2014高考数学文复习方案-二轮作业手册专题综合训练-专题三-三角函数、三角恒等变换与解三角形-.pdf

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1、第九章平面解析几何第5 课时直线与圆的位置关系考情分析考点新知掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定的两个圆的方程，判断两圆的位置关系 . 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 .1. 已知圆 O ： x2y24， 则过点 P(2， 4) 与圆 O相切的切线方程为 _ 答案： 3x4y100 或 x2解析：点 P(2，4)不在圆 O上， 切线 PT的直线方程可设为yk(x 2)4. 根据 dr ，| 2k4|1k22，解得 k34，所以 y34(x 2)4，即 3x4y100.因为过圆外一点作圆的切线应该有两条，可见另一

2、条直线的斜率不存在易求另一条切线为 x2.2. (必修 2P115练习 1 改编 )已知圆 (x 1)2(y 2)26 与直线 2xy50 的位置关系是_答案：相交解析：由题意知圆心 (1，2) 到直线 2xy50 的距离 d5，0d6，故该直线与圆相交但不过圆心精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 3. ( 必修 2P115练习 4 改编) 若圆 x2y21 与直线 ykx2 没有公共点，则实数k 的取值范围是 _答案： (3，3)

3、解析：由题意知21k21，解得3k3.4. 过直线 xy220 上点 P 作圆 x2y21 的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点 P的坐标是 _答案： (2，2)解析：本题主要考查数形结合的思想，设P(x，y) ，则由已知可得 PO(O为原点 )与切线的夹角为 30，则|PO|2，由x2y24，xy22，可得x2，y2.5. ( 必修 2P107习题 4 改编) 以点(2，2) 为圆心并且与圆 x2y22x4y10 相外切的圆的方程是 _答案： (x 2)2(y 2)29解析：设所求圆的方程为(x 2)2(y 2)2r2(r0) ，此圆与圆x2y22x4y10，即(x 1)2(y 2)24

4、 相外切，所以（21）2（ 22）22r，解得 r3. 所以所求圆的方程为 (x 2)2(y 2)29.1. 直线与圆的位置关系(1) 直线与圆相交，有两个公共点；(2) 直线与圆相切，只有一个公共点；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - - (3) 直线与圆相离，无公共点2. 直线与圆的位置关系的判断方法直线 l ：AxByC0(A，B不全为 0) 与圆(x a)2(y b)2r2(r0) 的位置关系的判断方法：(1) 几何方法：圆心(

5、a ，b) 到直线 AxByC0 的距离为 d，dr?直线与圆相离(2) 代数方法：由 AxByC0， (x a)2(y b)2r2，消元，得到的一元二次方程的判别式为，则0?直线与圆相交；0?直线与圆相切；0)与(x a2)2(y b2)2r22(r20)的圆心距为 d，则dr1r2?两圆外离；dr1r2?两圆外切；|r1r2|dr1r2?两圆相交；d|r1r2|(r1r2) ?两圆内切；0d|r1r2|(r1r2) ?两圆内含 (d 0 时为同心圆).题型 1 直线与圆的位置关系例 1已知圆C：(x 1)2(y 2)225，直线l ：(2m1)x (m1)y 7m 40( m R)(1)

6、求证：不论 m取什么实数，直线l 与圆 C恒交于两点；(2) 求直线被圆 C截得的弦长最小时直线l 的方程(1) 证明：直线l的方程整理得(x y4) m(2xy7) 0， mR，2xy70，xy40 x3，y1，也就是直线 l 恒过定点 A(3，1)由于|AC| 55(半径)， 点 A(3，1)在圆 C内，故直线 l 与圆 C恒交于两点(2) 解：弦长最小时，直线l AC ，而 kAC12，故此时直线l 的方程为 2xy50.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 19 页 - -

