2023阿里巴巴全球数学竞赛阿里巴巴全球数学竞赛预选赛赛题及参考答案.docx

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1、球状闪电2023 阿里巴巴全球数学竞赛7作为一名秘密任务的长官，你和首席和学家大宝有如下的谈话。和学家：“长官，我们已经掌握了球状闪电的控制规律，我们发现实验室中的球状闪电半径的变化率v(t) 满足如下的方程。v = ar + r3 r5.这里r(t) 表示球状闪电的半径，而t 是时间变量。初始时刻，没有球状闪电，即r(0) = 0。相应地，我们也有v(0) = 0。而a R 可以被人为控制，您可以通过拉动一个控制杆来迅速的改变a 的值。我们给它的预设值是a = 1。”你：“做的漂亮，博士！a 是我们的唯一控制方式吗？这似乎并不能把球状闪电启动起来。”和学家：“您说的对，长官。我们的确有另一个

2、控制方式，就是踢一下仪器。”你：“博士，您没开玩笑吧？踢一下？”和学家：“没错，如果踢一下的话，r(t) 的值就会瞬间提高( 远小千1)。”你：“明白了，这的确有帮助。我们今天的测试目标是启动球状闪电，让它的半径严格超过2，再让它逐渐完全消失。”和学家：“是的，长官。我们为此设计了四个控制方案。请问长官您觉得这些方案如何？”你看了一下这些选项，发现其中可行的方案有()。2A 设置a = 2, 踢一下仪器，等球状闪电半径严格超过2，再设置a = 1 ;3B 设置a = 3, 踢一下仪器，等球状闪电半径严格超过2，再设置a = 1 ;4C 设置a = 4, 踢一下仪器，等球状闪电半径严格超过2，再

3、设置a = 1 ;5D 设置a = 5, 踢一下仪器，等球状闪电半径严格超过2，再设置a = 1 。设两个凸八面体O1, O2的每个面都是三角形, 且O1在O2的内部. 记O1(O2)的棱长之和为f1(f2).当我们计算f1/f2时, 可能得到以下哪个(些)值?(多选题)0.6411.441.964A 与 B 二人进行“ 抽鬼牌” 游戏。游戏开始时，A 手中有n张两两不同的牌。B 手上有n + 1张牌，其中n张牌与 A 手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同。游戏规则为：i) 双方交替从对方手中抽取一张牌，A 先从 B 手中抽取。ii) 若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致

4、，则将两张牌丢弃。iii) 最后剩一张牌(鬼牌)时，待有鬼牌的玩家为输家。假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，请问下列n中哪个n使 A 的胜率最大？n = 31n = 32n = 999n = 1000对所有的n，A 的胜率都一样某个城市有10条东西向的公路和10条南北向的公路，共交千100个路口. 小明从某个路口驾车出发，经过每个路口恰一次，最后回到出发点. 在经过每个路口时，向右转不需要等待，直行需要等待1分钟，向左转需要等待2分钟. 设小明在路口等待总时间的最小可能值是S分钟，则S 50;50 S 90;90 S 100;100 S n 4 .对实数r, 用|r|表示r和最

5、近的整数的距离：|r| = min|r n| : n Z.1. 试问是否存在非零实数s, 满足limn |(2 + 1)ns| = 0?2. 试问是否存在非零实数s, 满足limn |(2 + 3)ns| = 0?某公司要招聘一名员工，有N 人报名面试。假设N 位报名者所具有该职位相关的能力值两两不同，且招聘委员会能观察到的能力值排名与其真实能力值排名吻合。委员会决定采取如下招聘程序：1. 招聘委员会按随机顺序逐个面试候选人，且他们能观察到当时所见候选人的相对排名。比如委员会面试到第m 位候选人时，他们拥有的信息是前m 位面试者的相对排名，但不知后N m 位候选人的能力情况。2. 每面试完一位

