高等数学（经济类）全书习题解答第1,2章（函数、极限与连续）.doc

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1、习题解答总习题11求下列函数的定义域：(1) ；解要使函数有定义，必须，解之得，故函数的定义域为(2) ；解要使函数有定义，必须，且解之得函数的定义域为(3) ；解要使函数有定义，必须，解之得，故函数的定义域为(4) ；解要使函数有定义，必须，即，解之得，故函数的定义域为整数集2判断下列各组中的两个函数是否相同，并说明理由：(1)，；解这两个函数不同因为它们的定义域不同，前者的定义域为，而后者的定义域为(2) ，；解这两个函数不同因为它们的定义域不同，前者的定义域为，而后者的定义域为(3) ，；解这两个函数不同因为，所以它们的对应法则不同(4) 与解：这两个函数不同。因为对应法则不同。3（1）

2、设求及。（2）设求函数的表达式。解：（1）（2）4下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？(1)；解定义域为，关于原点对称，且，所以所给函数是奇函数(2) ；解定义域为，关于原点对称，所以所给函数是奇函数(3) ； 解函数的定义域为，不关于原点对称，所以此函数非奇非偶。 (4) ；解因为函数的定义域为，关于原点对称，且，所以所给函数是奇函数(5) ；解因为定义域为，关于原点对称，所以所给函数是偶函数(6) ；解因为定义域为，关于原点对称，所以所给函数是偶函数 5已知是定义在上的奇函数，当时，求的表达式解当时，故又由奇函数定义得，于是，6设是以3为周期的奇函数，且，求解：7求下列

3、函数的反函数：(1) ；解由得，故所给函数的反函数为(2) ；解由得，故所给函数的反函数为(3) ；解由得，故所给函数的反函数为(4) 解由得，故所给函数的反函数为8.设函数与的图形关于直线对称，求。解：由题设知，是的反函数，由可得，所以。9.设，求解因为，故于是，10.设，求解令，则，故于是，11.设，求，及解；12.已知，且，求的其定义域。解，所以。又，所以，所以，即的定义域为13.已知的定义域为，求下列复合函数的定义域：(1) ；(2) ；(3) 解(1) 函数的定义域为(2) 函数的定义域为(3) 函数的定义域为14.指出下列复合函数是由哪些简单函数复合而成的 (1)；解函数由复合而成

4、或看成由复合而成。(2) ；解函数由，复合而成(3) 解函数由，复合而成 (4) 解：函数由复合而成15设某行业只有两家企业提供给市场某种产品。两家企业的产品供给量与市场价格的函数关系分别为求市场的总供给量与价格的函数关系。解：由知，时，第一家企业愿意提供产品，由知，时，第二个企业愿意提供产品。所以市场价格在区间时，市场上仅有第二家企业愿意提供产品，而市场价格大于4时，两家企业都愿意提供产品。所以市场的总供给量与价格的函数关系为16.某厂生产某种产品1000吨，当销售量不超过700吨时，每吨售价为130 元，超过700吨时，超过的部分按原价格的九折销售。试写出销售总收入与总销售量的函数关系。解

5、 设销售收入与销售量分别为(单位：元)，（单位：吨），则=第二章习题2.11观察下列数列的变化趋势，指出是收敛还是发散如果收敛，写出其极限：(1)；(2) ；(3)； (4) 解 (1) 收敛于；(2) 收敛于；(3)发散 ；(4) 收敛于2根据数列极限的定义证明：(1) ；证对于任意给定的正数， 要使，只要，即于是，取正整数，则当时，总有据数列极限的定义，得(2) 证对于任意给定的正数，由于，故要使，只要，即于是，取正整数，则当时，总有据数列极限的定义，得（3） 证 对于任意给定的，要使，只要。所以，只要取正整数,当时，就有所以（4）证 对于任意给定的充分小的，要使，只要。所以，取3证明：当

6、且仅当证据数列极限的定义，对于任意给定的正数， 存在正整数，当时，有；对于任意给定的正数， 存在正整数，当时，有由于，故当且仅当4证明：若，则证由于，所以因为，所以据数列极限的定义，对于任意给定的正数， 存在正整数，当时，有，从而再据数列极限的定义，有5（1）对于数列，证明：的充分必要条件是，且， （2）判断数列的敛散性。证（1）必要性显然。下证充分性对于任意给定的正数，由知，存在正整数，当时，有；由知，存在正整数，当时，有；取，由当时，有因此，（2）：当为奇数时，=0，当为偶数时， ，所以此数列发散。习题2.21设，求及，并说明是否存在解 ，因为，所以存在，且2设，证明不存在证 ，因为，所以

7、不存在3设，求：(1) ；(2) ；(3) 解 (1) 因为，故(2) (3) 4设，求：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) 解 (1) (2) 因为，故 (3) 因为，故不存在(4) (5) 5根据函数极限的定义证明：(1)；证 对于任意给定的正数，由于，故要使，只要，即，或于是，取正数，则当时，就有据函数极限的定义，得（2） 证：对于任意给定的正数，要使，只要0,所以，取当时，就有，所以。(3) 。 证 对于任意给定的正数，要使成立，只要成立。取，则当时，必有因此，由极限的定义可知，有（4）证对于任意给定的小正数，要使，只要,所以，取当时，就有，所以。6证明：的充分必要条件是证

8、 (1) 必要性若，则对于任意给定的正数，存在正数，当时，有，即当或时，均有，故，且(2) 充分性若，则对于任意给定的正数，存在正数及，当或时，均有令，则当时，有或，从而有，故7 试说明极限不存在。解 取数列，显然，但是。所以极限不存在。习题2.3 1下列函数在其自变量的指定变化过程中哪些是无穷小？哪些是无穷大（包括正无穷大与负无穷大）？哪些既不是无穷小也不是无穷大？(1) ，当时；解因为，所以当时，函数为无穷大(2) ，当时；解因为，所以当时，函数为无穷小(3) ，当时；解因为，且当时，所以当时，函数为正无穷大(4) ，当时；解因为，且当时，所以当时，函数为负无穷大(5) ，当时；解因为且，

9、所以当时，函数既不是无穷小也不是无穷大(6) ，当时；解因为，所以当时，函数为无穷小(7) ，当时；解因为，所以当时，函数是无穷小 (8) ，当时解：因为，所以当时不是无穷小，也不是无穷大。2下列函数在自变量的哪些变化过程中为无穷小？在自变量的哪些变化过程中为无穷大（包括正无穷大与负无穷大）？(1) ；解当或时为无穷小，当时为无穷大(2) ；解当或时为无穷小，当或当时为无穷大(3) 解当时为无穷小，当时为负无穷大，当时为正无穷大3利用无穷小的性质求下列极限：(1) ；解因为，且，所以(2) ；解因为，且，所以(3) ；解因为，且，所以(4)(4) ；解因为，所以4函数在内是否有界？当时此函数是

10、否为无穷大？解对任意，必存在正整数，使记，则，故函数在内无界对，对任意，存在，使，但因此，函数不是当时的无穷大习题2.41求下列极限：(1) ； 解(2) 解：（3）解 因，而所以(4) ； 解(5) ；解(6) ； 解(7) ；解(8) ； 解(9) ； 解(10) ；解(11) ； 解(12) 解（13）解 因为，所以（14）解 （15）解 因，且，所以=02 （1）若已知，（为常数）且，证明 （2）设，求常数 .解 （1）（2）因为，所以，所以，故有=，所以3设，若已知：(1) ； (2) ； (3) ，试分别求这三种情形下常数与的值解(1) 由得，故(2) 由得，故，(3) 由得，故，

11、为任意实数4已知存在且等于，求常数与的值解 因为，故另一方面，故于是5已知存在且等于，求常数与的值解 因为，故，由此得：，6设，均为非负数列，且，指出下列陈述哪些是正确的，哪些是错误的如果是正确的，说明理由；如果是错误的，给出反例(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) 不存在；(6) 不存在解 (1) 错误，例如：，(2) 错误，例如：，(3) 错误，例如：，(4) 错误，例如：，(5) 错误，例如：，(6) 正确，因为若存在，则也存在，与已知条件矛盾7.当时，函数的极限是否存在？解：，所以，当时，函数的极限不存在。习题2.51求下列极限：(1) ；解 因为，而且，故由夹逼准则得（2）

12、；解 因为，而且，故由夹逼准则得(3)；解 因为，故=3(4) 解 因为，而且，故由夹逼准则得2 求下列极限：(1) 解 =（2）； 解 (3) ；解 (4) ； 解 (5) ；解 (6) 解 ； (7) ；解 (8) ； 解 (9) ；解 (10)； 解 （11）解 (12) 解 （13） 解 =3求下列极限：(1) ； 解 (2) ；解 (3) ； 解 (4) ；解 (5) ； 解 (6) ；解 (7) ； 解 (8) ；解 (9) ； 解 (10) 解 4已知极限，求解法一 ，令，则，且，所以，.由，得.解法二 ，故由，得.5设对任意，总有，且，是否一定有存在？解未必。例如，则，且，但不

