2014年北京高考数学文科试题及答案.pdf

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1、word 否是输出Sk=k+1S =S +2kk3k=0，S =0结束开始绝密启封并使用完毕前2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共 5 页， 150 分。考试时长120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合0,1,2,4A，1,2,3B，则AB（）（A）0,1,2,3,4（B）0,4（C）1,2（D）3（2）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）（A）xye（B）yx

2、（C）lnyx（D）yx（3）已知向量2,4a，1,1b，则2ab（）（A）5,7（B）5,9（C）3,7（D）3,9（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）（A）1（B）3（C）7（D）15（5）设a、b是实数，则“ab”是“22ab”的（）(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不必要条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分不必要条件（6）已知函数26logfxxx，在下列区间中，包含fx零点的区间是（）(A)0,1(B)1,2(C)2,4(D)4,（ 7）已知圆22:341Cxy和两点,0Am，,00B mm，若圆C上存在点P，使得90APB，则m的最大值为（）（A）7（B）6（C）

3、5（D）4精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - word O5430.80.70.5tp（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”. 咋特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系2patbtc（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据. 根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）（A）3.50分钟（B）3.75分钟（C）4.00分钟（D）4.25分钟第二部分（非选择题共 110 分）

4、二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。（9）若12xi iixR，则x. （10）设双曲线C的两个焦点为2,0，2,0，一个顶点是1,0，则C的方程为. （11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为. （12）在ABC中，1a，2b，1cos4C，则c；sin A. （13）若x,y满足11010yxyxy，则3zxy的最小值为. （14）顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗

5、加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为工作日 . 俯视图侧（左）视图正（主）视图11122精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - word 三、解答题共6 小题，共 80 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。（15） （本小题13 分）已知na是等差数列，满足13a，412a，数列nb满足14b，420b， 且nnba为等比数列 .（）求数列na和nb的通项公式； （）求数列nb的前n项和 . （16） （本小题13 分）函

6、数3sin26fxx的部分图象如图所示. （）写出fx的最小正周期及图中0 x、0y的值；（）求fx在区间,212上的最大值和最小值. Oyxy0 x0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - word （17） （本小题14 分）如图，在三棱柱111ABCA BC中，侧棱垂直于底面，ABBC，12AAAC，E、F分别为11AC、BC的中点 . （）求证：平面ABE平面11B BCC；（）求证：1/C F平面ABE；（）求三棱锥EABC的体

7、积 . （18） （本小题14 分）从某校随机抽取100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12 小时的概率；（）求频率分布直方图中的a，b 的值；（）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）组号分组频数1 02，6 2 24，8 3 46，17 4 6 8，22 5 8 10，25 6 10 12，12 7 12 14，6 8 14 16，2 9 16 18，2 合计100 C1B

8、1A1FECBA阅读时间ba频数组距18161412108642O精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - word （19） （本小题14 分）已知椭圆C：2224xy.（）求椭圆C 的离心率；（）设 O 为原点，若点A 在直线2y，点 B 在椭圆 C 上，且OAOB，求线段AB 长度的最小值.（20） （本小题13 分）已知函数3( )23f xxx. （）求( )f x在区间 2,1上的最大值；（）若过点(1, )Pt存在 3 条直线

9、与曲线( )yf x相切，求t 的取值范围；（）问过点( 1,2),(2,10),(0,2)ABC分别存在几条直线与曲线( )yf x相切？（只需写出结论）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - word 绝密考试结束前2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷） 参考答案一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共 40 分）（1）C （2）B （3）A （4）C （5）D （6）C （7）B （8）B 二、填空题（共6 小