6、候选人，委员会需当即决定是否给他/她发工作offer。3. 如果委员会决定给某位候选者发offer，那么这位候选者以概率p 接受，以概率1 p 拒绝，且独立千(之前) 所有其他面试者的决定。如果该候选人接受offer，那么委员会将不再继续面试接下去的候选人。如果该候选人拒绝offer，那么委员会将继续面试下一位。4. 如果委员会决定不给某位面试者发offer，那么他们将继续面试下一位候选人，且不能再回头去找前面已经面试过的人。5. 反复该面试程序，直到有候选者接受offer。如果没有候选者接收该工作，那么委员会面试完所有的N 位候选者。由千N 位面试者的顺序是完全随机的，因此他们能力的排名在N

7、 ! 的可能性中是均匀分布。且委员会所具有的全部信息是当前面试过的候选人的相对排名。委员会的任务是，在遵守如上程序的前提下，找到一个策略，使得招到N 位候选者中能力最优者的概率最大化。问题如下：(a) 考虑如下策略。委员会先面试前m 1 位候选者，不管其能力排名如何，都不发工作offer。从第m 位开始， 一旦看到能力在所面试过候选人中的最优者， 即发工作offer。如对方拒绝，则继续面试直到下一位当前最优者1出现。试证明：对千任意的N ，都存在一个m = mN ，使得依靠上述策略找到(所有N 位候选人中) 最优者的概率值，在所有可能的策略所给出的概率值中是最大的。N(b) 假设p = 1。当

8、N +，求mN的极限。N(c) 对一般的p (0, 1)，当N +，求mN的极限。1“当前最优者”指当前被面试者在所有被面试过的人(包括被发offer 并婉拒的人)中的最优者。2023 阿里巴巴全球数学竞赛第1题球状闪电作为一名秘密任务的长官，你和首席和学家大宝有如下的谈话。和学家：“长官，我们已经掌握了球状闪电的控制规律，我们发现实验室中的球状闪电半径的变化率v(t) 满足如下的方程。v = ar + r3 r5.这里r(t) 表示球状闪电的半径，而t 是时间变量。初始时刻，没有球状闪电，即r(0) = 0。相应地，我们也有v(0) = 0。而a R 可以被人为控制，您可以通过拉动一个控制杆

9、来迅速的改变a 的值。我们给它的预设值是a = 1。”你：“做的漂亮，博士！a 是我们的唯一控制方式吗？这似乎并不能把球状闪电启动起来。”和学家：“您说的对，长官。我们的确有另一个控制方式，就是踢一下仪器。”你：“博士，您没开玩笑吧？踢一下？”和学家：“没错，如果踢一下的话，r(t) 的值就会瞬间提高( 远小千1)。”你：“明白了，这的确有帮助。我们今天的测试目标是启动球状闪电，让它的半径严格超过2，再让它逐渐完全消失。”和学家：“是的，长官。我们为此设计了四个控制方案。请问长官您觉得这些方案如何？”你看了一下这些选项，发现其中可行的方案有()。2(A). 设置a = 2, 踢一下仪器，等球状

10、闪电半径严格超过2，再设置a = 1 ;3(B). 设置a = 3, 踢一下仪器，等球状闪电半径严格超过2，再设置a = 1 ;4(C). 设置a = 4, 踢一下仪器，等球状闪电半径严格超过2，再设置a = 1 ;5(D). 设置a = 5, 踢一下仪器，等球状闪电半径严格超过2，再设置a = 1 。1 答案 选(B)。我们记变化率方程为v = f (r; a).如果v 0 则r 随时间增长;如果v 0 的时候，我们有两个非负实根r1 = 0 和r5 0。我们容易验证，当r (0, r5) 时v 0，但r (r5, +) 时v 0 的时候，如果我们踢一下机器，就能启动球状闪电，闪电的半径逐渐

11、增大到r5，但不会超过r5。为了使得半径严格超过2，我们rTTI Y- 2。所以启动时，我们rTTI Y- 2。这样 排除了选项(A) 。当 1 a 0 和r5 0。特别地，r5 1 且当r (r5, +) 时，v 0 半径缩小。如果此刻r = ，半径会逐步缩小直42到r = r5，但不会小千r5。所以此时，球状闪电不能完全消失。这样，排除了选项(D)。42当a = 1 时，我们有两个非负实根r1 = 0 和r5 = 1 。类似上述情况，如果此刻r = 2，半径会逐步缩小直到r = r5，但不会小千r5。所以此时，球状闪电不能完全消失。这样，排除了选项(C)。a 0v 0当1 时，我们只有一个

