2022年全国各地中考数学压轴题精选(解析版 .pdf

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1、2012年全国各地中考数学压轴题精选（解析版 二）11 （2012?重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC，B=90 ，AD=2 ，BC=6 ，AB=3 E 为 BC 边上一点，以 BE 为边作正方形BEFG，使正方形BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧（1）当正方形的顶点F 恰好落在对角线AC 上时，求 BE 的长；（2）将（ 1）问中的正方形BEFG 沿 BC 向右平移，记平移中的正方形BEFC 为正方形B EFG，当点 E 与点 C 重合时停止平移设平移的距离为t，正方形 B EFG 的边 EF 与 AC 交于点 M，连接 B D，B M，DM ，是否存在这样的t，

2、使 B DM 是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）在（ 2）问的平移过程中，设正方形BEFG 与ADC 重叠部分的面积为S，请直接写出S与 t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围解题思路：（1）首先设正方形BEFG 的边长为 x，易得 AGF ABC ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE 的长；（2）首先利用 MECABC 与勾股定理，求得B M，DM 与 B D 的平方，然后分别从若 DB M=90 ，则 DM2=BM2+B D2，若 DB M=90 ，则 DM2=B M2+B D2，若B DM=90 ，则 BM2=B D2+DM2去分析，即可得到方

3、程，解方程即可求得答案；（3）分别从当0 t 时，当t 2 时，当 2t时，当t 4 时去分析求解即可求得答案解答：解： （1）如图 ，设正方形 BEFG 的边长为 x，则 BE=FG=BG=x ，AB=3 ，BC=6 ，AG=AB BG=3 x，GFBE，AGF ABC ，即，解得： x=2，即 BE=2；（2）存在满足条件的t，理由：如图 ，过点 D 作 DHBC 于 H，则 BH=AD=2 ，DH=AB=3 ，由题意得： BB =HE=t ，HB =|t2|，EC=4t，EFAB，MEC ABC ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师

4、归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - - - ，即，ME=2 t，在 RtB ME 中， B M2=ME2+B E2=22+（2t）2=t22t+8，在 RtDHB 中， B D2=DH2+B H2=32+（t2）2=t24t+13，过点 M 作 MN DH 于 N，则 MN=HE=t ，NH=ME=2 t，DN=DH NH=3 （ 2t）=t+1，在 RtDMN 中， DM2=DN2+MN2=t2+t+1，（）若 DB M=90 ，则 DM2=BM2+B D2，即t2+t+1= （t2 2t+8）+（t24t+13） ，解得：

5、t=，（）若 B MD=90 ，则 B D2=BM2+DM2，即 t24t+13= （t22t+8）+（t2+t+1） ，解得： t1=3+，t2=3（舍去），t=3+；（）若 B DM=90 ，则 B M2=B D2+DM2，即：t22t+8=（t24t+13）+（t2+t+1） ，此方程无解，综上所述，当t=或 3+时， BDM 是直角三角形；（3） 如图 ，当 F 在 CD 上时， EF：DH=CE ：CH，即 2：3=CE：4，CE=，t=BB =BCB EEC=62=，ME=2 t，FM=t，当 0 t 时， S=SFMN= t t=t2， 当 G 在 AC 上时， t=2，EK=E

6、C ?tanDCB=EC ?=（4t）=3t，FK=2 EK=t 1，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - - - NL=AD=，FL=t，当t 2 时，S=SFMNSFKL=t2（t） （t1）=t2+t； 如图 ，当 G 在 CD 上时， BC：CH=B G：DH ，即 B C：4=2：3，解得： B C=，EC=4t=B C2=，t=，B N=B C=（6t）=3t，GN=GB B N=t1，当 2t时，S=S梯形GNMFSFKL= 2

7、 （t1+t）（t） （t1）=t2+2t， 如图 ，当t 4 时，B L=B C=（6t） ，EK=EC= （ 4t） ，BN=B C=（6 t）EM=EC=（4t） ，S=S梯形MNLK=S梯形B EKLS梯形BEMN=t+综上所述：当 0 t 时， S=t2，当t 2 时， S=t2+t；当 2t时， S=t2+2t，当t 4 时， S=t+精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 12 （2012?泰安）如图，半径为2 的C 与

