自-对称性在高中数学解题中的应用.docx

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1、对称性在高中数学解题中的应用对称性在高中数学解题中的应用【摘要】 解题是一门艺术，利用对称性解题更是一种非常重要的解题方法，高中数学中的 若干实例证明了恰当利用对称性可减少一些繁琐的计算，化难为易，提高解题速度，达到事半功倍 的效果.【关键词】 对称性：高中数学：应用对称是一个数学概念，更是一种思想方法，在几何、代数中恰当的运用对称性解决问题，既可 以减少一些繁琐的计算，使解题方法简洁明快，又可以拓展学生的解题思路，培养学生的思维能力.1 对称的含义数学中，狭义上的对称，分为轴对称和中心对称，主要是图形上的一种对称关系；广义上的对称， 是自然界中无处不在的和谐之美，在数学中体现有：公式的对称美

2、、轮换式和对称式前者，主 要是从形的角度，借助于图形的对称性来研究某些数学问题，比如求二次函数的值域；后者，是建立 在我们平常接触最多的代数式的基础上，从数的角度，分析具有对称关系的一个或多个代数式之间 的内在联系以及在高中数学中的应用.1.1 对称美的表现 1.杨辉三角杨辉三角具有对称性，即C=C-1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 1010 511 6 152015 6 11 Cl_CC C1Cn-111 C C2.公式的对称美很多数学公式，它里面的字母具有对称关系，例如完全平方公式(a+b)=a+2ab+b,立方和公式a+b=(a+b)a-ab+b),在公式中，交换字

3、母a 和b, 公式本身没有发生变化. 3.图形的对称美对称的几何图形有很多，比如平面中的等腰三角形、等腰梯形、二次函数的图象、圆、椭圆等 等，它们有些是轴对称图形，有些是中心对称图形；在空间中，球就是一个高度对称的几何体，再如 正多面体，圆台、圆锥等.合理利用这些对称性，将有利于我们快速解题.2 对称在高中数学中的应用2.1 对称性在几何中的应用在几何方面，对称性较为直观。如果我们能将球，圆，双曲线，椭圆，抛物线等的直观对称性应用 到待解决的问题中去，那么就可以把陌生的和困难的问题转化为我们熟悉的容易的问题中来，从而 有种“聊暗花明又一村”的感觉，达到化难为易的效果!2.1.1 解 决 平 面

4、 几 何 问 题例1.如图双曲线 )与直线y=k x(k0) 的图像相交于点A、B,已知点A坐标为( 6,-2),求点B的坐标。分析：学生在求B点坐标的过程中，很多学生都会顺着常规的解题思路，将A(6,-2), 代入函数解析式求出a 、b, 再联立方程组进而求得点B的坐标。确实这样的解题方法很容易就让学 生理解，但计算量很大，也很复杂，若利用函数图象的对称性，则很容易求得B 点的坐标。解：因为正比例函数 y=ax 和反比例函数的图象都关于原点对称，所以两交点的坐标也 关于原点对称，所以B(-6,2)。2.1.3 解 决 最 值 问 题例3已知点M(3,5), 在直线7:x-2y+2=0 和 y

5、 轴上各找一点P 和 Q. 使 MPQ的周长最小。 分析：如下图，作点M 关于直线1的对称点M, 再 作 点M 关于y 轴的对称点M, 连 结MM 、MM,连 线MM 、ML与 1 及y 轴交于P 与 Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的 MPQ的周长最小解：由点M(3,5) 及直线1,可求得点M关于1的对称点M(5,1) 。 同样容易求得点/关于y 轴的对称点M(-3,5)。据M 及 M两点可得到直线MM的方程为x+2 y-7=0.令 x=0, 得 到MM与 y 轴的交点:解方程组 得交点故 点即为所求。恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果2.1.4 解决参数范围问题

6、在解题时有针对性的利用对称性先引入辅助性的新变数(我们一般称之为参数),然后把要证 明或求解的关系式转化为参数的关系式，最后消去参数，从而得到问题的解。我们会发觉利用对称 性会更有利于我们设置简易的参数来方便我们解题。例4 若抛物线y=ax-1 上总存在关于直线x+y=0 的异于交点的两个对称点，试求实数 a 的取值范围。解法一：(对称曲线相交法)曲线y=ax-1 关于直线x+y=0 对称的曲线方程为-x=ay-1. 如果抛物线y=ax-1 上总存在关于直线x+y=0 对称的两点，则两曲线y=ax-1 与-x=ay-1 必有不在直线x+y=0 上的两个不同的交点(如图所示),从而可由：y+x=

7、a(x-y)x+y0,代入y=ax-1 得 有两个不同的解，=(-1-4ac-10=解法二：(对称点法)的点A(-y%,-x)设抛物线y=ax-1 上存在异于于直线x+y=0 的交点 A(x,y),且A(x,y%)关于直线x+y=0 的对称点也在抛物线y=ax-1 上必有两组解。则(1) (2)( 1 ) - ( 2 ) 得y+x=a(x,-y) 必有两个不同解。y+X0,a(x-y)=1有解。从而有 ax-(ax-1)=1 有两个不等的实数解。即 ax-ax-a+1=0 有两个不等的实数解 =(-a)-4a(-a+1)0.a0,: 对比以上的两种方法，我们可以发觉第二种解法更胜一筹，更容易被

8、人理解，运用了对称性来 分析，避免了复杂的分析，从而使解题的思路清晰了，同时也简化了解题步骤，提高解题的速度!2.2 对称性在代数中的应用2.2.1 对称在基本不等式中的运用例5.若x,y0, 且x+y=1, 则 的最小值为 已知正数a,b.c满足a+b+c=1. 则2a+1+ 2b+1+ 2c+1的最大值为 【解析】本题，如果直接用基本不等式，得到答案是错误的，细心的学生会发现两个不等式成立的条件是x=y=1, 显然与已知条件x+y=1 矛盾；那本题应该如何解答呢?解 (利用基本不等式、对勾函数)又 由对勾函数性质知，当 时，此处，用到基本不等式，当且仅当时，等号成立，即当时 ，有 最小值

9、.但是，如果一道填空题就花费大量的时间像做解答题一样来解，往往使得解答题的答题时间变得很紧，得不偿失，考虑到本题中交换x,y 两个字母，题目并没有任何变化，从而它们是对称的，故当时 ，2a+1+ 2b+1+ 2c+1有最小值有最大值3 3.对于第小题，同样，2.2.2 对称在概率中的运用例6.已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班一天，那么甲排在乙前面值班的概 率为 分析：本题考查的是古典概型，我们可以将甲、乙、丙三人排序，共6种不同的情况，并且这6种情况是等可能的，其中甲排在乙前面的共3种情况，因而概率为 其实，我们看甲和乙这两个人，他们在这个事件中的地位是相同的，因而可以认为甲排在乙

10、前面和乙排在甲前面的概率应该 是相同的，而这两种情形构成了整个排序值班事件，故甲排在乙前面和乙排在甲前面值班的概率都为 垂综上所述，在解题过程中，如果注意到对称性并恰当地运用对称性，不仅使复杂繁琐的问题得 以简化，而且可以拓展解题的思路，激发创造性思维，使解决问题的能力得到培养等。因此，在平时， 学生要充分挖掘数学形式或图形的对称性，自觉地运用对称性特征去分析、解决具体问题，培养运 用对称思想方法解决数学问题的能力。【参考文献】1裴礼文，数学分析中的典型问题与方法M. 北京：高等教育出版社，1993.22-24.2陈鼎兴.数学思维与方法M.南京：:东南大学出版社，2001.55-60.3孔令辉.对称性在数学中的应用J. 赣南师范学院学报，2002 .83-85 .4窦丹. “对称思想”对学生数学能力的培养和作用D.东北师范大学，20055刘汝霞.把数学美渗透到教学过程中J. 教育科学，2010,第1期：1681826胡本荣.从对称性看数学中的美学J. 达县师范高等专科学校学报(自然科学版),2004,第 14卷(第2期):1081097彭丽樟.对称美与中学数学教学D. 华中师范大学，20088朱庆云，蔡丽丽，等.轮换对称性在中学数学中的应用J. 教育教学2010,第1期： 139140