2022年函数极限的性质证明(精选多篇).docx

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1、2022年函数极限的性质证明(精选多篇) 第一篇：函数极限的性质证明 函数极限的性质证明 x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限 求极限我会 |xn+1-a|<|xn-a|/a 以此类推，变更数列下标可得|xn-a|<|xn-1-a|/a; |xn-1-a|<|xn-2-a|/a; |x2-a|<|x1-a|/a; 向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/ 2 只要证明x单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： 证明x单调增加。 x=5>x; 设x>x，则 x-x)=- =/>0。 证明x有上界。 x=1<

2、;4， 设x<4，则 x=<<4。 3 当0 当0 构造函数f=x*ax=x*x=x/tx 则： limf=limx/tx =lim =lim1/ =1/ =0 所以，对于数列n*an，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.依据数列极限的定义证明： lim=0 n lim=3/2 n lim=0 n lim0.9999=1 nn个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。lim就省略不打了。 n/=0 /n=1 sin=0 实质就是计算题，只不过题目把答案告知你了，你把过程写出来就好了 第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行 其次题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数

3、列极限变成函数极限，用罗比达法则 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin=0 不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/=lim/=lim/=0/1=0 lim/n=lim=1+lim=1+4lim=1 limsin=lim=lim*lim/=0*1=0 其次篇：函数极限的性质 3.2 函数极限的性质 2函数极限的性质 . 教学目的与要求 1.理解驾驭函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题. 2.驾驭函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限. . 教学重点与难点: 重点: 函数极限的性质. 难点: 函数极限的性质的证明及其应用. .

4、 讲授内容 在1中我们引入了下述六种类型的函数极限： 1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?x?x?x? f?x?；6)limf?x?。 4)limf?x?； 5)lim?x?x0x?x0x?x0 它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可. 定理32若极限limf?x?存在，则此极限是唯一的 x?x0 证设?,?都是f当x?x0时的极限，则对任给的?0，分别存在正数 ?1与?2，使得当0?x?x0?1时有 f?x? ，当0?x?x0?2时有 f?x? ， 取?min?1,?

5、2?，则当0?x?x0?时，式与式同时成立，故有 ?f?x?f?x?f?x?2? 由?的随意性得?，这就证明白极限是唯一的. 定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，则f在x0的某空心邻域u0?x0?内有界 x?x0 证设limf?x?取?1，则存在?0使得对一切x?u0?x0;?有 x?x0 f?x?1?f?x?1 这就证明白f在u0?x0;?内有界 定理34若limf?x?0 ，则对任何正数r?（或x?x0 r?)，存在u0?x0?，使得对一切x?u0?x0?有 f?x?r?0（或f?x?r?0） 证设?0，对任何r?，取?r，则存在?0，使得对一切 x?u0?x0;? f?x?r，

6、 这就证得结论对于?0的情形可类似地证明 注在以后应用局部保号性时，常取r?a2 x?x0定理35设limf?x?与都limg?x?都存在，且在某邻域u0x0;?内x?x0? 有f?x?g?x?则 limf?x?limg?x?（）x?x0x?x0 证设limf?x?=?，limg?x?=?，则对任给的?0，分别存在正数?1与?2使x?x0x?x0 得当0?x?x0?1时有 ?f?x?， 当0?x?x0?2 时有 g?x? 令?min?,?1,?2，则当0?x?x0?时，不等式f?x?g?x?与、两式同时成立，于是有 ?f?x?g?x? 从而?2?由?的随意性推出?，即式成立 定理36设limf

7、?x?=limg?x?=，且在某u0x0;?内有 x?x0x?x0? f?x? 则limh?x? x?x0h?x?g?x? 证按假设，对任给的?0，分别存在正数?1与?2，使得当0?x?x0?1时有，2 ?f?x?当0?x?x0?2时有 g?x?令?min?,?1,?2，则当0?x?x0?时，不等式、同时成立， 故有 ?f?x?h?x?g?x? 由此得h?x?，所以limh?x? x?x0? 定理37（四则运算法则）若极限limf?x?与limg?x?都存在，则函数 x?x0x?x0 f?g,f?g当x?x0时极限也存在，且 1)lim?f?x?g?x?limf?x?limg?x?； x?x0

8、x?x0x?x0 2）lim?f?x?g?x?x?x0x?x0limf?x?limg?x?； x?x0 又若limg?x?0，则f|g当x?x0时极限存在，且有 x?x0 3）limx?x0f?x?gxx?x0limf?x?limg?x? x?x0 这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给学生作为练习 利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简洁的函数极限动身，计算较困难的函数极限 例 1求limx?x?0?x? 解当x?0时有 1?x?x?1， ?x?1? ?1? ?1?x?1?故由迫敛性得：xlim而limx?=1 ?0?x?0?x? 另一方面，当x?0有1?x?1?x，故又

9、由迫敛性又可得：lim x?1 ?x?0?x?x? 综上，我们求得lim x?1 x?0?x? 3 ?1?1?1?1? 例 2求lim?xtanx?1? x? 解由xtanx?xsinx及1例4所得的， cosx sixn?si?lim x?442?limcoxs， ?2x?4 并按四则运算法则有 limsinx ?xtanx?1?=limx?lim x?x?4?4x? 4limcosxx?1=?lim?x?4?1 4 例 3求lim?3?1?3? x?1x?1x?1? 解 当x?1?0时有 ?x?1?x?2?x?213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1 故所求的极限等于 x?2?1?2?

10、1 2x?1x2?x?1?1?1?1lim 例4证明lima?1?a?1? x x?0 证任给?0 ，为使 xa?1?（9） 即1?a?1?，利用对数函数loga loga?1?x?loga?1? 于是，令x（当a?1时）的严格增性，只要 ?min?loga?1?,?loga?1?， 则当0?x?时，就有式成立，从而证得结论 小结与提问:本节要求学生理解驾驭函数极限的性质，并利用其探讨相关命题.指导学生对定理的应用作总结. 课外作业: p51 2、3、5、7、8、9. 第三篇：2函数极限的性质 数学分析上册教案第三章函数极限武汉科技学院理学院 2 函数极限的性质 教学章节：第三章函数极限2 函

11、数极限的性质 教学目标：使学生驾驭函数极限的基本性质. 教学要求：驾驭函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等. 教学重点：函数极限的性质及其计算. 教学难点：函数极限性质证明及其应用. 教学方法：讲练结合. 教学过程： 引言 在1中我们引进了下述六种类型的函数极限： 1、limf；2、limf；3、limf；4、limf;5、limf；6、limf. x?x?x?x?x0x?x0?x?x0? 它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以limf为代表来叙述并证明这些性质.至 x?x0 于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可. 一、函数极限的性质 性质1（唯

12、一性） 假如x?a limfx?alimf存在，则必定唯一. 证法一设?a，x?alimf?b,则 ?0,?1?0,当0?|x?a|?1时， |f?a|?, ?2?0,当0?|x?a|?2时， |f?b|?. ?min?1,?2?取 因而有 ，则当0?x?a?时（1）和（2）同时成立. a?b?a)?b)?f?a?f?b?2?, 由?的随意性，（3）式只有当 a?b?0 时，即a?b时才成立. a?b2 证法二反证,如x?a 0?x?a? limf ?a ，x?a limf?b 且a?b，取 ?0? ，则?0，使当 时， f?a?0,f?b?0 , 即 a?b2 ?a?0?f?b?0? a?b

13、2 冲突. 性质2（局部有界性） 若limf存在，则f在x0的某空心邻域内有界. x?x0 limf?a ?1x?x0证明取, 由 , ?0, 当0?x?x0?时, 有f?a?1, 即 f?a?f?a?a?1 ， a?1 说明f在u0上有界，就是一个界. limf?b x?a 性质3（保序性） 设，x?a limg?c . 0?x?a?0?0 1）若b?c，则0，当时有f?g； 0?x?a?0 2）若 ?0?0 ，当 时有f?g，则b?c.（保不等式性） 证明1） 取 ?0? b?c2 即得.2）反证，由1）即得. 注若在2）的条件中, 改“f?g”为“f?g”,未必就有 a?b.以 f?1?

14、x,g?1,x0?0 举例说明. 推论（局部保号性） 假如x?a 号. limf?b 0?x?a?0?0 且b?0，则0使当时f与b同 性质4（迫敛性） 设limf?limh?a，且在某u0内有f?g?h， x?x0 x?x0 则limh?a. x?x0 证明?0, 由x?x limh?a limf?a ，?1?0，使得当0?x?x0?1时， 有f?a?，即 a?f?a?.又由 x?x0 ，?2?0，使得当0?x?x0?2时 ，有h?a?， 即a?h?a?. 令?min，则当0?x?x0?时，有a?f?g?h?a? limg?a 即g?a?，故 x?x. 性质6（四则运算法则） 若limf和l

15、img都存在，则函数f?g,fg当x?x0时极限 x?x0 x?x0 也存在，且 1）lim?f?g?limf?limg；2）lim?f?g?limf?limg. x?x0 x?x0 x?x0 x?x0 x?x0 x?x0 又若limg?0，则 x?x0 fg 当x?x0时极限也存在，且有 3）lim fg x?x0 ? x?x0 limf x?x0 limg . 3）的证明 只要证有 x?x0 lim 1g b2 ? 1b，令 ?0? b2 ?0 ，由 x?x0 limg?b b2 0?x?x0?1 ，?1?0使得当时， b2 g?b? ， 即 g?b?g?b?b? . g?b? b2 ?0

16、 ,仍旧由 x?x0 limg?b ?2?0, 使得当0?x?x0?2时，有 ? . 0?x?x0? 取?min，则当时，有 1g ?1b? g?bgb ? 2b g?b? 2b ? b2 ? 即 x?x0 lim 1g ? 1b. 二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限 利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简洁函数极限”动身，计算较困难函数的极限.已证明过以下几个极限： limc?c,limx?x0,limsinx?sinx0,limcosx?cosx0; x?x0 x?x0 x?x0 x?x0 lim 1x x? ?0,limarctgx? x? ? .（ 留意前四个极限中极限就是

17、函数值 ） 这些极限可作为公式用. 在计算一些简洁极限时,利用极限性质，特殊是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 例1 求limx?. x?0 ?x? ?1? 例2 求lim? . x? 例3 求lim. 例4lim 5x?3x?73x3 ?2x2 ?5 . x? 注关于x的有理分式当x?时的极限.参阅4p37. 7 例5lim x?1n x 10利用公式x?1 ?1 .a?1? . 例6lim x?2x?2?1x?1 x2 ?x?2 . 例7lim 2x? 3x?1 x? 3x?5 . 例8lim xsin 3?2x . x

18、? 例9lim ?x?1. x?0 ?x?1 例10已知 lim x?16?a参阅4p69. x?3 x?3 ?b.求 a和b.作业教材p51521 -7，8； 2 补充题已知lim x?ax?b7.求a和b. 例11lim?2?x2?ax?b? ?0.x?1?x ?求a和b. ? 2解法一 2?x ?ax?ax 1?x ?ax? 2?x1?x ? ?x2 ?ax?2 1?x ?b,. ?a?1?0,a?1;又 ?a?b,?b?1. 解法二2?x2 1?x?ax?b?x ? 2?x2?a?b? ?，?x?x 2x? 由x?且原式极限存在， ? 2?x2x?x ?a?b x?0，即 a?lim?

19、2?x2?b? ?1,b?lim?2?x2?x?1x?. ?x?x2x?x?1?x? 第四篇：2 函数极限的性质 2 函数极限的性质 在1中我们引入了下述六种类型的函数极限： 1）；2）；3）； 4）；5）；6）。 它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4）种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。 至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可。 定理3.2（唯一性）若极限 证设与、都是当 存在，则此极限是唯一的。 时的极限，则对任给的， 分别存在正数，使得当 时有 （1） 当 时有 （2） 取，则当时，（1）式与 式同时成立，故有 由的随意性得。这就证明白极限是唯一的。 定理3

20、.3（局部有界性） 若极限 内有界。存在，则在某空心邻域 证设 。取，则存在，使得对一切 。 有 这就证明白在内有界。 定理3.4（局部保号性）若（或 ），存在，使得对一切 有 （或），则对任何正数 （或 证 设 有 ，这就证得结论。对于，对任何 ，取 ，则存在 ）。 ，使得对一切 的情形可类似地证明。 定理3.5（保不等式性）设 内有 ，则 与 都存在，且在某邻域 。（3） 证 设，使得当 ，时 ，则对任给的，分别存在正数与 （4） 当 时有 （5） 令 ，则当 时，不等式 与（4）, （5）式同时成立，于是 有式成立。 ，从而 。由的随意性得 ，即（3） 定理3.6（迫敛性）设=，且在某内

21、有 （6） 则 。 证 按假设， 对任给的 ，分别存在正数 与 ，使得当 时 （7） 当 时有 （8） 令 式同时成立，故有 ，则当 时，不等式（6）、（7）、（8） ，由此得 ，所以。 定理3.7（四则运算法则）若极限， 当 与 都存在，则函数 时极限也存在，且 1） = 2） = 又若，则当时极限也存在，且有 ） 这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给读者作为练习。 利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简洁的函数极限动身计算较困难的函数极限。 例1求。 解 由第一章3习题13，当 时有 ，而 ，故由迫敛性得 。 另一方面，当时有 ，故由迫敛性又可得 。 综上，我们求得

22、。 例2 求。 解由 及1例4所得的 并按四则运算法则有 = 例3 求 解 当 时有 。 故所求极限等于 。 例4证明证任给 （不妨设 ），为使 （9） 即 ，利用对数函数 （当 时）的严格增性，只要 于是，令 成立，从而证得结论。 ，则当时，就有（9）式 第五篇：函数极限的证明 函数极限的证明 时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证 时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4验证例5验证例6验证

23、证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在. 例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =2函数极限的性质 教学目的：使学生驾驭函数极限的基本性质。 教学要求：驾驭函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限:,.以下以极限为例探讨性质.均给出证明

24、或简证. 二、讲授新课： 函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性: th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设= 註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性: 6.四则运算性质: 利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： 这些极限可作为公式用.在计算一些简洁极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将接连证明这些公式. 利用极限性质，特殊是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限. 例1 例2例3註:关于的有理分式当时的极限. 例4 例5例6例7 第30页 共30页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页