13、存在。又如，则，且，存在且等于，这里且。习题2.61当时，与相比，哪一个是高阶无穷小？解法一 因为,所以当时，是比高阶的无穷小.解法二当时，与是同阶无穷小，与是同阶无穷小，所以当时，是比高阶的无穷小.2当时，无穷小与下列无穷小是否同阶？是否等价？(1) ；(2) ；(3) ；(4) 解 (1) 因为,所以当时，无穷小与同阶但不等价(2) 因为,所以当时，无穷小与同阶且等价(3) 因为,所以当时，无穷小与同阶但不等价(4) 因为,所以当时，无穷小与同阶且等价3设当时，与是等价无穷小，求常数与解 因为当时，与是等价无穷小，所以,由此得:，. 求值（1）当时，与是同阶无穷小量；（2）当时，与是同阶无

14、穷小量； 解 (1) 因为，故有 与是同阶无穷小量，所以。一般地，当时，若某个无穷小量是关于的方幂的代数和，则它与其中次数最低的项是同阶无穷小量。（2）因为，所以。设当时，是的高阶无穷小，而又是的高阶无穷小，求正整数解 因为当时，故由题设得:，从而.已知当时，是的阶无穷小，求常数解 因为当时，是的阶无穷小，且,故，.若时，及都是无穷小，与是否一定可以比较“阶”的高低？解未必。例如，时，所以，时，及都是无穷小，但不存在，所以这里的与不可以比较“阶”的高低。利用等价无穷小替换法求下列极限：(1) ； 解 (2) ；解 (3) ； 解 (4) ；解 (5) ； 解 (6) ；解 （）解() ； 解

15、() 解（）解（）解 （） ，解 时，所以.（）解 因为，且当充分大时，所以故有 （）解令，则，且（）解习题2.71研究下列函数在指定点处的连续性：(1) ，；解因为，所以在点处不连续(2) ，；解因为，所以在点处连续(3) ，解因为在点处无定义，所以在点处不连续因为，所以，从而在点处不连续2讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型：(1) ；解为初等函数，其定义域为由初等函数的连续性知，函数在其定义区间内连续，而点及为间断点因为，所以是的第一类间断点，且是可去间断点因为，所以是的第二类间断点，且是无穷间断点(2) ；解为初等函数，其定义域为由初等函数的连续性知，函数在其定义区间内连续，而

16、点，及为间断点因为，所以是的第二类间断点，且是无穷间断点因为，所以是的第一类间断点，且是跳跃间断点因为，所以是的第一类间断点，且是可去间断点(3) ；解为分段函数，显然在区间内连续因为，但，所以是的第一类间断点，且是可去间断点(4) 解为分段函数，显然在区间内连续因为，且，所以是的连续点因为，所以是的第一类间断点，且是跳跃间断点3求函数的连续区间，并求解为初等函数，其定义域为由初等函数的连续性知，函数的连续区间为4设 当常数为何值时，(1) 是函数的连续点？(2) 是函数的可去间断点？(3) 是函数的跳跃间断点？解，(1) 当，即时，是函数的连续点(2) 当，即时，是函数的可去间断点(3) 当

17、，即，为任意实数时，是函数的跳跃间断点5求函数的间断点，并判别间断点的类型解因为，所以为的第一类间断点，且为跳跃间断点因为，所以为的第一类间断点，且为跳跃间断点6.判断函数是否连续。若不连续，指出间断点的类型。解 求极限时自然数是变量，且，所以。点处左、右极限分别为。所以此函数不连续，点是函数的跳跃间断点。7. 求下列极限：(1) ； 解(2) ；解 （3） 解 (4) ； 解(5) ；解(6) ； 解(7) ；解(8) ； 解(9) 解（10）解 =8设函数在区间内连续，且与异号，问在区间内是否必至少有一点，使得。解未必。例如，在区间内连续，但在区间内无零点。9证明方程至少有一个介于与之间的

18、实根证令，则在上连续，且，故据零点定理，函数在开区间内至少有一个零点，即方程至少有一个介于与之间的实根0证明方程至少有一个小于的正根证令，则在上连续，且，据零点定理，函数在开区间内至少有一个零点，即方程至少有一个小于的正根11证明方程 ()至少有一个不超过的正根证令，则在上连续，且，据零点定理，函数在区间内至少有一个零点，即方程 ()至少有一个不超过的正根2设函数在闭区间上连续，且对，有证明：至少存在一点，使得 证令，则由题设知，函数在上连续，且，据零点定理，至少存在一点，使得，即 3 证明在内存在，使。证 将待证明的等式变形为 ，考虑函数，只要证明此函数在区间存在零点。显然函数在区间上连续，