7、- - - - - - - - 已知圆 x2y26mx 2(m1)y 10m22m 240( m R)(1) 求证：不论 m取什么值，圆心在同一直线l 上；(2) 与 l 平行的直线中，哪些与圆相交，相切，相离(1) 证明：配方得(x 3m)2y (m1)225.设圆心为 (x ，y) ，则x3m ，ym 1，消去m ，得 x3y30. 故不论 m取什么值，圆心在同一直线l ：x3y30 上(2) 解：设与l平行的直线为n：x3yb0，则圆心到直线l的距离d|3m3（m 1）b|10|3 b|10， 由于圆的半径 r5， 当 dr， 即5103br，即b5 103 时，直线与圆相离题型 2 直

8、线与圆相交的弦的问题例 2已知圆 C：x2(y 3)24，一动直线 l 过 A(1，0)与圆 C相交于 P、Q两点，M是 PQ中点， l 与直线 m ：x3y60 相交于 N.(1) 求证：当 l 与 m垂直时， l 必过圆心 C；(2) 当 PQ 2 3时，求直线 l 的方程；(3) 探索AMAN是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由(1) 证明： l与 m垂直，且 km13，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 19 页 - - - - - - - -

9、- - kl3. 又 kAC3，所以当 l 与 m垂直时， l 的方程为 y3(x1)，l 必过圆心 C.(2) 解：当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x1 符合题意当直线l 与 x 轴不垂直时， 设直线 l 的方程为 yk(x 1)，即 kxyk0. 因为 PQ 2 3，所以 CM431，则由 CM | k3|k211，得 k43， 直线 l ：4x3y40. 从而所求的直线 l 的方程为 x1 或 4x3y40.(3) 解：CM MN ， AMAN(ACCM) ANACANCMANACAN .当 l 与 x 轴垂直时，易得 N1，53，则AN 0，53. 又AC(1 ，3) ， AMAN

10、ACAN 5；当l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x 1) ，则由yk（x1），x3y60，得 N3k613k，5k13k，则AN513k，5k13k. AMANACAN513k15k13k5.综上， AMAN与直线 l 的斜率无关，且 AMAN5.另解：连结 CA并延长交 m于点 B，连结 CM ，CN ，由题意知 AC m ，又 CM l ， 四点 M 、C、N、B 都在以 CN为直径的圆上，由相交弦定理，得AMAN|AM|AN|AC| |AB| 5. 已知圆 C：(x 3)2(y 4)24，直线 l1过定点 A(1，0) (1) 若 l1与圆相切，求 l1的方程；精品资料 - - -

11、 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - - (2) 若 l1与圆相交于 P、Q两点，线段 PQ的中点为 M ，又 l1与 l2：x2y20 的交点为 N ，判断 AM AN是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由解：(1) 若直线 l1的斜率不存在，即直线是x1，符合题意若直线 l1斜率存在，设直线l1为 yk(x 1)，即 kxyk0.由题意知，圆心 (3，4)到已知直线 l1的距离等于半径2，即|3k4kk212，解得 k34.所求直线方程是x1

12、或 3x4y30.(2) (解法 1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kxyk0.由x2y20，kxyk0，得 N2k22k1，3k2k1.又直线 CM 与 l1垂直，由ykxk，y41k（x3），得 Mk24k31k2，4k22k1k2. AMAN k24k31k2124k22k1k222|2k 1|1k21k23 1k2|2k 1|6 为定值故 AM AN是定值，且为 6.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - -

13、( 解法 2) 直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kxyk0.由x2y20，kxyk0，得 N2k22k1，3k2k1.再由ykxk，（x3）2（y4）24，得(1k2)x2(2k28k6)x k28k210.x1x22k2 8k 61 k2，得 Mk24k31k2，4k22k1k2.以下同解法 1.( 解法 3) 用几何法连结 CA并延长交 l2于点 B，kAC2，kl212，CB l2. 如图所示， AMC ABN ，则AMABACAN，可得 AM AN AC AB 2 5356，是定值题型 3 圆的切线问题例 3 求半径为 4，与圆 x2y24x2y40 相切，且和直线

14、y0 相切的圆的方程解：由题意，设所求圆的方程为圆C：(x a)2(y b)2r2.圆 C与直线 y0 相切，且半径为4，则圆心 C的坐标为 C1(a，4) 或 C2(a，4) 又精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 已知圆 x2y24x2y40 的圆心 A的坐标为 (2 ，1)，半径为 3. 若两圆相切，则|CA| 437 或|CA| 431. 当 C1(a ，4) 时，有(a 2)2(41)272或(a 2)2(41)212( 无

15、解)，故可得 a2210. 所求圆方程为 (x 2210)2(y 4)242或(x 22 10)2(y 4)242. 当 C2(a ，4)时，(a 2)2(41)272或(a2)2(41)212(无解)，故 a22 6. 所求圆的方程为 (x 226)2(y 4)242或(x 22 6)2(y 4)242.自点 A(3，3)发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，反射光线所在的直线与圆C：x2y24x4y70 相切求：(1) 光线 l 和反射光线所在的直线方程；(2) 光线自 A到切点所经过的路程解：根据对称关系，首先求出点A的对称点 A的坐标为()3，3 ，其次设过 A的圆 C的切线

16、方程为yk()x3 3.根据 dr ，即求出圆 C的切线的斜率为 k43或 k34，进一步求出反射光线所在的直线的方程为4x3y30 或 3x4y30.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 最后根据入射光与反射光关于x 轴对称，求出入射光所在直线方程为4x3y30或 3x4y30.光路的距离为|AM，可由勾股定理求得|AM2|AC2|CM27.【示例】( 本题模拟高考评分标准，满分14 分)直线 l 过点(4，0)且与圆 (x1)2(

17、y 2)225 交于 A，B两点，如果 AB 8，求直线 l 的方程学生错解：解：设直线 l 的方程为 yk(x 4)， 由被圆截得的弦长为8，可得圆心 (1，2) 到直线 yk(x 4) 的距离为 3，即|3k 2|1k23，解得 k512，此时直线方程为 5x12y200.审题引导： (1) 如何设过定点的直线的方程？(2) 圆中弦长的问题，通常作怎样的辅助线构造直角三角形来解决？规范解答：解：过点 (4，0) 的直线若垂直于x 轴，经验证符合条件，即方程为x40 满足题意； (4 分)若存在斜率，设其直线方程为yk(x 4) ，由被圆截得的弦长为8，可得圆心 ( 1，2) 到直线 yk(

18、x 4)的距离为 3，即|3k 2|1k23，解得 k512，(10 分)此时直线方程为5x12y200，(12 分)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 综上直线方程为5x12y200 或 x40.(14 分)错因分析： 1. 解答本题易误认为斜率k 一定存在从而漏解 .2. 对于过定点的动直线设方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k 是否存在，以避免漏解1. 在平面直角坐标系xOy中，圆 C的方程为 x2y28x150

19、，若直线 ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C有公共点，则 k 的最大值是_ 答案：43解析：圆 C的方程可化为 (x 4)2y21，圆 C的圆心为 (4 ，0) ，半径为 1.由题意知，直线 ykx2 上至少存在一点A(x0，kx02)，以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C有公共点，存在 x0R，使得 AC 11 成立，即 ACmin2. ACmin即为点 C到直线 ykx2 的距离|4k 2|k21，|4k 2|k212，解得 0k43. k的最大值是43.2. 已知直线 l 过点(2，0) ，当直线 l 与圆 x2y22x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围

20、是 _答案： 24，24解析：易知圆心坐标是 (1 ，0) ，圆的半径是 1，直线 l 的方程是 yk(x 2) ，即 kxy2k0，根据点到直线的距离公式得|k 2k|k211，即 k218，解得24k24.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 3. 直线 ykx3 与圆(x 2)2(y 3)24 相交于 M ，N两点，若 MN 2 3，则 k 的取值范围是 _答案： 33，33解析：设圆心 C(2，3)到直线 ykx3 的距离为