10、题，每小题5 分，共 30 分）（9）2 （10）221xy（11）2 2（12）2158（13）1 （14）42 三、解答题（共6 小题，共 80 分）（15） （共 13 分）解：（）设等差数列na的公差为d，由题意得41123333aad所以11312naandn n， ，设等比数列nnba的公比为q，由题意得344112012843baqba，解得2q所以11112nnnnbabaq从而13212nnbnn， ，（）由知13212nnbnn， ，数列3n的前 n项和为312n n，数列12n的前 n项和为1212112nn所以，数列nb的前 n 项和为31212nn n（16） （共

11、13 分）解：（）f x的最小正周期为076x03y（）因为212x，所以52066x，于是当206x，即12x时，fx取得最大值0；当262x，即3x时， fx 取得最小值3（17） （共 14 分）解：（）在三棱柱111ABCA B C 中，1BB底面ABC所以1BBAB又因为ABBC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - word 所以AB平面11B BCC 所以平面ABE平面11B BCC （）取AB中点G，连结EG，FG因为E，

12、F分别是11AC ，BC的中点，所以FGAC，且12FGAC 因为11ACAC，且11ACAC ，所以1FGEC，且1FGEC 所以四边形1FGEC 为平行四边形所以1C FEG又因为EG平面ABE，1C F平面ABE，所以1C F 平面ABE（）因为12AAAC，1BC，ABBC，所以223ABACBC所以三棱锥EABC的体积111133123323ABCVSAA（18） （共13 分）解：（）根据频数分布表，100 名学生中课外阅读时间不少于12 小时的学生共有62210名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12 小时的频率是1010.9100从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于1

13、2 小时的概率为0.9（）课外阅读时间落在组46)，的有 17 人，频率为0.17，所以0.170.0852a频率组距课外阅读时间落在组810)，的有 25 人，频率为0.25，所以0.250.1252b频率组距（）样本中的100 名学生课外阅读时间的平均数在第4 组（19） （共 14 分）解：（）由题意，椭圆C的标准方程为22142xy所以24a，22b，从而2222cab因此2a，2c故椭圆C的离心率22cea（）设点A，B的坐标分别为2t，00 xy，其中00 x GC1B1A1FECBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

14、 - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - word 因为OAOB，所以0OA OB，即0020txy，解得002ytx又220024xy，所以222002ABxty22000022yxyx2220002044yxyx220200202 4442xxxx22002084 042xxx因为22002084 042xxx，且当204x时等号成立，所以28AB故线段AB长度的最小值为2 2 （20） （共 13 分）解：（）由323fxxx得263fxx. 令0fx，得22x或22x. 因为210f，222f，22112ff，所以fx在区间21

15、，上的最大值为222f . （）设过点1Pt，的直线与曲线yf x相切于点00 xy，则300023yxx ，且切线斜率为2063kx，所以切线方程为20063yyx0 xx，因此200063 1tyxx . 整理得32004630 xxt. 设32463g xxxt，则“过点1Pt，存在 3 条直线与曲线yf x相切”等价于“g x有 3 个不同零点” . 21212121gxxxx x. g x与gx的情况如下：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - -

16、 - - - - word x(0)，0 (01)，1 (1)，( )gx0 0 ( )g x3t1t所以，(0)3gt是( )g x 的极大值，(1)1gt是( )g x 的极小值当(0)30gt，即3t 时，此时( )g x 在区间1，和 (1)，上分别至多有1 个零点，所以( )g x至多有 2 个零点当(1)10gt，即1t 时，此时( )g x 在区间 (0)，和 0，上分别至多有1 个零点，所以( )g x至多有 2 个零点当00g且10g，即31t时，因为1702110gtgt，所以g x分别在区间10，01，和12，上恰有1个零点 . 由于g x在区间0，和1，上单调，所以g x分别在区间0，和1，上恰有 1 个零点 . 综上可知，当过点1Pt，存在3条直线与曲线yf x相切时，t的取值范围是31， . （）过点12A，存在3条直线与曲线yfx 相切；过点210B，存在2条直线与曲线yfx 相切；过点02C，存在1条直线与曲线yfx相切. ：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -