2022年全国各地中考试题压轴题精选讲座五抛物线与几何问题 .pdf

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1、2011 年全国各地中考试题压轴题精选讲座五抛物线与几何问题【知识纵横】抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：2yaxbxc (a0) ；2、顶点式： y =a(xh) 2-k；3、交点式： y=a(xx 1)(xx 2 ) ，这里 x 1、x 2是方程 ax 2 +bx+c=0 的两个实根。解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。【典型例题】【例 1】 （浙江宁波）如图，平面直角坐标系Oxy中，点 A 的坐标为（ 2，2）,点 B 的坐标为（ 6，6） ，抛物线经过A、O、B 三点，连结 OA 、

2、OB、AB，线段 AB 交y轴于点 E（1）求点 E 的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3） 点 F 为线段 OB 上的一个动点（不与点O、 B 重合） ，直线 EF 与抛物线交于 M、N 两点（点N 在y轴右侧），连结 ON、BN，当点 F 在线段 OB 上运动时， 求BON 面积的最大值，并求出此时点N 的坐标；（4） 连结 AN ， 当BON 面积最大时， 在坐标平面内求使得BOP 与OAN 相似（点B、O、P 分别与点 O、A、N 对应）的点P的坐标【思路点拨 】 （1）根据 A、B 两点坐标求直线AB 的解析式，令x=0 ，即可求 E点坐标。 （2）列方程组求a、b的值。 （3）

3、依题意，设N211 , 42xxx，求出BON 面积关于x的函数表达式，用二次函数的最值原理，可求N 点的坐标。（4）根据三角形相似的性质得到BO：OA=OP ：AN=BP ：ON ，然后根据勾股定理即可求出点P 的坐精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 标。【例 2】 （天津） 已知抛物线1C ：21112yxx点 F(1，1)() 求抛物线1C 的顶点坐标；() 若抛物线1C 与y轴的交点为A连接 AF，并延长交抛物线1C 于点

4、B，求证：112AFBF抛物线1C 上任意一点P（PPxy，）)（ 01Px） 连接 PF并延长交抛物线1C 于点 Q（QQxy，） ，试判断112PFQF是否成立？请说明理由；() 将抛物线1C 作适当的平移 得抛物线2C ：221()2yxh，若2xm时2yx恒成立，求m 的最大值【思路点拨 】 (I) 只要把二次函数变形为2ya xmn的形式即可。(II) 求出AF 和 BF 即可证明。应用勾股定理和相似三角形的判定和性质求出PF 和 QF 即可。() 应用图象平移和抛物线的性质来证明。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

5、 - - - - - - - -第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 【例 3】 （浙江省） 如图，在直角坐标系中，抛物线20yaxbxc a与x轴交与点 A（ 1,0） 、B（3,0）两点，抛物线交y轴于点 C（0,3） ，点 D为抛物线的顶点 直线1yx交抛物线于点M、N 两点，过线段MN 上一点 P 作y轴的平行线交抛物线于点Q(1)求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)问点 P 在何处时，线段PQ 最长，最长为多少？(3)设 E 为线段 OC 上的三等分点，连接EP，EQ，若 EP=EQ，求点 P 的坐标【思路点拨 】 （1）由待定系数法可求抛物线的解析

6、式，化为顶点式可求顶点坐标。 （2）把线段 PQ 用含 P(x, x1) ，Q (x, 223xx)来表示，用二次函数的最值原理可求。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 【例 4】 （四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中， ABC 的 A、B 两个顶点在x轴上，顶点C 在y轴的负半轴上已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|， ABC 的面积 SABC=15，抛物线2(0)yaxbxc a）经过 A、B、C 三点（1

7、）求此抛物线的函数表达式；（2）设 E 是y轴右侧抛物线上异于点B 的一个动点，过点E 作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点 F 作 FG 垂直于x轴于点 G，再过点 E 作 EH 垂直于x轴于点 H，得到矩形EFGH则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B、C 的点 M，使 MBC 中 BC 边上的高为72？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨 】 （1） 由已知设OA(0)t t，根据题意求t的值。（2）设 E 点坐标为2(45)xxx，抛物线对称轴为x=2 ，根据EHEF，列方程求解。 （3）利用直线解析