12、非负实根，且当时，。所以球状闪电会逐渐完4全消失。选项(B) 的确是合理的选项。第2题 设两个凸八面体O1, O2的每个面都是三角形, 且O1在O2的内部. 记O1(O2)的棱长之和为f1(f2). 当我们计算f1/f2时, 可能得到以下哪个(些)值?(多选题)(A). 0.64(B). 1(C). 1.44(D). 1.96(E). 42 答案 选 (A) (B) (C) (D)。说明：在60-70年代全苏中学生数学奥林匹克中，有过这样一个题：“四面体V1位千四面4体V2内部, 证明V1的棱长之和小千V2的棱长之和的倍”. 这里反直觉的地方在千，如果是二3维平面上一个三角形位千另一个三角形内

13、部, 那么小三角形不仅面积是严格小千大三角形的,周长也是如此. 而在三维情形, 虽然体积和表面积的大小关系是保持的，但棱长之和的大小关系会被破坏.这道题的“出处”应该是两个波兰数学家千1962年发表的：Holsztynski, W. and Kuperberg, W., O pewnej wlasnosci czworoscianow, Wiadomosci Matem- atyczne 6 (1962), 14-16. 这文章用波兰语写的，自然没有什么人知道，然后1977年他们出了一个英文版Holsztynski, W. and Kuperberg, W., On a Property of

14、 Tetrahedra, Alabama J. Math. 1(1977), 40-42.到了1986年, Alabama大学的Carl Linderholm把这个结果推广到了高维欧氏空间中的单形:定理: 对千Rn中的两个m维单形S和T (前者完全位千后者的内部), 和任意正整数1 : r : m.存在常数Bm,r, 使得S的所有r维面的面积之和不超过T 的所有r维面的面积之和的Bm,r倍. 这里Bm,r的具体数值计算如下: 设m + 1 = (r + 1)q + s(带余除法), 则qr+1s(q + 1)sBm,r =.m + 1 r(CARL LINDERHOLM, AN INEQUAL

15、ITY FOR SIMPLICES, Geometriae Dedicata (1986) 21, 67-73.)回到本题, 这里的选项(A)是平凡的, 关键是Y-说明: 为什么(B)、(C)和(D)可以实现? 为什么(E)不能实现?这里需Y-的数学知识大致有:(A) 一些几何拓扑: 每个面都是三角形的凸八面体, 共有38/2 = 12条棱, 千是由Euler公式,顶点数为6.(B) 一点点招论: 如果有一个顶点引出5条棱, 那么简单讨论可知必有另一个顶点也引出5条棱, 这个八面体的各顶点度数为(5, 5, 4, 4, 3, 3). 除此之外, 唯一可能的情形就是每个顶点都引出4条棱(如正八面

16、体).(C) 一点点凸几何知识: 因为我们考虑的都是凸八面体, 所以八面体的任意两点之间距离的最大值必定在某两个顶点之间实现.如果大八面体的每个顶点都引出4条棱, 且最大距离f在两个不相邻顶点A和B之间实现,那么因为另四个顶点与这两个顶点均相邻, 所以大八面体的棱长之和至少是4f(且在另四个顶点到直线AB的距离充分小的时候可以充分接近), 而对千小八面体来说, 假设也是每个顶点引出4条棱, 让三个顶点趋近千A, 另三个趋近千B, 其棱长之和会趋近千6f.这样所有小千1.5的比例均可实现. (所以有选手会选(A),(B),(C)如果大八面体的两点间最大距离是在两个度数为3的顶点之间实现的, 那么

17、大八面体的棱长之和至少是3f(且在另四个顶点到直线AB的距离充分小的时候可以充分接近), 而对千小八面体来说, 仍假设每个顶点引出4条棱, 让三个顶点趋近千A, 另三个趋近千B,其棱长之和会趋近千6f.这样所有小千2的比例均可实现. 而如果此时小八面体与大八面体的拓扑结构相同, 且两个度数为5的顶点非常接近, 与此同时另4个顶点非常接近, 那么比例上限可提高到8/3.作简单的分类讨论可知, 如果大八面体的两顶点间最大距离f2是在一个度数为a的顶点和一个度数为b的顶点之间实现的(不管它们是否相邻), 那么大八面体的各棱长度之和大千min(a, b)f, 而小八面体的棱长之和显然不超过12f, 所

