尬(F)尬(日)=3u+27h+22；(2)对于Randi6指数，有R(F)R(E)=孚u+堡竽；(3)对于倒数型Randi5指数，有R(F)R；(碍)=(2据一3)+9h+204砺； 。(4)25】对于一般Razldi6指数

41、，当Q(一。，170951)时，有R。(F)R。(曰)=(260一90)让+3 x 9。危+240一46“+29a；(5)对于减弱倒数型JRandi5指数，有RRR(F)RRR(F?)=(2以一2)u+6九+ll一4v(6)对于和连通指数，有x(F)义(砰)=些嗡丛札+乎+乎一竽+；(7)对于一般和连通指数，当d(一。，o)U(1，log。)时，有瓦(F)5K(目)=(2 X 5“一6。)u+36“十74。+2 X 6“一45。；(8)对于GA指数，确-CA(F)GA(碍)=(警一1)u+3h+9一警；21万方数据硕士学位论文辱露彳n(al，a2，a3，a4，a5，a6)图11：凸六边形系统的

42、一般形式，其中参数n11，i=1，2，6，(9)对于调和指数，有日(F)日(日)=云札+h+。77。，(10)对于增强型za擎eb指数，7卣AZI(F)AZI(F)=百295u+筹+ 呈坠64 (11)对于逆和Indeg指数，有ZSZ(F)ZSZ(Ff)=杀n+；+了26。对于方程(9)的任意一组解癌。，口。，啦，如果在集合al，a2，口s，04，n5a6)中都没有元素啦等于2，则根据上面的引理12，方程(9)和备注(ii)有下面结果。定理16设h一1是一个正整数，。，凸。，a4是方程(9)的任意一个解，集合n。，。，a6中都没有元素o。等于2。(i)当2皿(2，3)一(3，3)皿(2，2)+

43、卫(3，3)一2m(2，3)0时，霹的顶点度拓扑指数丁，值是所有含有h个六边形的荧蒽型苯环系统中的最小值；(ii)当2皿(2，3)一皿(3，3)田(2：2)+(3，3)一2t1(2，3)0时，E的项点度拓扑指数T，值是所有含有h个六边形的荧蒽型苯环系统中的最大值。证明由备注(ii)可知6(E)=3，令F是一个含有个六边形的荧万方数据荧蒽型苯环系统的基于顶点度的拓扑指数蒽型苯环系统，x和y两部分分别含有。和h。个六边形，由方程(7)可知：TI(F)一TJ(尼)=(2(2，3)一皿(3，3)(ni(碍)一地(F) 门n、+(皿(2，2)+(3，3)一2(2，3)(6(F)一6(忍) 、U上 情况1

44、当b(F)：2时，y部分是一个含有h。1个六边形的线链，x部分是一个含有h，个六边形的凸苯系统帆，。因为b(F)=2，一1是一个正整数，并且对于方程(9)的任意一组解n。，n。，。，a4)，集合n，n2，03，n。，口5，a6中都没有元素锄等于2，所以有hth一1，即-0(5)对于减弱倒数型R甜1(1i6指数，有nRR(r)之咒R兄(心)=(2钜一2)“+6十178以；28万方数据荧蒽型苯环系统的基于顶点度的拓扑指数(6)对于和连通指数，有义(F)x(日)=垫监+乎+擎一学十；(7)对于一般和连通指数，有(F)(日)=(25。一68)u+3瞄要蠢奶。(8)对于GA指数，则有GAF)GA(日)=

45、(警一1)+3h+13一警；(9)对于调和指数，有日(F)日(R)=云“+h+器；(10)对于逆和Indeg指数，则有，s，(F)ISI(F；)=斋乱+；+警。本章确定了部分荧蒽型苯环系统基于顶点度的拓扑指数的极值，由于b的最大值以及取得最大值时荧蒽型苯环系统的内点的值还没有完全确定，所以要想全部解决荧蒽型苯环系统基于顶点度的拓扑指数的极值还存在一定困难。万方数据硕士学位论文5 荧蒽型苯环系统线图的基于顶点度拓扑指数在下面内容中，我们主要研究荧葸型苯环系统线图的基于顶点度拓扑指数的极值问题。线图的基本性质可以参看图论教科书|41，也曾多次在化学文献40，42，43中出现过。文献43包含了线图的

46、一个广泛的化学应用。正如前面提到的那样，NikolidITrinajsti6已经得出了苯环碳氢化合物的线图的Randid指数相关结论。Bau5i6将它在相同分子图中与一般Randid指数做了比较。我们将一个图G的线图记作L(G)。因此，一个图G的线图的顶点度拓扑指数一般形式可以表示为TI(L(G)=雠E池(G)皿(出(G】(u)，九(G)(u) ，1口、=10，虫(2，2)一2v(2，3)+皿(3，3)0以及m(3，3)-2,a3，4)+(4，4)0时，zj值随着入口，裂缝数量，以及相邻入口的数目的增加单调递增。因此渺位荧蒽型苯环系统线图的顶点度拓扑指数TJ的极值由渺位荧蒽型苯环系统中FG的n

47、 n，的极值决定。根据渺位荧蒽型苯环系统玩的结构，可以得出n(取)=0，f(Eh)：万方数据硕士学位论文下面的结果表明：在FCh中，荧蒽型线链日三和渺位荧蒽型苯环系统翰分别有最大和最小的r池，。引理258，24任意的FFCh，h3，都有(i)r(F)r(FLh)=2h一3；(ii)iif下h+4，h是偶数；r(F)r(Eh)=I下h+3，h是奇数(iii)0a(F)r(F)一3(iv)lf(r)r(F)一2根据定理24和引理25，我们可以得到渺位荧蒽型苯环系统线图的基于顶点度的某些拓扑指数极大和极小值。定理26令FFG，h3如果2(2，3)一2(2，2)+4、_P(3，4)一4、_P(4，4)0，(2，2)一2(2，3)+皿(3，3)0 and(3，3)一2(3，4)十皿(4，4)0，则以上不等式反过来即可。万方数据荧蒽型苯环系统的基于顶点度的拓扑指数根据定理26，我们可以得到渺位