8、式与抛物线解析式联立，求M 点的坐标。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 【学力训练】1、 （浙江绍兴） 抛物线21134yx与y轴交于点 A，顶点为 B，对称轴 BC 与x轴交于点 C（1）如图 1求点 A 的坐标及线段OC 的长；（2）点 P 在抛物线上，直线PQBC 交 x 轴于点 Q，连接 BQ若含 45 角的直角三角板如图2 所示放置其中，一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在 BQ 上，另一个顶点 E 在 PQ 上求直线B

9、Q 的函数解析式；若含 30角的直角三角板一个顶点与点C 重合， 直角顶点 D 在直线 BQ 上，另一个顶点 E 在 PQ 上，求点 P 的坐标精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 2、 （浙江衢州）已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0） ，点 B（ 3，0） ，并且当两直线同时相交于y正半轴的点C 时，恰好有 l1l2，经过点 A、B、C 的抛物线的对称轴与直线 l2交于点 K，如图所示（1）求点 C 的坐标，并求出抛物线的函数

10、解析式；（2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；（3）当直线 l2绕点 C 旋转时，与抛物线的另一个交点为M ，请找出使 MCK 为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M 的坐标精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 3、 （广西桂林）已知二次函数21342yxx的图象如图（1）求它的对称轴与x轴交点 D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线

11、与x轴，y轴的交点分别为 A、B、C 三点，若 ACB=90 ，求此时抛物线的解析式；（3）设（ 2）中平移后的抛物线的顶点为M，以 AB 为直径， D 为圆心作 D，试判断直线 CM 与 D 的位置关系，并说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 4、 （山东日照） 如图，抛物线20yaxbx a与双曲线kyx相交于点 A， B已知点 B 的坐标为（ 2， 2） ，点 A 在第一象限内，且tanAOX 4过点 A 作直线ACx轴

12、，交抛物线于另一点C（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算 ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使 ABD 的面积等于 ABC 的面积若存在，请你写出点 D 的坐标；若不存在，请你说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 5、 （湖北黄冈） 如图所示，过点F（0，1）的直线 y=kx+b 与抛物线 y=14x2交于 M（x1，y1）和 N（x2， y2）两点（其中x10， x20） （1）求 b 的值（2）求 x1?

13、x2的值（3）分别过 M，N 作直线 l：y=1 的垂线，垂足分别是M1和 N1判断 M1FN1的形状，并证明你的结论（4）对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线m，使 m 与以 MN 为直径的圆相切 如果有， 请求出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由抛物线与几何问题的参考答案【典型例题】【例 1】 （浙江宁波）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 解： （1）设nmxy，将点 A（ 2，2）,点 B 6，6）代入得

14、6622nmnm得3,21nm。 321xy。当0 x时，3y。 点 E 的坐标（ 0，3） 。（2）设抛物线的函数解析式为bxaxy2，将 A（ 2，2）,点 B 6， 6）代入得6636224baba解得21,41ba。抛物线的解析式为xxy21412。（3）过点 N 作x轴的垂线NG，垂足为G，交 OB 于点 Q，过 B 作 BHx轴于 H，设 N211 , 42xxx，则 Q（x，x）BONQONBQN2SSS11 =QN OG+QN GH221QNOG+GH21QN OH21116242xxx = = =VVVxx29432427) 3(432x)60(x。当3x时， BON 面积最

15、大，最大值为427。 此时点 N 的坐标为（ 3，34） 。（4）过点 A 作 ASGQ 于 S A（ 2，2）, B（6，6） ， N（3，34） ， AOE= OAS=BOH= 45 , OG=3，NG=43，NS=45，AS=5。在 RtSAN 和 RtNOG 中， tanSAN=tan NOG=41。 SAN= NOG。 OAS SAN= BOG NOG 。 OAN= BON 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - - ON 的