18、以(E)是不可能实现的.第3题 A 与 B 二人进行“抽鬼牌”游戏。游戏开始时，A 手中有n张两两不同的牌。B 手上有n + 1张牌，其中n张牌与 A 手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同。游戏规则为：i) 双方交替从对方手中抽取一张牌，A 先从 B 手中抽取。ii) 若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃。iii) 最后剩一张牌(鬼牌)时，持有鬼牌的玩家为输家。假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，请问下列n中哪个n使 A 的胜率最大？(A). n = 31(B). n = 32(C). n = 999(D). n = 1000(E). 对所有

19、的n，A 的胜率都一样3 答案 选 (B)。记初始A手上n张牌时A的胜率为an，则1113故有a1 = 2 。而a1 = 2 + 2 2 a1,(1)211a2 = 3 + 3 3 a2,(2)4故有a2 = 3 。我们可以得到递推公式n111nan = n + 1 an2 + n + 1 n + 1 an + n + 1 n + 1 pn,n1,(3)其中右端第一项为A未抽中鬼牌的情况，这时B无论抽中什么都能成功配对(鬼牌在B手上)，这时A手上有n 2张牌，B手上有n 1张牌且A先手。右端第二项为A，B均抽中对方手上的鬼牌的情况，右端第三项为A抽中B手上的鬼牌而B没抽中A手上的鬼牌的情况，而

20、pn,n1为A先手，手上有包含鬼牌的n张牌，B手上有不包含鬼牌的n 1张牌时A的胜率。我们有pn,n1 = 1 an2,(4)这是因为A无论抽到哪一张均能配对，此时变为A手上有包含鬼牌的n 1张牌，B手上有不包含鬼牌的n 2张牌且为B先手，故此时B的胜率为an2而A的胜率为1 an2。因此n11nn进而可得an = n + 1 an2 + n + 1 n + 1 an + (n + 1)2 (n + 1)2 an2(5)n1an = n + 2 an2 + n + 2=n( n 2 a11+) +(6)若n为奇数，由递推可得n + 2= .nn4nn + 3n + 2若n为偶数，由递推可得因此

21、an = 2(n + 2) ,(7)n + 4an = 2(n + 2) .(8)17 a31 = 33 9 a32 = 17 a= 5019991001251 a1000 = 501答案为(B)，即A初始手上有32张牌时A的胜率最大。第4题 某个城市有10条东西向的公路和10条南北向的公路，共交千100个路口. 小明从某个路口驾车出发，经过每个路口恰一次，最后回到出发点. 在经过每个路口时，向右转不需 Y-等待，直行需Y-等待1分钟，向左转需Y-等待2分钟. 设小明在路口等待总时间的最小可能值是S分钟，则(A). S 50;(B). 50 S 90;(C). 90 S 100;(D). 10

22、0 S n 4 .5 答案(1) 若X有一行全为0或者有两行相等, 则det X = 0; 若X有一行只有一个1, 则可约化到(n 1)阶矩阵的情形; 若X有一行全为1, 还有一行有n 1个1, 则可约化到有一行只有一个1的情形,进一步约化到(n 1)阶矩阵的情形. 若以上都不发生, 则X的各行有很少的可能性, 我们可以逐个讨论.(2) 取XI = (ai,j)1i,jn, 其中ai,j = 1 i,j,1 i, j n.则det XI = (1)n1(n 1). 若n 是奇数, -X = XI. 若n是偶数, -X为调换XI的最后两行所得矩阵. 则det X = n 1.（(3)当n = 2

23、k 1时, -11kY =11.则Y 是元素为1的(n + 1) (n + 1)矩阵, 且det Y = (2k )2k = 2k2k1 .、 比, .,注意Y 的最后一行为n+1 = (1, . . . , 1). 记ti = 1为Y 的第i行的最后一个元素(1 i n). - n+1I1i = 2 (tii n+1).去掉iI的最后一个元素(其等千0), 得到一个n行向量i. -XI = (1, . . . , n)t.记则XI 是元素为0, 1的n n矩阵, 且t =II1inti = 1.det XI = t2(k2)2k1+1.若有必Y-, 则调换XI的最后两行, 可以得到一个元素为

24、0, 1 的nn矩阵, 满足det X = 2(k2)2k1+1.不妨设2k 1 n 2k+1 1. 当2k 1 n 2(k2)2k1 .nk+1 32k33(k+1)2k3由千k 11, 得n 4 n 4 .(k 2)2k1 3(k + 1) 2k3.当3 2k1 n 2(3k7)2k2 .另一方面,nk+1 2k1(k+1)2k1由千k 10, 得n 4 n 4 .(3k 7)2k2 (k + 1) 2k1.第6题 对实数r, 用|r|表示r和最近的整数的距离：|r| = min|r n| : n Z.1. 试问是否存在非零实数s, 满足limn |(2 + 1)ns| = 0?2. 试问

25、是否存在非零实数s, 满足limn |(2 + 3)ns| = 0?6 答案n1. 存在， 取s = 1即可。设(2 + 1)n = xn + 2yn, 则(2 + 1)n = xn 2yn. 从nn nn而x2 2y2 = (1)n. 由此|x+ 2y 2x| = |2y x | = |2y2 x2 | 0.nn2yn+xnnn2. 不存在。反证法，假设s满足(2 +3)ns = mn +En, 其中limn En = 0. 记 = 2 +3, =2 + 3. 考虑幕级数s = m区n1 xn=0xn + E区nn=0xn.(1 x)(1 x) = 1 6x + 7x2, 上式两边乘以1 6

26、x + 7x2可得区s(1 x) = (1 6x + 7x2) n=0m xn + (1 6x + 7x2) 区nn=0Enxn.(9)艺艺艺艺设(1 6x + 7x2) n=0 mnxn = n=0 pnxn, (1 6x + 7x2) n=0 Enxn = n=0 nxn, 则pn Z, limn n = 0. 因为(9)左边是一次式，从而右边满足pn + n = 0, n 2. n充分大时n很小，所以必有pn = n = 0, 即(9)右边两项均为多项式。因此区n=0E xn = G(x) .n1 6x + 7x2右边写成部分分式形如H(x) + A + B . 因为limn En =

27、0, 所以左边的收敛半径至少1x1xn为1，而, 均大千1，所以必须A = B = 0. 这样当n充分大时，En = 0, 从而( 2 + 3) s =mn Z, 矛盾！第7题 某公司Y-招聘一名员工，有N 人报名面试。假设N 位报名者所具有该职位相关的能力值两两不同，且招聘委员会能观察到的能力值排名与其真实能力值排名吻合。委员会决定采取如下招聘程序：1. 招聘委员会按随机顺序逐个面试候选人，且他们能观察到当时所见候选人的相对排名。比如委员会面试到第m 位候选人时，他们拥有的信息是前m 位面试者的相对排名，但不知后N m 位候选人的能力情况。2. 每面试完一位候选人，委员会需当即决定是否给他/

28、她发工作offer。3. 如果委员会决定给某位候选者发offer，那么这位候选者以概率p 接受，以概率1 p 拒绝，且独立千(之前) 所有其他面试者的决定。如果该候选人接受offer，那么委员会将不再继续面试接下去的候选人。如果该候选人拒绝offer，那么委员会将继续面试下一位。4. 如果委员会决定不给某位面试者发offer，那么他们将继续面试下一位候选人，且不能再回头去找前面已经面试过的人。5. 反复该面试程序，直到有候选者接受offer。如果没有候选者接收该工作，那么委员会面试完所有的N 位候选者。由千N 位面试者的顺序是完全随机的，因此他们能力的排名在N ! 的可能性中是均匀分布。且委员

29、会所具有的全部信息是当前面试过的候选人的相对排名。委员会的任务是，在遵守如上程序的前提下，找到一个策略，使得招到N 位候选者中能力最优者的概率最大化。问题如下：(a) 考虑如下策略。委员会先面试前m 1 位候选者，不管其能力排名如何，都不发工作offer。从第m 位开始， 一旦看到能力在所面试过候选人中的最优者， 即发工作offer。如对方拒绝，则继续面试直到下一位当前最优者1出现。试证明：对千任意的N ，都存在一个m = mN ，使得依靠上述策略找到(所有N 位候选人中) 最优者的概率值，在所有可能的策略所给出的概率值中是最大的。N(b) 假设p = 1。当N +，求mN的极限。N(c) 对

