本科生概率论教学中几个概念的几何性质.docx

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1、本科生概率论教学中几个概念的几何性质 【摘要】本文用几何观点说明本科生概率论教学中数学期望、相关系数和条件数学期望这几个概念，旨在帮助学生去理解对这些概念。 【关键词】数学期望 相关系数 条件数学期望 【中图分类号】O211【文献标识码】A 【文章编号】2095-308912-0164-01 1.引言 在本科生的概率统计相关课程的教学中，数学期望、相关系数和条件数学期望，是特别重要的概念，具有重要的数学函数，蕴含丰富的数学思想。例如：数学期望描述一种平均，相关系数刻画随机变量间线性程度的大小，条件数学期望可以看作是在某些限制条件下的数学期望。但对于初次接触的学生来说，较难理解，通常的教材1，2

2、一般没有这些的概念的几何说明。基于大多数本科生在学习概率统计时已有线性代数和高数的基础，为此我们用几何的语言来说明数学期望、相关系数和条件数学期望，希望这种方式能让同学们更简单接受。 该文是这样支配的：其次节介绍基本概念的定义；第三节是主要内容，给出前面所述概念的几何性质；简短的证明在第四节给出。 2.基本概念 为便利起见，我们记随机变量X的分布为FX。 定义1：设X为一随机变量，假如积分 注1：在上述定义中FX可以用来统一表达连续、离散或奇异随机变量的分布，对于初学的读者可以分布看作连续型随机变量对应的积分 其中f为连续型随机变量的密度函数，和离散型随机变量对应的和式 其中a1，a2，an，

3、为离散型随机变量的全部可能取值。 定义2：设X和Y为两随机变量，假如二者的方差Var和Var存在，称 为随机变量X和Y的相关系数，其中 为随机变量X和Y的协方差。 注2：上述定义中方差存在与二阶矩存在是等价的，即上述的式子只对二阶矩存在的随机变量有定义。 定义3：设X和Y为两随机变量，称E为随机变量X在随机变量Y下的条件数学期望，假如： 1）EK； 2）对随意的fK，有EE）=EX）。 注3：见命题3，上述的定义条件数学期望在几乎到处意义下是唯一的。 3.几何性质 命题1：记全体的随机变量全体为K，对X，YK，定义二者之间的距离： 则 注4：该结论具有直观的几何意义，它表明数学期望在度量下为从

4、随机变量X到实数空间最短距离所对应的实数，如图1。 命题2：记全体二阶矩存在随机变量构成的向量空间为L2，对X，YL2，定义内积为： =E-EE 假如记为向量X和向量Y的夹角，则二者之间的相关系数为cos。 注5：该结论表明，相关系数可以看作是向量X，Y的夹角的余弦值，见图2。假如夹角为锐角，二者正相关，相关系数为正；假如夹角为90度，二者线性无关，相关系数为0；假如夹角为钝角，二者负相关，相关系数为负。 命题3：K如命题1中所定义的，对X，YK，记E为给定随机变量Y下随机变量X的条件随机变量，则： 其中K=f：f为随意的实可测函数。 注6：与注1类似，该结论也具有直观的几何意义，见图1。 4

5、.结论的证明 命题2的证明：由向量空间的学问，我们有 命题1和命题3的证明：我们首先证明命题1，我们只需证明数学期望E是实数里面离X最近的点。为此，令bR，且bE，则 这样命题1得证。 下面我们证明命题3：我们只需证明数学期望E是K里面离X最近的点。为此，令ZK，且ZE，则 参考文献： 1盛骤，谢式千， 潘承毅.概率论与数理统计.高等教化出版社，2022. 2梁之舜等.概率论与数理统计.高等教化出版社，2022. 第4页 共4页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页