16、延长线上存在一点P，使 BOP OAN 。A（ 2，2）, N（3，34） ，在 RtASN 中，AN=222255 17AS +SN544。当BOP OAN 时，OBOPOAAN，即62OP225 174，得 OP=41715。过点 P 作 PTx 轴于点 T， OPT ONG 。 PTNG1OTOG4。设 P（4 , tt） ， 22)4(tt2)41715(，解得，415,41521tt（舍）。点 P 的坐标为)415,15(将OPT 沿直线OB 翻折，可得出另一个满足条件的点P)15,415(。由以上推理可知，当点P 的坐标为)415,15(或)15,415(时， BOP 与OAN 相

17、似。【例 2】 （天津）解：(I)2211111(1)222yxxx，抛物线1C 的顶点坐标为 (112，)(II) 根据题意，可得点A(0， 1)，F(1，1) ABx轴得AF=BF=1 ，112AFBF112PFQF成立理由如下：如图，过点P（PPxy，）作 PMAB 于点 M，则FM=P1x，PM=P1y（P01x） 。RtPMF 中，有勾股定理，得22222PPPFFMPM(1)(1)xy又点 P（PPxy，）在抛物线1C 上，得2PP11(1)22yx，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -

18、-第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 即2PP(1)21xy222PPPPF21(1)yyy，即PPFy。过点 Q（QQxy，）作 QNAB ，与 AB 的延长线交于点N，同理可得QQFy PMF=QNF=90 ， MFP=NFQ， PMF QNF。PFPMQFQN，这里PPM11PFy，QQN1QF1y。PF1PFQFQF1，即112PFQF。() 令3yx，设其图象与抛物线2C 交点的横坐标为0 x，0 x，且0 x0 x，抛物线2C 可以看作是抛物线212yx左右平移得到的，观察图象随着抛物线2C 向右不断平移，0 x，0 x的值不断增大，当满足2xm，

19、2yx恒成立时， m 的最大值在0 x处取得。当02x时所对应的0 x即为 m 的最大值。将02x带入21()2xhx，得21(2)22h。解得4h或0h（舍去）。221(4)2yx。此时，23yy，得21(4)2xx。解得02x，08x。m 的最大值为8。【例 3】 （浙江省）解： （1）由题意， 抛物线交y轴于点 C（0,3） ，故设抛物线的解析式为23yaxbx，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 把 A（ 1,0） 、B（

20、3,0）代入，得：309330abab，解得12ab。抛物线的解析式为222314yxxx。抛物线的顶点坐标为（1，4） 。（2）由题意，得P(x, x1) ，Q (x, 223xx)， 线段 PQ=222117231424xxxxxx。当x=12时，线段PQ 最长为174。（3）E 为线段 OC 上的三等分点，OC=3, E(0，1)，或 E(0，2)。EP=EQ，PQ 与 y 轴平行， 2 OE= 2231xxx当 OE=1 时，x1=0，x2=3，点 P 坐标为（ 0， 1）或（ 3，2） 。当 OE=2 时，x1=1，x2=2， 点 P坐标为（ 1，0）或（ 2，1） 。综上所述，点P

21、的坐标为（ 0， 1）或（ 3，2）或（ 1，0）或（ 2，1） 。【例 4】 （四川成都）解： （1）OA : OB1:5，设OA(0)t t，则OB5tAB6t。又OBOC，OC5t。ABC11SABOC651522tt，21t，即1t。而0t，1t。OA1,OBOC5。 ABC 三个顶点的坐标分别是A(1 0)，,B(5 0)，,C(05)，。抛物线2yaxbxc经过 A、B、C 三点，设(1)(5)ya xx，把C(05)，代入得1a。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共

22、22 页 - - - - - - - - - - 此抛物线的函数表达式为245yxx。（2）设点 E 的坐标为2(45)xxx，点 E 在 Y 轴右侧的抛物线上，0 x。由抛物线的对称性，知点F 与点 E 关于抛物线的对称轴x=2 对称，易得点 F 的坐标为2(445)xxx，。要使矩形 EFGH 能成为正方形，有EHEF,则24524xxx。24524xxx或24524xxx。由得，2610 xx，解得12310310 xx，（舍去）。由得，2290 xx，解得34110110 xx，（舍去）。当310 x时，EF2(310)422 10，此时正方形EFGH的边长为22 10。当110 x时

23、，EF2(110)42 102，此时正方形EFGH 的边长为2 102。当矩形 EFGH 为正方形时，该正方形的边长为22 10或2 102。（3）假设存在点M，使 MBC 中 BC 边上的高为7 2。M 点应在与直线BC 平行，且相距72的两条平行直线1l和2l上。由平行线的性质可得：1l和2l与 y 轴的交点到直线BC 的距离也为7 2。如图，设1l与 y 轴交于 P 点,过 P 作 PQ 与直线 BC 垂直，垂足为点Q，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 22 页 - -

24、- - - - - - - - OBOC， OBC= OCB=45 。在 RtPQC 中，PQ7 2，PCQ=OCB=45 ，由勾股定理，得PC2 PQ14。直线1l与 y 轴的交点坐标为P(0,9)。同理可求得：2l与 y 轴交点坐标为(019)R，。易知直线 BC 的函数表达式5yx。直线1l和2l的函数表达式分别为12:9:19lyxlyx；。根据题意，列出方程组：2-4 -59yxxyx，2-4 -519yxxyx。由得，25140 xx，解得11716xy；2227xy。由得，25140 xx， =-310 此方程无实数根。在抛物线上存在点M ，使 MBC中BC边上的高为7 2，其坐

25、标分别为：12(7 16)( 2 7)MM，、，。【学力训练】1、 （浙江绍兴）解： （1）把x=0 代入抛物线得：114y， 点 A（0，114） 。又抛物线的对称轴为x=1， OC=1。（2）如图， B（1，3）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 分别过点 D 作 DM x轴于 M，DNPQ 于点 N，PQBC， DMQ= DNQ= MQN=90 。DMQN 是矩形。 CDE 是等腰直角三角形，DC=DE ，CDM= EDN

26、。 CDM EDN（AAS ） 。DM=DN 。DMQN 是正方形。 BQC=45 。CQ=CB=3 。Q（4，0） 。设 BQ 的解析式为：ykxb，把 B（1，3） ，Q（4， 0）代入解析式，得340kbkb，解得14kb。直线 BQ 的解析式为4yx。当点 P 在对称轴右侧，如图：过点 D 作 DM x轴于 M， DNPQ 于 N， CDE=90 ， CDM= EDN 。 CDM EDN 。当DCE=30 ，DCDM3DEDN，又 DN=MQ ，DM3MQ。BC3CQ，BC=3，CQ=3。Q（1+ 3，0） 。P1（913 , 4） 。当DCE=60 ，点 P2（15133 , 4）

27、。当点 P 在对称轴的左边时，由对称性知：P3（913 , 4） ，P4（15133 , 4） 。综上所述，所求点P 的坐标为P1（913 , 4） ， P2（15133 , 4） ， P3（913 , 4） ，P4（1513 3 , 4） 。2、 （浙江衢州）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 解： （1）由题意易知：BOC COA，COAOBOCO，即CO13CO，CO= 3。点 C 的坐标是（ 0，3） 。由题意，可设抛物线

28、的函数解析式为23yaxbx，把 A（1，0） ，B（ 3，0）的坐标分别代入23yaxbx，得309330abab，解得332 33ab。抛物线的函数解析式为2323333yxx。（2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF 。理由如下：可求得直线l1的解析式为33yx，直线 l2的解析式为333yx，抛物线的函数解析式可化为234 3133yx，抛物线的对称轴为直线x=1，顶点 D 的坐标为（ 1，4 33） ；把x=1代入33yx即可求得点K 的坐标为（ 1，2 3） ；把x=1代入333yx即可求得点E 的坐标为（ 1，2 33） ；又点 F 的坐标为（1，0） ，KD=2 33，D

29、E=233，EF=2 33。KD=DE=EF 。（3）当点 M 的坐标分别为（2，3） ， （ 1，4 33）时， MCK 为等腰三角形理由如下：（i）连接 BK，交抛物线于点G，连接 CG，易知点 G 的坐标为（ 2，3） ，又点 C 的坐标为（ 0，3） ，GCAB 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 可求得 AB=BK=4 ，且 ABK=60 ，即 ABK 为正三角形， CGK 为正三角形。当 l2与抛物线交于点G，即 l

30、2AB 时，符合题意， 此时点 M1的坐标为 （ 2，3） 。（ii）连接 CD，由 KD=2 33，CK=CG=2 ， CKD=30 ，易知 KDC 为等腰三角形。当 l2过抛物线顶点D 时，符合题意，此时点M2坐标为（ 1，4 33） 。（iii ）当点 M 在抛物线对称轴右边时，只有点M 与点 A 重合时，满足CM=CK ，但点 A、C、K 在同一直线上，不能构成三角形。综上所述，当点M 的坐标分别为（2，3） ， （ 1，4 33）时， MCK 为等腰三角形。3、 （广西桂林）解： （1）由21342yxx，得32bxa， D（3，0） 。（2）如图 1，设平移后的抛物线的解析式为21

31、342yxxk，则 C（0，k） ， OC=k，令y=0，即213042xxk，得12349 , 349xkxk。A349 , 0k，B349 , 0k，22AB4933491636kkk，2222222ACBC349 +349 2836kkkkkk。AC2+BC2=AB2，即：21636836kkk，得k1=4，k2=0（舍去），抛物线的解析式为213442yxx。（3）如图 2，由抛物线的解析式213442yxx可得，A（ 2，0） ，B（8，0） ， C（ 4，0） ，D（3，0） ，M253 , 4，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载

32、名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 过 C、M 作直线，连接CD，过 M 作 MH 垂直 y 轴于 H，则 MH=3 ，2225625DM416，2222225225CMMHCH34416。在 RtCOD 中，22CD345AD，点 C 在 D 上。2225625DM416，DM2=CM2+CD2。 CDM 是直角三角形。CDCM。直线 CM 与 D 相切。4、 （山东日照）解： （1）把点 B（ 2， 2）的坐标代入kyx得，22k，k4。双曲线的解析式为：4yx。设 A 点的坐标为（ m，n） A 点在双曲线上

33、，mn4。又 tanAOX 4，mn 4，即 m4n。n21， n 1。A 点在第一象限， n1， m4。 A 点的坐标为 （1，4） 。把 A、B 点的坐标代入2yaxbx得，4422abab，解得，a1，b3。抛物线的解析式为：23yxx。（2） ACx轴，点C 的纵坐标y4，代入23yxx得方程，2340 xx，解得x1 4，x21（舍去）。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - - C 点的坐标为（4，4） ，且 AC 5。又 A

34、BC 的高为 6， ABC 的面积12 5 615。（3）存在 D 点使 ABD 的面积等于 ABC 的面积。理由如下：过点 C 作 CDAB 交抛物线于另一点D，此时 ABD 的面积等于 ABC 的面积（同底： AB，等高： CD 和 AB 的距离）。直线 AB 相应的一次函数是：22yx，且 CDAB ，可设直线CD 解析式为2yxp，把 C 点的坐标（4，4）代入可得，12p。直线 CD 相应的一次函数是：212yx。解方程组23212yxxyx，解得，318xy。点 D 的坐标为（ 3，18） 。5、 （湖北黄冈）解： （1）直线y=kx+b 过点 F（0，1） ， b=1。（2）直线

35、y=kx+b 与抛物线y=14x2交于 M（x1，y1）和 N（x2，y2）两点，可以得出： kx+b=14x2，整理得： x2 4kx 4=0。x1?x2=4。（3） M1FN1是直角三角形（F 点是直角顶点） 。理由如下：设直线 l 与 y 轴的交点是F1，则FM12=FF12+M1F12=x12+4， FN12=FF12+F1N12=x22+4，M1N12=（x1x2）2=x12+x22 2x1x2=x12+x22+8，FM12+FN12=M1N12。 M1FN1是以 F 点为直角顶点的直角三角形。（4）存在，该直线为y=1。理由如下：直线 y=1 即为直线 M1N1。如图，设 N 点横

36、坐标为m，则 N 点纵坐标为21m4精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 计算知 NN1=21m14NF=2221m(m1)421m14，得 NN1=NF。同理 MM1=MF 。MN=MM1NN1。作梯形 MM1N1N 的中位线PQ，由中位线性质知PQ=12（MM1NN1）=12MN ，即圆心到直线y=1 的距离等于圆的半径，所以y=1 总与该圆相切。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - - -