人教版高中数学必修四全册教案.docx

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1、1.1.1 任意角教学目标知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念.过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写情感与态度目标提高学生的推理能力；2培养学生应用意识教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写教学过程一、引入：1. 回顾角的定义角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形二、新课：1. 角的有关概念：角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个

2、位置旋转到另一个位置所形成的图形角的名称：始边B终边角的分类：OA顶点正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角注意：在不引起混淆的情况下，“角 ”或“ ”可以简化成“ ”；零角的终边与始边重合，如果是零角 =0；角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角练习：请说出角、各是多少度? 2象限角的概念：定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角例 1如图中的角分别属于第几象限角？yB1 45Oxy3060oOxB3 B2例 2在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是

3、第几象限的角 60； 120； 240； 300； 420； 480；答：分别为 1、2、3、4、1、2 象限角3. 探究：教材 P3 面 终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同在内，可构成一个集合 S | = + k360 ，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和注意： kZ 是任一角； 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角有无限个，它们相差360的整数倍； 角 + k720 与角终边相同，但不能表示与角终边相同的所有角例 3在 0到 360范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角120；640 ；95012答：240,第三

4、象限角；280,第四象限角；12948,第二象限角；例 4写出终边在 y 轴上的角的集合(用 0到 360的角表示) 解: | = 90+ n180,nZ例 5写出终边在 y = x 上的角的集合 S,并把 S 中适合不等式360720的元素写出来4. 课堂小结角的定义；角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角象限角；终边相同的角的表示法5. 课后作业：阅读教材 P2-P5；教材 P5 练习第 1-5 题；教材 P.9 习题 1.1 第 1、2、3 题a思考题：已知角是第三象限角，则 2， 2 各是第几象限角？解：Qa角属于第三象限，

5、 k360+180k360+270(kZ)因此，2k360+36022k360+540(kZ)即(2k +1)3602(2k +1)360+180(kZ)故 2是第一、二象限或终边在 y 轴的非负半轴上的角a又 k180+90 2 k180+135(kZ) a当 k 为偶数时，令 k=2n(nZ)，则 n360+90 2 n360+135(nZ) ，a此时， 2 属于第二象限角a当 k 为奇数时，令 k=2n+1 (nZ)，则 n360+270 2 n360+315(nZ) ，a此时， 2 属于第四象限角a因此 2 属于第二或第四象限角1.1.2 弧度制（一）教学目标知识与技能目标理解弧度的意

6、义；了解角的集合与实数集 R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题情感与态度目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美教学重点弧度的概念弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明教学难点“角度制”与“弧度制”的区别与联系教学过程一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?1规定把周角的 360 作为 1 度的角,用度做单位来度量角的制度叫做

7、角度制二、新课：1引 入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60 进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度弧度制，它是如何定义呢？2. 定 义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制在弧度制下, 1 弧度记做 1rad在实际运算中，常常将 rad 单位省略3. 思考：（1） 一定大小的圆心角a所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2） 引导学生完成 P6 的探究并归纳：弧度制的性质：半圆所对的圆心角为pr = p;r整圆所对的圆心角为2pr = 2p.r

8、正角的弧度数是一个正数负角的弧度数是一个负数l .零角的弧度数是零角的弧度数的绝对值|= r4. 角度与弧度之间的转换：将角度化为弧度：360 = 2p；180 = p；1 =p180 0.01745radn = np rad；180将弧度化为角度：2p= 360 ；p= 180 ；5. 常规写法：1rad = (180 ) 57.30 = 5718p；n = (180n )p 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少 的形式, 不必写成小数 弧度与角度不能混用6. 特殊角的弧度角030456090120135150180270360度pppp2p3p5p6432346弧 0p度3p2p27.

9、弧长公式a = l l = r ar弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积例 1把 6730化成弧度3prad例 2把 5化成度例 3计算：(1) sin p4 ； (2) tan1.5 例 4将下列各角化成 0 到 2的角加上 2k（kZ）的形式：(1) 19p3 ； (2) - 315 例 5将下列各角化成 2k + (kZ,02)的形式,并确定其所在的象限(1) 19p3(2) - 31pRlO；6 ,19p = 2p+ 7p解: (1) 37p619p而 6 是第三象限的角,3是第三象限角.,Q- 31p = -6p+ 5p - 31p(2)666是第二象限角.例6.

10、利用弧度制证明扇形面积公式S = 1 lR,2其中l是扇形弧长,1 pR2R是圆的半径.证法一:圆的面积为pR2 ,圆心角为 1rad 的扇形面积为 2p,又扇形弧长为l,半径为R,lS = l 1 R2 = 1 lR扇形的圆心角大小为 R rad, 扇形面积R 22n pR2S =证法二:设圆心角的度数为 n，则在角度制下的扇形面积公式为360，又此时弧长l = npRS = 1 npR R = 1 l R180 ，2 1802可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多扇形面积公式: S = 1 lR = 1 aR2227. 课堂小结什么叫 1 弧度

11、角? 任意角的弧度的定义“角度制”与“弧度制”的联系与区别8. 课后作业：阅读教材 P6 P8；教材 P9 练习第 1、2、3、6 题；教材 P10 面 7、8 题及 B2、3 题4-1.2.1 任意角的三角函数（三）教学目的：知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2. 利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3. 利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：正弦、余弦、正切线的

12、概念。教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。教学过程：一、复习引入：1. 三角函数的定义2. 诱导公式sin(2kp+a) = sina(k Z) cos(2kp+a) = cosa(k Z) tan(2kp+a) = tana(k Z)33练习 1.tan600o的值是 . DA. -33B. 33C. -D.练习 2.若sin cos 0, 则在. BA. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第一、四象限D. 第二、四象限练习 3.若cos 0，且sin2q 0则的终边在CA. 第一象限二、讲解新课：B. 第三象限C. 第四象限D. 第二象限x2 + y2当角的终边上一点 P(x, y) 的

13、坐标满足几何表示三角函数线。1. 有向线段：= 1 时，有三角函数正弦、余弦、正切值的坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。有向线段：带有方向的线段。2. 三角函数线的定义：设任意角a的顶点在原点O ，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P (x, y) ，T过 P 作 x 轴的垂线，垂足为yM ；过点 A(1, 0) 作单位圆的切线，y 它与角a的终边或其反向延长线交与点T .PAMoxPAoMxTy（）TMoAxPy（）M AoxPT（）（）由四个图看出：当角a的终边不在坐标轴上时，有向线段OM = x,

14、 MP = y ，于是有sina= y = y = y = MPcosa= x = x = x = OMtana= y =MP = AT= ATr1，r1，xOMOA我们就分别称有向线段 MP,OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。说明：（1） 三条有向线段的位置：正弦线为a的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线段；余弦线在 x 轴上；正切线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。（2） 三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向a的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与a的终边的交点。（3） 三条有向线段的正负：三条有向线段

15、凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值，与 x 轴或 y 轴反向的为负值。（4） 三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。4例题分析：例 1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。p（1） 3 ； （2）5p6 ； （3）- 2p3；（4）- 13p6 解：图略。，证明若0 a 1.例 2.2例3.比较大小：(1)sin 2p与sin 4p(2) cos 2p与cos 4p3535(3) tan 2p与tan 4p35例4.在0，2p上满足sin x 1 的x的取值范围是()2 pp 5pp 2p5pA. 0, 6 B. ， C. ， D. ，p 66 63 6例 5. 利用单位

16、圆写出符合下列条件的角 x 的范围(1)sin x 1 .27p+ 2kp x 11p+ 2kp, k Z-p+ 2kp x 52ptan 34p 3yPPox30a15030 a 90或 210 a 270cos 64 , cos 285补充：1利用余弦线比较的大小；p q p2. 若 42 ，则比较sinq、cosq、 tanq的大小；3. 分别根据下列条件，写出角q的取值范围：（1）cosq -1；（3）sinq -32 4-1.2.1 任意角的三角函数（1）教学目的：知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2. 已知角终边上一点，会求角的各三角函数值；3. 记住三角函数的定义域、值域

17、，诱导公式（一）。能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（2） 树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（3） 通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；（2） 学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦

18、、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.教学过程：一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在 RtABC 中，设 A 对边为 a，B 对边为 b，C 对边为 c，锐角 A 的正弦、余弦、正切依次sinA = a ,cosA = b ,tanA = a为ccb 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。二、讲解新课：1. 三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点 P （除了原点）的坐标为(x, y) ，。| x |2 + | y |2它与原点的距离为 r(r =y= 0) ，那么x2 + y 2sina= y（1） 比值 r 叫做的正弦，

19、记作sina，即x（2） 比值 r 叫做的余弦，记作cosa，即y（3） 比值 x 叫做的正切，记作tana，即x（4） 比值 y 叫做的余切，记作cota，即r ；cosa= xr ；tana= yx ；cota= xy ；说明：的始边与 x 轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置；根据相似三角形的知识，对于确定的角，四个比值不以点 P(x, y) 在的终边上的位置的改变而改变大小；pa= + kp(k Z )当2时，的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0 ，tana= ycota= x所以x 无意义；同理当a= kp(k

20、 Z ) 时，y 无意义；yxyx除以上两种情况外，对于确定的值，比值 r 、 r 、 x 、 y 分别是一个确定的实数，正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。函数定 义 域值 域y = sinaR-1,1。y = cosaR-1,1y = tanaa|a p+ kp, k Z2R2. 三角函数的定义域、值域注意：(1) 在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与 x 轴的非负半轴重合.(2) 是任意角，射线 OP 是角的终边，的各三角函数值（或是否有意义）与 ox 转了几圈，按什么方向旋转到 OP 的位置无关.(3) sina是个

21、整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与 x 轴的非

22、负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.3. 例题分析例 1求下列各角的四个三角函数值：（通过本例总结特殊角的三角函数值）3p（1） 0 ；（2）p；（3） 2 解：（1）因为当a= 0 时， x = r ， y = 0 ，所以sin 0 = 0 ，cos0 = 1 ，tan 0 = 0 ，cot 0 不存在。（2）因为当a=p时， x = -r ， y = 0 ，所以sinp= 0 ，cosp= -1，tanp= 0 ，cotp不存在，a= 3p（3） 因为当2 时， x = 0 ， y = -r ，所以。sin 3p = -12，cos 3p = 02，tan 3p2不存在，cot

23、 3p = 02，13例 2已知角的终边经过点 P(2, -3) ，求的四个函数值。22 + (-3)2解：因为 x = 2, y = -3 ，所以 r =，于是sina= y =r-3 = - 3 131313 ；cosa= x =r2 = 2 131313；tana= y = - 3cota= x = - 2x2 ；y3 例 3已知角的终边过点(a, 2a)(a 0) ，求的四个三角函数值。5解：因为过点(a, 2a)(a 0) ，所以 r =| a | ，x = a, y = 2a5 | a |a 0时，sina= y =当r2a=2a = 2 55a5cosa= x =a=5a5ar5

24、；tana= 2; cota= 12 ；5 | a |a 0, r 0 ），对于第三、四象限为负（ y 0 ）；x余弦值 r 对于第一、四象限为正（ x 0, r 0 ），对于第二、三象限为负（ x 0 ）；y正切值 x 对于第一、三象限为正（ x, y 同号），对于第二、四象限为负（ x, y 异号）说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。练习： 确定下列三角函数值的符号：sin(-ptan 11p（1）cos 250；（2）)4 ；（3）tan(-672 )；（4）3 例 4求证：若sina 0 ，则角q是第三象限角，反之也成立。5. 诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同

25、的角三角函数值相同。即有：sin(a+ 2kp) = sina，cos(a+ 2kp) = cosa，其中 k Z tan(a+ 2kp) = tana，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 02间角的三角函数值问题例 5求下列三角函数的值：（1）cos 9p4， （2）tan(- 11p)6，y =例 6求函数+cos xcos xtan xtan x的值域解： 定义域：cosx0 x 的终边不在 x 轴上又tanx0x 的终边不在 y 轴上当 x 是第象限角时， x 0, y 0, x 0x 0, y 0, y 0) ，那么：sina= yr ，cosa= xr ，tana=

26、yx ，2. 当角分别在不同的象限时，sin、cos、tg的符号分别是怎样的？。sin A = 33. 背景：如果5 ，A 为第一象限的角，如何求角 A 的其它三角函数值；4. 问题：由于的三角函数都是由 x、y、r 表示的，则角的三个三角函数之间有什么关系？二、讲解新课：（一）同角三角函数的基本关系式：（板书课题：同角的三角函数的基本关系） 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：tana= sina。（1） 商数关系：说明：cona（2） 平方关系： sin 2 a+ con 2a= 1注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin2 4a+ cos2 4a= 1 等；注意这些关系式都是对于

27、使它们有意义的角而言的，如, ktana cota= 1(a kp2 Z)；对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：cosa= sinacosa= 1 -sin 2a，sin2 a= 1 - cos2 a，tana等。2例题分析：一、求值问题例 1（1）已知sina= 1213 ，并且a是第二象限角，求cosa, tana, cota（2）已知cosa= - 45 ，求sina, tanacos2 a= 1 -sin2 a= 1 -12 2 =5 2解：（1）sin2 a+ cos2 a= 1 ，cosa= - 5()()1313又a是第二象限角， cosa 0

28、，即有13 ，从而tana= sina = - 12cota=1= - 5cosa5 ，tana12（2）sin2 a+ cos2 a= 1sin2 a= 1 - cos2 a= 1 - (- 4)2 = ( 32)， 55，cosa= - 4 0 ，从而5 ，cosa4 ；sina= - 3tana= sina = 3当a在第四象限时，即有sina 0cosa=1+ tan 2 a = 1+ tan 2 a当 在第一、四象限时，即有，从而，tana 1 + tan 2asina= tana cosa=1+ tan 2 a；11 + tan 2 aacosa 0cosa= -1+ tan 2

29、a = -1+ tan 2 a当 在第二、三象限时，即有，从而，tana 1 + tan 2asina= tana cosa= -1+ tan 2 asina- 4 cosa例 3、已知sin a = 2 cos a ，求 5sina+ 2 cosa2 sin 2 a+ 2 sinacosa- cos 2 a解：Qsin a = 2 cos a tan a = 2 sin a - 4 cos a = tan a - 4 = - 2 = - 15sin a + 2 cos a5 tan a + 2126。强调（指出）技巧：1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式注意所求值式的分子、分母均为一次

30、齐次式，把分子、分母同除以cosa,将分子、分母转化为tana的代数式；2 “化 1 法”可利用平方关系sin 2 a+ cos 2 a= 1，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化 归为tana的分式求值；小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1） 尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2） 尽量使分母不含三角函数式；（3） 根式内的三角函数式尽量开出来；（4） 能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，二、化简。1- sin2 4401- sin 2 (360 + 80 )练习 1化简解：原式=化简1 - cosq1 + cosq

31、1 + cosq1 - cosq+=1- sin 2 80cos2 80= cos 80 )(p q 3p练习 2三、证明恒等式cos x例 4求证： 1- sin x2= 1 +sin xcos x 证法一：由题义知cos x 0 ，所以1+ sin x 0,1- sin x 0 cos x(1 + sin x) = cos x(1 + sin x)左边= (1- sin x)(1+ sin x)cos 2 x原式成立= 1+ sin x =cos x右边证法二：由题义知cos x 0 ，所以1+ sin x 0,1- sin x 0 又 (1- sin x)(1+ sin x) = 1-

32、sin 2 x = cos 2 x = cos x cos x ，cos x 1- sin x= 1 +sin xcos x 证法三：由题义知cos x 0 ，所以1+ sin x 0,1- sin x 0 cos x -1- sin x1 +sin xcos x= cos x cos x - (1 + sin x)(1 -sin x)(1- sin x) cos x= cos2 x -1 + sin2 x =0(1- sin x) cos x，cos x 1- sin x= 1 +sin xcos x 总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有

33、：（1）从一边开始，证明它等于另一边；（2） 证明左右两边同等于同一个式子；（3） 证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。四、小结：本节课学习了以下内容：1. 同角三角函数基本关系式及成立的条件；2. 根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；五、课后作业：习案作业第 五 课时1- 2 sin 40 cos 40参考资料化简解：原式=sin2 40 + cos2 40 - 2 sin 40 cos 40(sin 40 - cos 40 ) 2=| cos 40 - sin 40 |= cos 40 - sin 40思考 1已知sin a + cos a = 15(0 q p)，求tan q 及sin 3 q - cos3 q 的值。解：1 由sin a cos a = - 12 ,250 q p,得： cos q 0q ( p , p)2(sin a - cos a)2 = 49 ,由25得： sin q - cos q = 75联立：14sin q + cos q = 5 sin q = 5 q = - 473sin q - cos q =5cos q = -