2022年第3章节正弦交流电路总结与提高.docx

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1、2022年第3章节正弦交流电路总结与提高正弦 电路 提高 1 第 第 3 章 单相 正弦沟通电路 复习 一、内容提要 本章主要探讨正弦沟通电的基本概念和基本表示方法，并从分析 R、L、C各单一参数元件在沟通电路中的作用入手，进而分析一般的 R、L、C 混联电路中电压和电流的关系（包括数值和相位）及功率转换问题。最终对于电路中串联和并联的谐振现象也作概括的论述。 沟通电路不仅是沟通电机和变压器的理论基础，同时也要为电子电路做好理论打算，它是工程技术科学探讨和日常生活中常常遇到的。所以本章是本课程中重要的内容之一。 二、基本要求 1、对正弦沟通电的产生作一般了解； 2、驾驭正弦沟通电的概念； 3、

2、精确理解正弦沟通电的三要素、相位差及有效值的定义及表达式； 4、驾驭正弦沟通电的各种表示方法及相互间的关系； 5、熟识各种沟通电气元件及才参数； 6、在驾驭单一参数沟通电路的基础上，重点驾驭 R、L、C串、并联电路的分析与计算方法； 7、驾驭有用功功率和功率因数的计算，了解瞬时功率、无功功率、视在功率的概念 2 8、理解提高功率因数的意义；驾驭如何提高功率因数； 9、了解谐振电路的特性。 三、 学习指导 1. 正弦量的参考方向和相位 1)、大小和方向随时间按正弦函数规律改变的电流或电压称为正弦沟通电。正弦沟通电的参考方向为其正半周的实际方向。 2）、正弦沟通电的三要素 一个正弦量是由频率（或周

3、期）、幅值（或有效值）和初相位三个要素来确定。 （1）频率与周期：正弦量改变一次所需的时间（S）称为周期 T。每秒内改变的次数称为频率 ，单位：ZH 。频率与周期的关系为：Tf1= 角频率 w ：每秒改变的弧度，单位： s rad/ 。 fTppw 22= = （2）幅值与有效值 瞬时值：正弦量在任一时刻的值，用 i u e , , 表示。 幅值（或最大值）：瞬时值中的最大值，用m m mI U E , , 表示。 有效值：一个周期内，正弦量的有效值等于在相同时间内产生相同热量的直流电量值，用 I U E , , 表示。 幅值与有效值关系： I I U U E Em m m2 , 2 , 2

4、= = = 。 留意：符号不能混用。 3 （3）初相位：正弦量的相位（it j w + ）是反映正弦量改变进程的，初相位用来确定正弦量的初始值。画波形图时，假如初相位为正角，t=0时的正弦量值应为正半周，从 t=0 点向左，到向负值增加的零值点之间的角度为初相位的大小；假如初相位为负角，t=0 时的正弦量值应在负半周 ，从 t=0 向右，到向正值增加的零值点之间的角度为初相位的大小。 相位差：两个同频率的正弦量的相位之差等于初相位之差。 2 1j j j - = 2. 相量表示 应留意:相量只能表示正弦量，而不能等于正弦量。只有正弦周期量才能用相量表示，否则，不行以用；只有同频率的正弦量才能画

5、在同一向量图上，否则，不行以。倘如画在一起则无法进行比较与计算的。 3.j的数学意义和物理意义 1)、数学意义： 1 - = j 是虚数单位 2)、物理意义：j 是旋转090 的算符，即随意一个相量乘以±j 后，可使其旋转±90 度。 4. 电压与电流间的关系 各种形式的电压与电流间的关系式，是在电压、电流的关联方向下列出的，否则，式中带负号。 5. R、L、C 串联电路中，当 R≠O 时，LX 与CX 的大小对于电路的 4 性质有肯定影响。 1)、当C LX X ，则C LU U ， 0 j 电路中的电流将滞后于电路的端电压（感性电路）； 2)、当C LX

6、X ，则C LU U 时，则C LI I ， 0 j ，电路的总电流滞后于电路的端电压（感性电路） 2)、C L1 1X X 时，则C LI I ， 0 =C L时， U U U =C L，电压过高可能会击穿线圈或电容器的绝缘）。串联谐振也称电压谐振。电力工程中一般应避开之。 3）、品质因数 RLCR UUUUQ00L C1 ww= = = = 称为电路的品质因数，简称 Q 值。其物理意义： （1）表示谐振时电感或电容上的电压是电源电压的 Q 倍； （2）值越大，则谐振曲线越尖锐，选择性越强。 4）、通频带宽度 在0 021% 7 . 73 I I I = = 处频率上下限之间的宽度称为通频带

7、宽度，即 1 2f f f - = D （见图 4-1） 通频带宽度越小，表明谐振曲线越尖锐，电路的选频性越强；而谐振曲线的尖锐程度与 Q 值有关。 5）、并联谐振电路的特性 f 1f 0f 2f 0737 . 0 I 0I O 图 4-1 7 （1）电路发生并联谐振时的频率 LC LRLCfp p 21 121220 - = （2）U 与I 同相位，电源只供应电阻消耗的有功功率，而无功功率的交换只在电感支路之间进行。 （3）LI 与CI 的无功重量相等而相位相反，2C2L 0I I I - = ，当 R=0时，0 C LI I I 。 （4）在谐振点旁边，电路呈现高阻抗值：RCLZ = 。在

8、电压 U 保持肯定时，则在谐振点旁边电流值很小。 10功率因数的提高 1）、沟通电路的平均功率为： j cos UI p = 称为电路的功率因数，它确定于电路（负载）的性质，其值介于 0 与 1 之间。 当 1 cos j 时，出现无功功率 j sin UI Q = ，电路中发生能量的互换。从而引起两个问题：(1) 发电设备的容量不能充分利用； （2）增加线路和发电机绕组的功率损耗。通常要求功率因数为 0.90.95。 功率因数不高的缘由由于电感性负载的存在，电感性负载的功率因数之所以小于 1，是由于负载本身须要肯定的无功功率。提高功率因数的意义在于解决这个冲突，即削减电源与负载之间的能量互换

9、，又使电感性负载取得所需的无功功率。 根据供用电规则，高压供电负荷平均功率因数不低于 0.9，其它负荷 8 不低于 0.85。 2）、功率因数的提高 提高功率因数常用的方法就是在保持用电设备原有的额定电压、额定电流及功率不变，也即工作状态不变。在电感性负载并联静电电容器（设备在用户或变电所中）,其电路图和相量图如图 4-2 所示。 图 4-2 并联电容器以后，电感性负载的电流2L211X RI+= 和功率因数2L21c osX RR+= j 均未改变，这是因为所加电压和负载参数没有变更。但电压 U 和线路电流 i 之间的相位差 j 变小了，即 j cos 变大了。这里所讲的提高功率因数，是指提

10、高电源或电网的功率因数，而不是指提高某个电感性负载的功率因数。因此，在选择静电电容器的容量时，必需了解补偿前同载的平均功率因数，它可依据一年的电能消耗量来计算： 2Q2PP2 2 2 21) 8760 ( ) 8760 (8760cosW WWP QPP QPSP+=+=+= = j 式中 P 和 Q 分别是年消耗有功率（kW）和无功功率（kvar）；PW 和QW 9 分别为年有功电能消耗量 ) ( h kW 和无功电能消耗量（ h k var ），可由有功电度表和无功电度表读取；8760是全年的总时数。 然后依据下式计算所需静电电容器的容量 ) tan (tan1 maxj j g - =

11、P Q 式中maxP 是负载的最大有功功率； g 是负载系数，一般取 0.85；1j 是补偿前的相位差； j 是补偿后的相位差。或由相量图 4-2b）推出该电容器的电容值 ) tan (tan2 12j jw- =UpC 电容器的安装常采纳高压集中补偿和低压分散补偿两种方式，也可以二者结合。 3.1 已知 , A ) 30 314 sin( 2 10 , A ) 45 314 sin( 2 152 1o o- = + = t i t i （1）试问 i 1与 i 2 的相位差等于多少？（2）画出 i 1 与 i 2 的波形图；（3）在相位上比较 i 1 与 i 2 谁超前谁滞后。 解：（1）0

12、 0 02 175 30 45 = + = - = j j j （2） 10 （3） ， 超前2 1i i 。 滞后1 2i i 3.2 已知 , A ) 30 200 sin( 2 10 , A ) 20 101 sin( 2 102 1o o- = + = t i t i p p 两者的相位差为o50 ，对不对？ 答：错 3.3 已知正弦电流 I=15A，且 t=0 时，I 为 3A，频率 f=50HZ。试写出该电路的瞬时值表达式，并画出波形图。 解： A ) 314 sin( 2 150j + = t i ，当 0 = t 时， A 3 = I ，则 1414 . 0 arcsin ,

13、1414 . 0 sin sin 2 15 30 0 0= = = j j j 3.4 下列两组正弦量，写出它们的相量，画出它们的相量图，分别说明各组内两个电量的超前、滞后关系。 i t j题 4-3 i 曲线图i i t j 题 4-1 2 1i i 、 曲线图 2i 11 （1） , A ) 15 2513 sin( 2 8 , A ) 45 2513 sin( 2 102 1o o- = + = t i t i （2） , A ) 140 2000 sin( 2 10 , V ) 120 1010 cos( 22 1o o- = - - = t i t u 解：（1） A, 45 2 1

14、0 A, 45 101101 = = mI I A, 15 8 A, 15 80202- = - = mI I ， 超前02 160 i i 或 。 滞后01 260 i i (2) V, 30 2 V, 30 10101- = - = mU U A, 140 10 A, 140 101202- = - = mI I 3.5 指出下列各式的错误： （1） A, ) 10 2 5 ) 10 314 sin( 2 5o o = + = t i （2） A 20 10o = I ；（3） W =iuX L ；（4） W = LIUw j ； 解：（1）等号不行连等；前者为瞬时表达式，后者为相量式。

15、（2）I 为有效值，与复数式不能连等。 2I 1U 0140 - 题 3.4 (2)相量030 - 1I 2I 045 题3.4 (1)图 12 （3）LX 为大小，iu为瞬时值之比。 （4）左边表示大小，右边为复数，两者不是一回事。 3.6 在图 3-40 所示中，安培计1A 和2A 的读数分别为 3A 和 4A。 （1）设C 2 1j , X Z R Z = = ，则 A 0 的读数应为多少？ （2）设 ,1R Z = 问2Z 为何参数才能使0A 的读数最大？此读数为多少？ （3）设 , jL 1X Z = 问2Z 为何参数才能使0A 的读数最小？此读数为多少？ 解：（1） A 5 4 3

16、2 2= + = I （2） A 73 1= + = I I I ，2Z 为纯电阻时； （3） A 1 3 4 = - = I ，2Z 为纯电容时。 3.7 一个电感线圈，其电阻可忽视不计。当将它接入正弦电源上时已知 V ) 90 314 sin( 2 220o+ = t u ，用电流表测得 A 4 . 1 = I ，求线圈的电感和感抗,写出电流 I 的瞬时表达式,并计算无功功率 Q。 解： W = = = 1574 . 1220V, 220LIUX U Q 习题 3.6 的电路图 简化图_ZU&I &+_Z 1U&I &+1I &2I & Z 2AAA 13 0.5H H314157,LL=

17、 = = =wwXL L X Var 308 1 4 . 1 220 sin = = = j UI Q t i 314 sin 2 4 . 1 = 3.8 一个电容元件两端的电压 V ) 40 314 sin( 2 220Co+ = t u ，通过它的电流 A 5C= I ，问电容量 C 和电容电量的初相角ij 各为多少？绘出电压和电流的相量图，计算无功功率 Q。 解： , V, 40 220C0= - =IUjX U CXIUXw1, 445220C C= W = W = = 0 0 0C130 90 40 , 379 . 7344 3141 1= + = = = iFXC j mw Var

18、 1101 1 5 220 sin = = = j UI Q 3.9 一个电感线圈接在 220V 的直流电源时，测出通过线圈的电流为2.2A，后又接到ZH 50 V 220 、 的沟通电源上，测出通过线圈的电流为1.75A，计算电感线圈的电感和电阻。 解： W = = = W = = = 734 . 12575 . 1220, 1012 . 2220ACACDCDCIUZIUR W = - = + = 184 . 76 101 734 . 125 ,2 2L2L2X X R Z Q 040 U CI 题 3 8 电容电压与电流相 14 H 243 . 0314184 . 76,LL= = =

19、=wwXL L X 3.10 为了降低单相电动机的转速，可以采纳降低电动机端电压的方法来实现。为此，可在电路中串联一个电抗LX ，如图 3-41 所示，已知电动机转动时，绕组的电阻为 200Ω，电抗为 280 W ，电源电压U=220V，频率ZH 50 = f 现欲将电动机端电压降低为 V 1801= u 。 求串联电抗LX 及其感抗L 的数值。 解：11 , I I I I = = 即 2L2 2 2) 180 ( 200220280 200180X + +=+ 解得： H 286 . 031490, , 90LL L = = = W wwXL L X X Q 3.11 已知如图

20、所示电路中 V ) 30 sin( 2 15o+ = t u s w ，电路为感性的，电流表 A 的读数为 6A。 求 , 5 . 3 W = L w 求电流表2 1A A 、 的读数。 A 2A +- s U 1A L j w W 3 C j w1 +U&电动机R图 3-41 习题 3.10电路LI &X L1I & 15 题 3-11 图 解：由已知有： V 30 150S =U ，则 W = = = 5 . 2615IUZ ， 又2) ( 9 1) 3 1 ( 35 . 33 131313CC jjC jL jC jC jL j Zwwwwwww+-+ =+ =+ = 解得： W = W

21、 = 2 . 11, 31C C w w或 ， 舍去 不合题意, 两表的读数均为 A 24 . 4 2 326 = 。 3.12 已知题 4-12 图所示电路中 V ) 60 314 sin( 2 200o+ = t u s ，电流表 A的读数为 2A。电压表2 1V V 、 的读数均为 200V。求参数 R、L、C，并作出该电路的相量图。并写出 i 的瞬时值表达式。 题 3-12 图 解： , 1012200, W = = = ZIUZ 同理 W = = W = = 1012200, 1012200C LRZ Z ) 1 ( 101 ) (2C L2= - + = X X R Z ) 2 (

22、 1012L2LR= + = X R Z W =101CX ，整理得： W = 50LX ， W = 3 50 R ，即 F 85 . 31314 1011C H, 159 . 031450m = = L 1V+- s UL j w R C j w1 A2V 16 由相量图可知电流超前端电压030 ， A ) 90 314 sin( 2 20+ = t i 3.13 求图 3-13 两图中的电流I 。 解： 图（a）中， A 45 2 25 550 0 0 = -=jejI 图（b）中， A 60 40 304 4 340 30 0- = - +-=jej jjI 3.14 在图 3-14 中

23、， u U I I 101V, A, 102 1= = = 与 i 同相，试求LX R I , , 及CX 。 A 200 je W 5 j W 5I (a(bW 5 A 30030 jeW 3 j W 4j W 4I U LRU CI CU 060 习题 3-12 相量图 17 解：设 V 0 0R R =U U ，则 A, 0 10 A, 90 101201 = = I I 因为 + =2 1I I I ，所以 A 45 2 101 =I 又因 i u U U U I U 与 ， ，且 超前 = +R L0L 90 同相，故 V 101L= =U U W = = = 2 52 10101L

24、LIUX 又 V 2 101 2R= = U U ， W = = = 2 102RCIUX R 。 相量图如下： 3.15 一个电感线圈， A I I X R 2 . 0 , 6 , 82 1 L= = W = W = ，（1） i u, 的有效值；（2）求电路的总的功率因数 j cos 及总功率 P。 +U I LjX CjX - 2I R题3 14图1I U LU LU 1I 2I I RU 045 习题 3-14相量图 18 解：（1）设电压 , 87 . 36 10 6 8 Z V, 00L0W + = =j U U 则 A 90 2 . 0 A, 87 . 36 2 . 00201

25、= - = I I A 26.56 0.18 90 2 . 0 87 . 36 2 . 00 0 02 1 + - = + = I I I V 0 2 87 . 36 10 87 . 36 2 . 00 0 0L 1 = - = = Z I U 故 2V A, 18 . 0 = = U I （2） , 89 . 0 ) 56 . 26 cos( cos0= - = j 总功率 W 32 . 0 89 . 0 18 . 0 2 cos = = j UI P 3.16 电路如题图 3-16 是三个阻抗串联的电路，电源电压V 30 2200 =U ，已知 W - = W + = W + = ) 4

26、3 ( , ) 4 3 ( , ) 6 2 (3 2 1j Z j Z j Z ，求 （1） 电路的等效复数阻抗 Z ，电流I 和电压 3 2 1U 、 U 、 U 。 （2） 画出电压、电流相量图。 （3） 计算电路的有功功率 P 、无功功率 Q 和视在功率 S 。 RLC1I 2I 题3 15图 19 解：（1） W + = + + =03 2 187 . 36 10 6 8 j Z Z Z Z A 87 . 6 2287 . 36 1030 220000- = =ZUI ) 3 arctan 87 . 6 ( V, 10 401 1 1 1+ - = = = j j I Z U V, 2

27、6 . 46 110 87 . 6 22 13 . 53 50 0 02 2 = - = = I Z U V, 60 110 87 . 6 22 13 . 53 50 0 03 3- = - - = = I Z U （2） 相量图 （3） W 3873 8 22 cos2eq2= = = = R I UI P j Var 2904 6 22 sin2eq2= = = = X I UI Q j VA 84 . 4 22 2202 2 = = = + = k UI Q P S 3.17 题 图 3-17 所 示 的 是 RLC 并 联 电 路 ， 输 入 电 压V ) 45 314 sin( 2

28、2200+ = t u ， F 76 . 144 , H 35 , 11 m = = W = C m L R 。求 （1）并联电路的等效复数阻抗 Z ；（2）各支路电流和总电流；（3） 画出电U I 1U 2U 3U 1Z 2Z 3Z 题 3 16 U I RI L I CI R LjX 题 3 17 CjX - U I 030 题 3 16 相量 20 压和电流相量图；（4） 计算电路总的 P 、 Q 和 S 。 解： （1） W = = =-2210 76 . 144 3141 16CCXw， W = = =-11 10 35 3143LL X w ) 2 (22122 11 111 1

29、1 1 1C Ljj jjX jX R Z- = + - =-+ + = ) 2 ( 4 . 45222222jjjZ + =+ =-= （2） 设 V 45 2200 =U ，则 A 45 202245 22000R = =RUI A 45 2090 1145 220000LL- = =jXUI A 135 1090 2245 220000CC =- =-=jXUI A 5 10 )A 45 20 135 10 45 20 (0 0 0C L Rj = + + - = + + = I I I I 所以 A 10 A, 20 A, 20 , A 5 10C L R= = = = I I I I

30、 （3）相量图如下： （4） VA 5 2200 5 10 220 W, 4400 11 202 2R= = = = = = UI S R I P Var 2200 4 5 22002 2= - = - = P S Q 3 18 电 路 如 图 所 示 ， 已 知 W = = = 102 1R R R ，Z50H f F, 318 C mH, 8 . 31 = = = m L ， V 10 = U ，试求并联支路端电压abU 及电I LI CI RI 045 - U 习题 3 17相量图 21 路的 j cos , , 及 S Q P 。 解： 设 V 0 101 =U ，依题意得： （1）

31、W = = =-1010 318 3141 16CCXw， W = = =-10 10 8 . 31 3143LL X w W =- + +- +=0C 2 L 1C 2 L 1ab0 10) )( (jX R jX RjX R jX RZ 则 总阻抗 W = + = + =0 0ab0 20 10 0 10 R Z Z （2）总电流 A 0 5 . 00 200 10100= =ZUI 并联电路端电压 V 5 10 5 . 0ab= = = Z I U W 5 1 5 . 0 10 cos = = = j UI P Var 0 0 5 . 0 10 sin = = = j UI Q VA 5

32、 5 . 0 10 = = =UI S 功率因数 1 cos = j 3.19 今有 40W 的日光灯一个，运用时灯管与镇流器（可近似地把镇流器看作纯电感）串联在电压为 220V，频率为 50 赫兹的电源上。已知灯管工作时属于纯电阻负载，灯管两端的电压等于 110V，试求镇流器的感抗与电感。这时电路的功率因数是多少？若将功率因数提高u+RCLab+i 2i 1i 2R 1R abu 习题 3-18图 22 到 0.8，问应并联多大的电容？ 解：消耗在灯管上的有功功率为 I U PR= ，则 A 36 . 011040R = =UPI V 5 . 190 110 2202 2 2R2L - =

33、- = U U U 故感抗为 W = = = 52436 . 05 . 1902LLIUfL X p H 68 . 150 25242L= =p p fXL 5 . 036 . 0 22040cos = =UIPj 将功率因数提高到 0.8，需并联电容为： ) tan (tan12j jw- =UPC F 59 . 2 ) 8 . 0 tan(arccos ) 5 . 0 s (tan(arcco314 220402m -= 3.20 在题图中， , 5 , 3 10 , 10 , 50H V, 2202 1 1 ZW = W = W = = = R X R f U ，W = 3 52X ，试

34、求：（1）电流表的读数和电路的功率因数 j cos ；（2）欲使电路的功率因数提高到 0.866，则需并联多大的电容？（3）并联电容后电流表的读数又为多少？ RL+U RU LU I 习 题 3 19 23 解：（1）画相量图如下图所示， A 11) 3 10 ( 102202 221211=+=+=X RUI ，011160 arctan = =RXj A 22) 3 5 ( 52202 222222=+=+=X RUI ，022260 arctan = =RXj 故2 1i i 与 同相， i I I I A, 33 22 112 1= + = + = 滞后060 u ,c 此时功率因数

35、5 . 0 60 cos cos01= = j 。 （2）欲使电路的功率因数提高到 0.866，则030 , 866 . 0 cos = = j j 因并联上电容后，电路的总有功功率不变， W 3630 5 . 0 33 220 cos1= = = j UI P ) tan (tan12j jw- =UPC F 276 ) 577 . 0 732 . 1 (314 22036302m -= （3）并联 C后，因 j cosUI P = ， 所以 A 05 . 110166 . 0 2203630cos= =j UPI 。 u+AXabi 2i 1i 2R 1R 习题 3-20图 XCi CU I CI I 2I 1I 060 030 24 第31页 共31页第 31 页 共 31 页第 31 页 共 31 页第 31 页 共 31 页第 31 页 共 31 页第 31 页 共 31 页第 31 页 共 31 页第 31 页 共 31 页第 31 页 共 31 页第 31 页 共 31 页第 31 页 共 31 页