8、x 轴的正半轴交于点A，与 y 轴的正半轴交于点B，点 C 的坐标为（ 1，0） 若抛物线y=x2+bx+c 过 A、B 两点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得 PBO=POB？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点 M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，MAB 的面积为S，求 S的最大（小）值解题思路：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式因为已知A（3，0） ，所以需要求得B 点坐标如答图1，连接 OB，利用勾股定理求解；（2）由 PBO=POB，可知符合条件的点在线段OB 的垂直平分线上如答图2，OB 的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的P

9、 点有两个，注意不要漏解；（3）如答图 3，作 MH x 轴于点 H，构造梯形 MBOH 与三角形 MHA ，求得 MAB面积的表达式，这个表达式是关于M 点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得MAB 面积的最大值解答：解： （1）如答图 1，连接 OBBC=2 ，OC=1 OB=B（0，）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 将 A（3，0） ，B（0，）代入二次函数的表达式得，解得，y=x2+x+（2）存在如答图 2，作线段

10、OB 的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点PB（0，） ，O（0，0） ，直线 l 的表达式为y=代入抛物线的表达式，得x2+x+=；解得 x=1，P（1，） （3）如答图 3，作 MH x 轴于点 H设 M（xm，ym） ，则 SMAB=S梯形MBOH+SMHASOAB=（MH+OB ）?OH+HA ?MH OA ?OB =（ym+）xm+（3xm）ym 3=xm+ymym=xm2+xm+，SMAB=xm+（xm2+xm+）=xm2+xm=（xm）2+当 xm=时， SMAB取得最大值，最大值为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

11、 - - - - - - - - -第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 13 （2012?铜仁地区）如图已知：直线y= x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线y=ax2+bx+c 经过 A、B、C（1，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 的坐标为（ 1，0） ，在直线 y=x+3 上有一点 P，使 ABO 与ADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（ 2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由解题思路：（1）首先确定A、B、C 三点

12、的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）ABO 为等腰直角三角形，若ADP 与之相似，则有两种情形，如答图1 所示利用相似三角形的性质分别求解，避免遗漏；（3）如答图 2 所示，分别计算ADE 的面积与四边形APCE 的面积，得到面积的表达式利用面积的相等关系得到一元二次方程，将点E 是否存在的问题转化为一元二次方程是否有实数根的问题，从而解决问题需要注意根据（2）中 P 点的不同精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 位置分

13、别进行计算，在这两种情况下，一元二次方程的判别式均小于0，即所求的E点均不存在解答：解： （1）由题意得， A（3，0） ，B（0，3）抛物线经过A、B、C 三点，把 A（3，0） ， B（0，3） ，C（1，0）三点分别代入y=ax2+bx+c，得方程组 3 分解得：抛物线的解析式为y=x24x+3 5 分（2）由题意可得：ABO 为等腰三角形，如答图1 所示，若ABO AP1D，则DP1=AD=4 ，P1（ 1，4） 7 分若ABO ADP2 ，过点 P2作 P2 Mx 轴于 M，AD=4 ，ABO 为等腰三角形，ADP2是等腰三角形，由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点 M 与点

14、 C 重合，P2（1，2）10 分（3）如答图 2，设点 E（x，y） ，则SADE= 当 P1（1，4）时，S四边形AP1CE=SACP1+SACE=4+|y| 11 分2|y|=4+|y|，|y|=4 点 E 在 x 轴下方，y=4，代入得： x24x+3=4，即 x24x+7=0，=（ 4）24 7=120 此方程无解 12 分 当 P2（1，2）时，S四边形AP2CE=SACP2+SACE=2+|y|，2|y|=2+|y|，|y|=2 点 E 在 x 轴下方，y=2，代入得： x24x+3=2，即 x24x+5=0，=（ 4）24 5=40 此方程无解综上所述，在x 轴下方的抛物线上不

15、存在这样的点E14 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 14 （2012?温州）如图，经过原点的抛物线y=x2+2mx（m0）与 x 轴的另一个交点为A过点 P（ 1，m）作直线 PM x 轴于点 M，交抛物线于点B记点 B 关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C 不重合）连接 CB， CP（1）当 m=3 时，求点 A 的坐标及 BC 的长；（2）当 m1 时，连接 CA ，问 m 为何值时CACP？（3）过点 P作 PEPC 且

16、 PE=PC，问是否存在m，使得点 E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m 的值，并定出相对应的点E 坐标；若不存在，请说明理由解题思路：（1）把 m=3，代入抛物线的解析式，令y=0 解方程，得到的非0 解即为和 x 轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，进而求出BC 的长；（2）过点 C 作 CHx 轴于点 H（如图 1）由已知得 ACP=BCH=90 ，利用已知精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 条件证明 AGH P

17、CB，根据相似的性质得到：，再用含有m 的代数式表示出 BC，CH，BP，代入比例式即可求出m 的值；（3）存在，本题要分当m1 时，BC=2（m1） ，PM=m ，BP=m1 和当 0m1时， BC=2（1m） ， PM=m，BP=1m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E 坐标解答：解： （1）当 m=3 时，y=x2+6x 令 y=0 得 x2+6x=0 x1=0，x2=6，A（6，0）当 x=1 时， y=5 B（1，5）抛物线 y=x2+6x 的对称轴为直线x=3 又B，C 关于对称轴对称BC=4 （2）过点 C 作 CHx 轴于点 H（如图 1）由已知得 ACP=

18、BCH=90 ACH= PCB 又AHC= PBC=90AGH PCB，抛物线 y=x2+2mx 的对称轴为直线x=m，其中 m 1，又B，C 关于对称轴对称，BC=2 （m1） ，B（1，2m1） ，P（1，m） ，BP=m1，又A（2m，0） ，C（2m1，2m1） ，H（2m1，0） ，AH=1 ，CH=2m 1，m=（3）B，C 不重合， m 1，（I）当 m1 时， BC=2 （m1） ， PM=m ，BP=m1，（i）若点 E 在 x 轴上（如图1） ，CPE=90 ，MPE+BPC=MPE+MEP=90 ，PC=EP，BPCMEP，BC=PM ，2（m1）=m，m=2，此时点 E

19、 的坐标是（ 2，0） ；（ii ）若点 E 在 y 轴上（如图2） ，过点 P作 PNy 轴于点 N，易证 BPCNPE，BP=NP=OM=1 ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - - - m1=1，m=2，此时点 E 的坐标是（ 0，4） ；（II）当 0m1 时， BC=2（1m） ，PM=m ，BP=1m，（i）若点 E 在 x 轴上（如图3） ，易证 BPCMEP，BC=PM ，2（1m）=m，m=，此时点 E 的坐标是（，0）

20、；（ii ）若点 E 在 y 轴上（如图4） ，过点 P作 PNy 轴于点 N，易证 BPCNPE，BP=NP=OM=1 ，1m=1，m=0（舍去），综上所述，当m=2 时，点 E 的坐标是（ 0，2）或（ 0，4） ，当 m=时，点 E 的坐标是（，0） 15 （2012?成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数（m 为常数）的图象与x 轴交于点A（ 3，0） ，与 y 轴交于点 C以直线 x=1 为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c （a， b，c 为常数，且a 0）经过 A，C 两点，并与 x 轴的正半轴交于点B（1）求 m 的值及抛物线的函数表达式；（2）设 E 是 y 轴右侧

21、抛物线上一点，过点E 作直线 AC 的平行线交x 轴于点 F是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - - - （3）若 P是抛物线对称轴上使ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1） ，M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程题思路：（

22、1）首先求得m 的值和直线的解析式，根据抛物线对称性得到B 点坐标，根据A、B 点坐标利用交点式求得抛物线的解析式；（2）存在点 E 使得以 A、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形如答图1 所示，过点E 作 EG x 轴于点 G，构造全等三角形，利用全等三角形和平行四边形的性质求得E 点坐标和平行四边形的面积注意：符合要求的E点有两个，如答图1 所示，不要漏解；（3）本问较为复杂，如答图2 所示，分几个步骤解决：第 1 步：确定何时 ACP 的周长最小利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；第 2 步：确定 P 点坐标 P（1，3） ，从而直线M1M2的解析式可以表示为y=kx+3

23、k；第 3 步：利用根与系数关系求得M1、M2两点坐标间的关系，得到x1+x2=24k，x1x2=4k 3这一步是为了后续的复杂计算做准备；第 4 步：利用两点间的距离公式，分别求得线段M1M2、 M1P 和 M2P 的长度，相互比较即可得到结论：=1为定值这一步涉及大量的运算，注意不要出错，否则难以得出最后的结论答：解： （ 1）经过点（ 3，0） ，0=+m，解得 m=，直线解析式为，C（0，） 抛物线 y=ax2+bx+c 对称轴为 x=1，且与 x 轴交于 A（ 3，0） ，另一交点为B（5， 0） ，设抛物线解析式为y=a（x+3） （x5） ，抛物线经过C（0，） ，=a?3（ 5

24、） ，解得 a=，抛物线解析式为y=x2+x+；（2）假设存在点E 使得以 A、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 则 AC EF 且 AC=EF 如答图 1，（i）当点 E 在点 E 位置时，过点E 作 EGx 轴于点 G，AC EF，CAO= EFG，又，CAO EFG，EG=CO=，即 yE=，=xE2+xE+，解得 xE=2（xE=0 与 C 点重合，舍去） ，E（2，） ，S?AC

25、EF=；（ii ）当点 E 在点 E 位置时，过点E 作 EG x 轴于点 G ，同理可求得E （+1，） ，S?ACE F=（3）要使 ACP 的周长最小，只需AP+CP 最小即可如答图 2，连接 BC 交 x=1 于 P 点，因为点A、B 关于 x=1 对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时 AP+CP 最小（ AP+CP 最小值为线段BC 的长度）B（5，0） ，C（0，） ，直线 BC 解析式为 y=x+，xP=1，yP=3，即 P（1，3） 令经过点 P（1，3）的直线为y=kx+3 k，y=kx+3 k，y=x2+x+，联立化简得： x2+（4k2）x4k3=0，x1+

26、x2=24k，x1x2=4k3y1=kx1+3k，y2=kx2+3k，y1y2=k（x1x2） 根据两点间距离公式得到：M1M2= M1M2=4（1+k2） 又 M1P=；同理 M2P=M1P?M2P=（1+k2）?=（1+k2）?=（1+k2）?=4（1+k2） M1P?M2P=M1M2，=1 为定值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 16 （2012?梅州）如图，矩形OABC 中，A（6，0） 、C（0，2） 、D（0，3）

27、，射线 l 过点 D 且与 x 轴平行，点 P、Q 分别是 l 和 x 轴正半轴上动点，满足PQO=60 （1） 点 B 的坐标是（6，2）； CAO=30度； 当点 Q 与点 A 重合时，点P的坐标为（3，3）； （直接写出答案）（2）设 OA 的中心为 N，PQ 与线段 AC 相交于点 M，是否存在点P，使 AMN 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 P的横坐标为m；若不存在，请说明理由（3）设点 P 的横坐标为x，OPQ 与矩形 OABC 的重叠部分的面积为S，试求 S 与 x 的函数关系式和相应的自变量 x 的取值范围解题思路：（1） 由四边形 OABC 是矩形，根据矩形的性质，即可求

28、得点B 的坐标； 由正精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 切函数，即可求得CAO 的度数， 由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；（2）分别从 MN=AN ，AM=AN与 AM=MN去分析求解即可求得答案；（3）分别从当0 x 3 时，当 3x 5 时，当 5x 9 时，当 x9 时去分析求解即可求得答案解答：解： （1） 四边形 OABC 是矩形，AB=OC ，OA=BC ，A（6，0） 、C（0，2） ，点 B 的坐标为：（6

29、，2） ； tanCAO=，CAO=30 ； 如下图：当点Q 与点 A 重合时，过点P 作 PEOA 于 E，PQO=60 ，D（0，3） ，PE=3，AE=3，OE=OA AE=6 3=3，点 P的坐标为（ 3，3） ；故答案为： （6，2） ， 30， （3，3） ；（2）情况 ：MN=AN=3 ，则AMN= MAN=30 ，MNO=60 ，PQO=60 ，即MQO=60 ，点 N 与 Q 重合，点 P与 D 重合，此时 m=0，情况 ，如图 AM=AN ，作 MJ x 轴、PIx 轴；MJ=MQ ?sin60 =AQ ?sin60 =（OAIQOI）?sin60 =（3m）=AM=AN=

30、，可得（3m）=，解得： m=3，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 情况 AM=NM ，此时 M 的横坐标是4.5，过点 P作 PIOA 于 I，过点 M 作 MG OA 于 G，MG=，QK=3，GQ=，KG=3 0.5=2.5，AG=AN=1.5 ，OK=2 ，m=2，（3）当 0 x 3 时，如图， OI=x ，IQ=PI ?tan60 =3，OQ=OI+IQ=3+x ；由题意可知直线lBCOA，可得，EF=（3+x） ，

31、此时重叠部分是梯形，其面积为：S梯形=（EF+OQ）?OC=（3+x） ，当 3x 5 时， S=S梯形SHAQ=S梯形AH ?AQ=（ 3+x）（x3）2，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 当 5x 9 时， S=（BE+OA ）?OC=（12x） ，当 9x 时， S=OA?AH=17 （2012?株洲）如图，一次函数分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点，抛物线y=x2+bx+c 过 A、B 两点（1）求这个抛物线的解析式

32、；（2）作垂直 x 轴的直线 x=t，在第一象限交直线AB 于 M，交这个抛物线于N求当 t 取何值时， MN 有最大值？最大值是多少？（3）在（ 2）的情况下，以A、M、N、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 解题思路：（1）首先求得A、B 点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）本问要点是求得线段MN 的表达式，这个表达式是关于t 的二次函数，利用二次函数的极值求线段M

33、N 的最大值；（3）本问要点是明确D 点的可能位置有三种情形，如答图2 所示，不要遗漏其中D1、D2在 y 轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和 D2M 的交点，利用直线解析式求得交点坐标解答：解： （1） 分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点，A、B 点的坐标为： A（0，2） ，B（4，0）（1 分）将 x=0，y=2 代入 y=x2+bx+c 得 c=2（2 分）将 x=4，y=0 代入 y=x2+bx+c 得 0=16+4b+2，解得 b=，抛物线解析式为：y=x2+x+2（3 分）（2）如答图 1，设 MN 交 x 轴于点 E，则 E（t，0） ，B

34、E=4ttanABO=，ME=BE ?tanABO= （4t） =2t又 N 点在抛物线上，且xN=t， yN= t2+t+2，MN=yNME= t2+t+2（ 2t） =t2+4t（5 分）当 t=2 时，MN 有最大值 4 （6 分）（3）由（ 2）可知， A（0，2） ，M（ 2，1） ，N（2，5） 以 A、 M、N、 D 为顶点作平行四边形，D 点的可能位置有三种情形，如答图 2 所示（7 分）（i）当 D 在 y 轴上时，设D 的坐标为（ 0，a）由 AD=MN ，得|a2|=4，解得 a1=6，a2=2，从而 D 为（ 0，6）或 D（0， 2） （8 分）（ii ）当 D 不在

35、 y 轴上时，由图可知D 为 D1N 与 D2M 的交点，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 易得 D1N 的方程为 y=x+6，D2M 的方程为 y=x 2，由两方程联立解得D 为（4，4）（9 分）故所求的 D 点坐标为（ 0，6） ， （0， 2）或（ 4，4） （10 分）18 （2012?南充）如图， C 的内接 AOB 中， AB=AO=4 ，tan AOB=，抛物线y=ax2+bx 经过点 A（4，0）与点（ 2，6

36、） （1）求抛物线的函数解析式；（2）直线 m 与C 相切于点 A，交 y 轴于点 D动点 P在线段 OB 上，从点 O 出发向点B 运动；同时动点Q 在线段 DA 上，从点 D 出发向点 A 运动；点 P 的速度为每秒一个单位长，点Q 的速度为每秒2 个单位长，当PQAD时，求运动时间t 的值；（3）点 R 在抛物线位于x 轴下方部分的图象上，当ROB 面积最大时，求点R 的坐标精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 解题思路：（1

37、）根据抛物线y=ax2+bx 经过点 A（4，0）与点（ 2，6） ，利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如答图 1，由已知条件，可以计算出OD、AE 等线段的长度当PQAD 时，过点 O 作 OFAD 于点 F，此时四边形OFQP、OFAE 均为矩形 则在 RtODF 中，利用勾股定理求出DF 的长度，从而得到时间t 的数值；（3）因为 OB 为定值，欲使 ROB 面积最大，只需OB 边上的高最大即可按照这个思路解决本题如答图 2，当直线 l 平行于 OB，且与抛物线相切时，OB 边上的高最大， 从而 ROB的面积最大 联立直线l 和抛物线的解析式，利用一元二次方程判别式等于0 的结论可以求

38、出 R 点的坐标解答：解： （1） 抛物线 y=ax2+bx 经过点 A（4，0）与点（ 2，6） ，解得抛物线的解析式为：y=x22x（2）如答图 1，连接 AC 交 OB 于点 E，由垂径定理得AC OBAD 为切线， ACAD ，AD OBtanAOB=，sinAOB=，AE=OA ?sinAOB=4 =2.4，OD=OA ?tanOAD=OA ?tanAOB=4 =3当 PQAD 时，OP=t，DQ=2t 过 O 点作 OFAD 于 F，则在 RtODF 中，OD=3 ，OF=AE=2.4 ，DF=DQ FQ=DQ OP=2tt=t，由勾股定理得：DF=1.8，t=1.8 秒；（3）如

39、答图 3，设直线 l 平行于 OB，且与抛物线有唯一交点R（相切），此时 ROB 中 OB 边上的高最大，所以此时ROB 面积最大tanAOB=，直线 OB 的解析式为y=x，由直线 l 平行于 OB，可设直线l 解析式为 y=x+b点 R 既在直线 l 上，又在抛物线上，x22x=x+b，化简得： 2x211x4b=0直线 l 与抛物线有唯一交点R（相切），判别式 =0，即 112+32b=0 ，解得 b=，此时原方程的解为x=，即 xR=，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共

40、27 页 - - - - - - - - - - 而 yR=xR22xR=点 R 的坐标为 R（，） 19 （2012?凉山州） 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+4 与 x 轴、y 轴分别交于A、B 两点， 抛物线 y= x2+bx+c经过 A、B 两点，并与x 轴交于另一点C（点 C 点 A 的右侧），点 P是抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）若点 P 在第二象限内，过点P作 PD轴于 D，交 AB 于点 E当点 P 运动到什么位置时，线段PE 最长？此时 PE 等于多少？（3）如果平行于x 轴的动直线l 与抛物线交于点Q，与直线 AB 交于点 N，点 M 为

41、 OA 的中点，那么是否存在这样的直线l，使得 MON 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 题思路：（1）首先求得A、B 点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与 x 轴另一交点C 的坐标；（2）关键是求出线段PE 长度的表达式，设D 点横坐标为t，则可以将PE 表示为关于 t 的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE 长度的最大值；（3）根据等

42、腰三角形的性质和勾股定理，将直线l 的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线l 是否存在，并求出相应Q 点的坐标注意“ MON 是等腰三角形 ” ，其中包含三种情况，需要逐一讨论，不能漏解答：解： （1）直线 y=x+4 与 x 轴、y 轴分别交于A、B 两点， A（ 4，0） ，B（0，4）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点，可得，解得，抛物线解析式为y=x23x+4令 y=0，得 x23x+4=0 ，解得 x1=4，x2=1，C（1，0） （2）如答图 1 所示，设 D（t，0） OA=OB ， BAO=45 ，E（t，t） ，P（t， t23t+4

43、） PE=yPyE=t23t+4t=t24t=（t+2）2+4，当 t=2 时，线段 PE 的长度有最大值4，此时 P（ 2，6） （3）存在如答图 2 所示，过 N 点作 NH x 轴于点 H设 OH=m （m0） ，OA=OB ，BAO=45 ，NH=AH=4 m，yQ=4m又 M 为 OA 中点， MH=2 mMON 为等腰三角形： 若 MN=ON ，则 H 为底边 OM 的中点，m=1， yQ=4m=3由 xQ23xQ+4=3，解得 xQ=，点 Q 坐标为（，3）或（，3） ；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -

44、 - - - - - -第 21 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 若 MN=OM=2 ，则在 RtMNH 中，根据勾股定理得：MN2=NH2+MH2，即 22=（4m）2+（ 2m）2，化简得 m26m+8=0，解得： m1=2，m2=4（不合题意，舍去）yQ=2，由 xQ23xQ+4=2，解得 xQ=，点 Q 坐标为（，2）或（，2） ； 若 ON=OM=2 ，则在 RtNOH 中，根据勾股定理得：ON2=NH2+OH2，即 22=（4m）2+m2，化简得 m24m+6=0，=80，此时不存在这样的直线l，使得 MON 为等腰三角形综上所述，存在这样的直线l，使得

45、MON 为等腰三角形所求 Q 点的坐标为（，3）或（，3）或（，2）或（，2） 20 （2012?衢州）如图，把两个全等的RtAOB 和 RtCOD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD 在 x轴上已知点A（1，2） ，过 A、C 两点的直线分别交x 轴、 y 轴于点 E、F抛物线y=ax2+bx+c 经过 O、A、C 三点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 27 页 - - - - - - - - - - （1）求该抛物线的函数解析式；（2）点 P为线段 OC 上一个动

46、点，过点P 作 y 轴的平行线交抛物线于点M，交 x 轴于点 N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）若AOB 沿 AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，且不与点C 重合） ，AOB 在平移过程中与COD 重叠部分面积记为S试探究 S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由解题思路：（1）抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t 的值，从而可解结论：存在点P（，） ，使

47、得四边形ABPM 为等腰梯形；（3）本问关键是求得重叠部分面积S 的表达式， 然后利用二次函数的极值求得S 的最大值解答中提供了三种求解面积S 表达式的方法，殊途同归，可仔细体味解答：解： （1） 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 O、A、C，可得 c=0， ，解得 a=，b=，抛物线解析式为y=x2+x（2）设点 P的横坐标为t，PNCD，OPNOCD ，可得 PN=P（t，） ，点 M 在抛物线上， M（t，t2+t） 如解答图 1，过 M 点作 MGAB 于 G，过 P 点作 PHAB 于 H，AG=yAyM=2（t2+t）=t2t+2，BH=PN=当 AG=BH 时，四边形ABPM

48、 为等腰梯形，t2t+2=，化简得 3t28t+4=0 ，解得 t1=2（不合题意，舍去） ，t2=，点 P的坐标为（，）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 存在点 P（，） ，使得四边形ABPM 为等腰梯形（3）如解答图 2， AOB 沿 AC 方向平移至 AOB ，A B交 x 轴于 T，交 OC 于 Q，A O 交 x 轴于 K，交 OC 于 R求得过 A、C 的直线为 yAC=x+3，可设点 A 的横坐标为a，则点 A（

49、a， a+3） ，易知 OQT OCD ，可得 QT=，点 Q 的坐标为（ a，） 解法一：设 AB 与 OC 相交于点 J，ARQ AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，=HT=2a，KT=A T=（3a） ，A Q=yA yQ=（a+3）=3aS四边形RKTQ=SA KTSA RQ=KT?A TA Q?HT =?（3a）?（3a）?（ a+2）=a2+a=（a）2+由于0，在线段 AC 上存在点 A （，） ，能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为解法二：过点 R 作 RHx 轴于 H，则由 ORHOCD，得由RKH A O B ，得由 ， 得 KH=OH，OK=OH，KT=OT OK=

50、a OH 由A KTA O B ，得，则 KT=由 ， 得=aOH，即 OH=2a2，RH=a1，所以点R 的坐标为 R（2a2，a1）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 27 页 - - - - - - - - - - S四边形RKTQ=SQOTSROK=?OT?QT?OK?RH =a?a（1+a）?（a1）=a2+a=（a）2+由于0，在线段 AC 上存在点 A （，） ，能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为解法三：AB=2 ，OB=1 ，tanOAB=tanOAB=，KT