19、。为利用连续函数的零值定理，在区间寻找一点使该点处函数值大于0。注意到，所以由连续函数的零值定理知，在区间的子区间内至少存在一点，使，故在内存在，使。4设函数在闭区间上连续，且，证明：至少存在一点，使得证因为函数在闭区间上连续，且，所以在闭区间上连续于是，据最值定理得，在上取得最大值与最小值，从而再据介值定理得，至少存在一点，使得总习题2 1选择题(1) 设，则（）(A) (B) (C) (D)解因为，所以，即应选D(2) 设，则（）(A)等于 (B)等于 (C)等于 (D)不存在 解因为，所以，从而不存在，所以应选D(3) 若存在，不存在，则下列命题正确的是（）(A) 与都存在(B) 与都不

20、存在(C) 必不存在，而可能存在(D) 可能存在，而必不存在解必不存在，而可能存在因为如果存在，则由及存在，得存在这与题设矛盾当，时， 存在，不存在，而是未定式，可能存在所以应选C(4) 当时，下列四个无穷小中，比其它三个更高阶的无穷小是（）(A) (B) (C) (D)解因为当时，所以当时，与其它三个无穷小相比，无穷小的阶最高，即应选A(5) 当时，函数是的（）(A)高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 同阶无穷小 (D) 等价无穷小解因为，所以当时，函数是的同阶无穷小，即应选C(6) 设当时，函数是的阶无穷小，则（）(A) (B) (C) (D)解因为当时，函数是的阶无穷小，而，所以，即

21、应选C(7) 函数的第一类间断点共有（）(A)个 (B)个 (C)个 (D)个解为初等函数，其定义域为由初等函数的连续性知，函数在其定义区间内连续，而点，及为间断点因为，所以是的第一类间断点因为，所以是的第二类间断点因为，所以是的第一类间断点因此，函数的第一类间断点共有个，即应选C(8) 是函数的（）(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷间断点 (D) 连续点解因为，是函数的跳跃间断点，即应选B(9) 设函数在上连续，且，函数在上有定义，且有间断点，则必有间断点的函数是（）(A) (B) (C) (D)解必有间断点事实上，因为函数在上连续，如果函数在上连续，则函数也在上连续，与题

22、设矛盾应选D(10) 函数的连续区间是（）(A) (B) (C) (D) 解因为为初等函数，其定义域为由初等函数的连续性知，函数的连续区间为因此，应选D2填空题(1) 设都是常数，若，则，解因为，所以0于是，(2) 设都是常数，若，则，解因为，所以，从而，且于是，(3) 设当时，与是等价无穷小，则常数，解因为，所以，(4) 若为函数的可去间断点，则常数解因为为函数的可去间断点，所以存在，从而，即(5) 设为连续函数，则常数，解因为，且，而为连续函数，所以，从而，(6) 函数的第一类间断点是解为初等函数，其定义域为由初等函数的连续性知，函数在其定义区间内连续，而点及为间断点因为，所以的第一类间断

23、点是(7) 设在点处连续，则常数解由题设知，(8) 设函数是当时的无穷小，则常数，解由题设知，所以，即，（9）设，其中为常数，则 ，解 因，所以3求下列极限：(1) ； 解(2) ；解(3) ； 解(4) ；解(5) ； 解(6) ；解(7) ； 解(8) ；解(9) ； 解(10) 解（11） 解 =（利用公式，将分子有理化）（）解法一令，则原式解法二原式4证明：不存在证因为，所以，所以不存在5求下列函数的间断点，并指出其类型：(1)；解为初等函数，其定义域为由初等函数的连续性知，函数的间断点为因为所以为可去间断点，是无穷间断点 (2) 解为分段函数，显然在区间内连续因为， ，所以是的第一类

24、间断点，且是跳跃间断点因为，所以是的第二类间断点,且是无穷间断点6讨论函数的连续性若有间断点，指出其类型解显然，在在内连续因为，所以是的第一类间断点，且是跳跃间断点7设 () ，问常数为何值时，(1) 是函数的连续点？(2) 是函数的可去间断点？(3) 是函数的跳跃间断点？解，(1) 当，即时，是函数的连续点(2) 当，即时，是函数的可去间断点(3) 当，即时，是函数的跳跃间断点8试补充定义，使函数在处连续解9设函数在闭区间上连续，且，证明：至少存在一点，使得证令，则由题设知，函数在上连续，且据零点定理，至少存在一点，使得，即 10设函数满足：对，恒有，其中为正常数，且证明：至少存在一点，使得证由题设知，对，有，即由夹逼准则得，当时，当时，当时，故在闭区间上连续又，故据零点定理，至少存在一点，使得53