21、 d，若 MN 2 3，则 d2r212MN2431，即|2k|21k21，解得33k33.4. 若圆 O ：x2y25 与圆 O1：(x m)2y220(m R)相交于 A，B 两点，且两圆在点 A处的切线互相垂直，则线段AB的长是_答案： 4解析：依题意得OO15205，且OO1A 是直角三角形， SOO1A12AB2OO112OA AO1，因此 AB 2OA AO1OO1252554.5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 C的中心在坐标原点O ，右焦点为 F.若 C的右准线 l 的方程为 x4，离心率 e22.(1) 求椭圆 C的标准方程；(2) 设点 P为准线 l 上一动点，且在

22、 x 轴上方圆 M经过 O 、F、P三点，求当圆心 M到 x 轴的距离最小时圆M的方程精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 解： (1) 由题意， 设椭圆 C的标准方程为x2a2y2b21(ab0) ， 则a2c4，ca22，解得 a22，c2. 从而 b2a2c24. 所以所求椭圆 C的标准方程为x28y241.(2) (解法 1) 由(1) 知 F(2，0) 由题意可设 P(4，t) ，t0.线段 OF的垂直平分线方程为x1.

23、因为线段 FP的中点为 3，t2，斜率为t2，所以 FP的垂直平分线方程为yt22t(x 3)，即 y2tx6tt2. 联立，解得x1，yt24t，即圆心 M1，t24t.因为 t0 ，所以t24t2t24t22，当且仅当t24t，即 t 22时，圆心 M到 x轴的距离最小，此时圆心为M(1，22)，半径为 OM 3.故所求圆 M的方程为 (x 1)2(y 22)29.( 解法 2) 由(1) 知 F(2，0) 由题意可设 P(4，t) ，t0. 因为圆 M过原点 O ，故可设圆M 的方程为 x2y2DxEy0. 将点 F、P 的坐标代入得42D 0，16t24DtE0，解得D2，E t 8t

24、.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 所以圆心 M的坐标为 D2，E2， 即(1 ，t24t) 因为 t0， 所以t24t2t24t22，当且仅当t24t，即 t22时，圆心 M到 x 轴的距离最小，此时E42. 故所求圆M的方程为 x2y22x42y0.6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线 C由圆弧 C1和圆弧 C2相接而成，两相接点 M 、N均在直线 x5 上圆弧 C1的圆心是坐标原点O ，半径为 r113；圆弧 C

25、2过点 A(29，0)(1) 求圆弧 C2所在圆的方程；(2) 曲线 C上是否存在点 P，满足 PA 30PO ？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3) 已知直线 l ：xmy 140 与曲线 C交于 E、F 两点，当 EF 33 时，求坐标原点 O到直线 l 的距离解：(1) 由题意得，圆弧C1所在圆的方程为x2y2169.令 x5，解得 M(5，12)，N(5，12)，又 C2过点 A(29，0)，设圆弧 C2所在圆方程为 x2y2DxEyF0，则521225D 12E F0，521225D 12E F0，29229D F0.解得D28，E0，F29.所以圆弧 C2所在圆

26、的方程为 x2y228x290.(2) 假设存在这样的点P(x，y) ，则由 PA 30PO ，得(x 29)2y230(x2y2)，即x2y22x290.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 由x2y22x290，x2y2169（13x5），解得 x70(舍去)；由x2y22x290，x2y228x290（5x29），解得 x0(舍去) 所以这样的点 P不存在(3) 因为圆弧 C1、C2所在圆的半径分别为r113，r215，因为

27、EF2r1，EF2r2，所以 E、F 两点分别在两个圆弧上设点O到直线 l 的距离为 d，因为直线 l 恒过圆弧C2所在圆的圆心 (14，0) ，所以 EF 15132d2142d2，即132d2142d218，解得 d21 61516，所以点 O到直线 l 的距离为1 6154.1. 已知圆 O的半径为 1，PA 、PB为该圆的两条切线， A、B为两切点，那么 PAPB的最小值为 _答案： 32 2解析：设APB 2，|PO| x，则PAPB|PA| |PB| cos2|PA|2cos2(|PO|21)(12sin2) (x21) 12x2x2212x2322，当且仅当 x22x2，即 x4

28、2时取等号2. 若直线 yxb 与曲线 y34xx2有公共点，则 b 的取值范围是 _答案： 1 22，3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 解析： y34xx2变形为(x 2)2(y3)24( 0 x4，1y3) ，表示以 (2，3) 为圆心， 2 为半径的下半圆，如图所示若直线 yxb 与曲线 y34xx2有公共点，只需直线 yxb 在图中两直线之间(包括图中两条直线 )，yxb 与下半圆相切时， 圆心到直线 yxb 的距离为

29、 2，即|2 3b|22，解得 b12 2或 b122(舍去) ，b 的取值范围为 122b3.3. 已知圆 C过点 P(1，1)，且与圆 M ：(x 2)2(y 2)2r2(r 0) 关于直线 xy20 对称(1) 求圆 C的方程；(2) 过点 P作两条相异直线分别与圆C相交于 A、B，且直线 PA和直线 PB的倾斜角互补， O为坐标原点，试判断直线OP和 AB是否平行？请说明理由解：(1) 设圆心 C(a，b) ，则a22b2220，b2a21，解得a0，b0，则圆 C的方程为 x2y2r2，将点 P的坐标代入得 r22，故圆 C的方程为 x2y22.(2) 由题意知，直线PA和直线 PB

30、的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y1k(x 1)，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - - PB ：y1k(x 1) ，由y1k（x1），x2y22得(1k2)x22k(1k)x (1k)220. 因为点 P的横坐标 x1 一定是该方程的解，故可得xAk22k11k2. 同理可得 xBk22k11k2，所以kAByByAxBxAk（xB1）k（xA1）xBxA2kk（xBxA）xBxA1kOP，所以，直线 AB和 OP一定平行4

31、. 已知以点 Ct ，2t( t R，t 0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O 、A，与 y 轴交于点 O 、B，其中 O为原点(1) 求证： AOB 的面积为定值；(2) 设直线 2xy40 与圆 C交于点 M 、N，若|OM|ON|，求圆 C的方程；(3) 在(2) 的条件下，设P、Q分别是直线 l ：xy20 和圆 C的动点，求 |PB| |PQ|的最小值及此时点P的坐标解：(1) 由题设知，圆 C的方程为 (xt)2 y2t2t24t2，化简得 x22tx y24ty0，当 y0 时，x0 或 2t ，则 A(2t ，0) ；当 x0 时，y0 或4t，则 B 0，4t， SAOB12

32、|OA|OB|12|2t| 4t4 为定值(2) |OM| |ON|，则原点 O在 MN 的中垂线上，设MN 的中点为 H，则 CH MN ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - - C、H、O三点共线，则直线OC的斜率 k2tt2t212， t 2 或 t 2， 圆心 C(2，1)或 C(2，1) 圆 C的方程为 (x 2)2(y 1)25 或(x 2)2(y 1)25，由于当圆方程为 (x 2)2(y 1)25 时，直线 2xy40

33、 到圆心的距离 dr，此时不满足直线与圆相交，故舍去. 圆 C的方程为 (x 2)2(y 1)25(3) 点 B(0，2) 关于直线 xy20 的对称点为 B(4，2) ，则|PB| |PQ|PB| |PQ|BQ|，又 B到圆上点 Q的最短距离为 |BC|r（6）232535525. 所以|PB| |PQ|的最小值 2 5，直线 BC 的方程为 y12x，则直线 BC 与直线 xy20 的交点 P的坐标为 43，23.1. 两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到2. 圆的弦长的常用

34、求法：(1) 几何法：设圆的半径为r，弦心距为 d，弦长为 l ，则12l2r2d2；(2) 代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：AB 1k2|x1x2| （1k2） （x1x2）24x1x2.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 请使用课时训练 (B) 第 5 课时(见活页 )2020-2-8精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - - -