现代概率论的理论发展与应用.docx

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1、现代概率论的理论发展与应用 摘要介绍现代概率论的一些主要理论，并综述它们在各方面的应用状况。 关键词概率论 布朗运动 鞅 随机积分 中图分类号：O21文献标识码：A 文章编号：167375101(2022)061010201 一、引言 在20世纪初期，作为概率论历史上一个重要发展阶段的拉普拉斯的概率论被公理化的概率论所代替，此后，概率论的探讨主要采纳测度论方法，并取得了一系列理论上的重大突破，开创了现代概率论的新时期。 二、现代概率论的主要理论探讨 布朗运动的探讨 布朗运动(Brown motion)是一类特别的马尔可夫过程，具有连续时间参数和连续状态空间，是一个最基本、最简洁同时又是最重要的

2、随机过程。布朗运动最初由英国生物学家布朗(R.Brown)于1827年依据视察花粉微粒在液面上作“无规则运动”的物理现象而提出的。爱因斯坦(Einstein)于1905年首次对这一现象的物理规律给出了一种数学描述，使这一课题有了显著的发展。这方面的物理理论工作在Smoluchowski, Fokker,Planck,Burger, Furth Ornstein,Ublenbeck等人的努力下快速发展起来了。但在数学方面却由于精确描述太困难而进展缓慢，直到1918年才由维纳(Wiener)对这一现象在理论上作出了精确的数学描述，并进一步探讨了布朗运动轨道的性质，提出了在布朗运动空间上定义测度与积

3、分。这些工作使对布朗运动及其泛函的探讨得到快速而深化的发展，并逐步渗透到概率论及数学分析的各个领域中，使之成为现代概率论的重要部分。 随机过程“鞅”的探讨 鞅是另一类重要的随机过程。鞅的背景来源于公允赌博。即假如每次赌博的输赢机会是均等的，并且赌博策略是依靠于前面的赌博结果，则赌博是“公允的”。从20世纪30年头起，莱维等人就起先探讨鞅序列，证明白一些鞅的性质，把它作为独立随机变量序列的部分和的推广。40年头到50年头初，杜布对鞅进行了系统的探讨，得到出名的鞅不等式、停止定理和收敛定理等重要结果。1962年，P.A.迈耶解决了杜布提出的连续时间的上鞅分解为鞅及增过程之差的问题，使鞅和随机过程一

4、般理论的内容大大丰富起来。此外，利用上鞅的分解定理，可以把伊藤清的对布朗运动的随机积分推广到对一般鞅乃至半鞅的随机积分，因而，更一般的随机微分方程的探讨也随之发展。鞅论目前已成为探讨概率论以及应用概率论和其他随机过程的有力工具。 随机积分与随机微分方程的探讨 随机积分与随机微分方程的探讨是由日本数学家伊藤清于1942年引入的。那年他在日本数学杂志上发表了他的第一篇论文。在这篇论文中，他引入了刻画可微过程跳动的泊松随机测度。后来，他又在大阪高校的一份油印的杂志上发表了他的其次篇论文。在这篇论文中，他得出了确定马尔可夫过程轨道的随机微分方程的概念，它可以只借助一个可微过程的随机微分方程的微分来表示

5、。他对随机微分方程的探讨作出了系统而严密的奠基性工作。随后又创立了随机积分而且享有盛名。随机积分是对某些随机过程类适当定义的各种积分的总称，他们在随机过程与随机微分方程的探讨和应用中各有其重要作用。以伊藤清的姓氏命名的伊藤积分是对布朗运动定义的一种随机积分。布朗运动的样本函数虽然连续，但几乎全部的样本函数非有界变差，甚至到处不行微，因而无法按样本函数来定义通常的黎曼-斯蒂尔切斯积分或勒贝格-斯蒂尔切斯积分。一般来说，斯蒂尔切斯积分定义中的达布和不会以概率1收敛到肯定的极限，但在适当的条件下，达布和的均方极限存在。伊藤清正伊藤是利用这一性质定义了对布朗运动的随机积分。而伊藤积分最重要的性质是如下

6、所示的闻名伊藤公式： 其中F是二次连续可微实函数， W(t)(t0)是布朗运动。这个公式及其各种推广在理论上和应用上都有重要作用。例如，可以用来证明关于布朗运动的鞅刻画的莱维定理。 三、现代概率论的应用状况 在物理学方面，高能电子或核子穿过汲取体时，产生级联现象，在探讨电子-光子级联过程的起伏问题时，要用到随机过程，常以泊松过程、弗瑞过程或波伊亚过程作为实际级联的近似，有时还要用到更新过程的概念。物理学中的放射性衰变，粒子计数器，原子核照相乳胶中的径迹理论和原子核反应堆中的问题等探讨，都要用到泊松过程和更新理论。湍流理论以及天文学中的星云密度起伏、辐射传递等探讨要用到随机场的理论。探讨太阳黑子

7、的规律及其预料时，时间序列方法特别有用。 化学反应动力学中，探讨化学反应时的时变率及影响这些时变率的因素问题，自动催化反应，单分子反应，双分子反应及一些连锁反应的动力学模型等，都要以生灭过程来描述。 随机过程理论所供应的方法对与生物数学具有很大的重要性，很多探讨工作者以此来构造生物现象的模型。探讨群体的增长问题时，提出了生灭型随机模型，两性增长模型，群体迁移模型，增长过程的扩散模型等。有些生物现象还可以利用时间序列模型来进行预报。在遗传问题中，着中探讨群体经过多少代遗传后，进入某一固定类和首次进入此固定类的时间，以及最大基因频率的分布等。 很多服务系统，如电话通讯，船舶装卸，机器损修，病人候诊

8、，红绿灯交换，存货限制，水库调度，购货排队等，都可用一类概率模型来描述。这类概率模型涉及的过程叫排队过程，它是点过程的特例。排队过程一般不是马尔可夫型的。当把顾客到达和服务所需时间的统计规律探讨清晰后，就可以合理支配服务点。 在通信、雷达探测、地震探测等领域中，都有传递信号与接收信号的问题。传递信号时会受到噪声的干扰，为了精确的传递和接收信号，就要把干扰的性质分析清晰，然后实行方法消退干扰。这是信息论的主要目的。噪声本身是随机的，所以概率论是信息论探讨中必不行少的工具。信息论中的滤波问题就是探讨在接收信号时如何最大限度地消退噪声的干扰，而编码问题则是探讨实行什么样的手段放射信号，能最大限度地反

9、抗干扰。在空间科学和工业生产的自动化技术中须要用到信息论和限制理论，而探讨带随机干扰限制问题，也要用到概率论方法。 四、结束语 概率论进入其他科学领域的趋势还在不断发展。值得指出的是，在纯数学领域内用概率方法探讨数论问题已经有很好的结果。在社会科学领域，特殊是经济学中探讨最优决策和经济的稳定增长等问题，也大量采纳概率论方法。正如拉普拉斯所说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题”。 参考文献： 1徐伯华.概率论诞生的思想历程.咸阳师范学院学报J.2022(4). 2William Feller.胡迪鹤译.概率论及其应用M. 北京:人民邮电出版社. 2022. 3徐传胜.概率论简史.数学通报J.2004(10). 4徐传胜、郭政.数理统计学的发展历程.高等数学探讨J.2022(1). 5徐传胜、潘丽云、任瑞芳.惠更斯的14个概率问题探讨.西北高校学报J.2022(1). 第6页 共6页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页