30、一般的p (0, 1)，当N +，求mN的极限。7 答案对千任意的1kN ，我们-Zk 为委员会完全略过前k1 位面试者，而从第k位开始采取最优策略的最终所得，即N 位候选者中能力最高者接受该工作的概率。则我们有Zk Zk+1 .(a) 如果委员会面试了第k 位候选人，且其能力在前k 位被面试者中居首，那么委员会发出offer。在这个事件下，委员会最终找到能力值最高者的条件概率为pkYk = N + (1 p)Zk+1 .1“当前最优者”指当前被面试者在所有被面试过的人(包括被发offer 并婉拒的人)中的最优者。由此可知，委员会向第k 位面试者发出offer，当且仅当其在前k 位中的能力值最

31、高，且pkN + (1 p)Zk+1 Zk+1 ,(10)NNN即 k Zk+12. 由千 k k 递增，而Zkk 递减，且Zk N k+1 ，易见不等式(10) 必定对某一个kN1 成立。由此可知，最优策略可以通过选择某个m 来达到，也即满足不等式(10) 的k 中的最小值。此外，如果k = m 满足不等式(10)，则任意的km也满足。因此，对千第m 位之后的“当前最优者”，也应当发放offer。(b) -pm 为委员会采取(a) 中的策略，且找到能力最高者的概率。当p = 1 时，被发offer的候选者一定会接受，所以这时选中能力最高者对应的是事件NAkuk=m的不相交并集，其中Ak 对应

32、的事件为第k 位候选人是N 位中的能力最高者，且被面试了。这样的话，事件Ak 的概率为1P(Ak) = Nm 1 ,k 1其中 1对应的是这位候选者是能力最高者的概率， m1是他/她被面试到的概率，即Nk1前k 1 位中的相对能力最高者在前m 1 位中。这样，我们就有Nk=mmNk 1p= m 1 区 1 .易见pm 先曾后减，因此其最优值m = mN 应为满足pm pm+1N的最小的m，即满足区 1 1k=m+1 k 1的最小m。当N 很大时，由左端的近似逼近为log(N/m) 可知， mNN e .1(c) 对一般的千p (0, 1)，同样的，pm 的值为下列不相交事件并的概率：Nku=m

33、Ak ,其中Ak 对应的事件为第k 位候选人是N 人中的能力最高者、被面试了、并且接受了offer. 我们有ppm =NN区qk ,k=m2如果这个不等式不满足，则略过第k 个人，且从第k + 1 位开始采取最优策略，则得到最佳求职者的概率将更大。其中qk 为假定第k 位候选人为N 人中能力最高者后，他/她被面试的条件概率。则我们有q = ( m 1 + 1 p )( m + 1 p ) ( k 2 + 1 p ) = (m)(k p) ,kmmm + 1m + 1k 1k 1(k)(m p)其中 为经典的 函数。据此，我们得到如果从第m 位开始，委员会找到(所有N 位候选人中)能力值最高者的

34、概率为k=mNmN(m p)(k)p= p (m) 区 (k p) ,pm 对千m 先增后减。由 函数的近似及积分对求和的逼近，我们计算得，当N 非常大时，让pm 最大化的mN 的值满足mNp 1 1p .N当p = 1 时，极限为1/e.2023 Alibaba Global Mathematics CompetitionBall lighteningAs a chief officer of a secret mission, you had the following conversation with the leading scientist.Scientist: ”Chief, w

35、e have mastered the control law of ball lightning. We found that the rate of change of the radius of ball lightning in the laboratory v(t) satisfies the following equation.v = ar + r3 r5.Here r(t) represents the radius of ball lightning, and t is the time variable. At the initial moment, there is no

36、 ball lightning, that is, r(0) = 0. Accordingly, we also have v(0) = 0. And a R can be artificially controlled. You can quickly change the value of a by pulling a control lever. We set its preset value to a = 1.”You: ”Well done, Doctor! Is a our only way of control? It doesnt seem to be able to star

37、t the ball lightning.”Scientist: ”Youre right, Chief. We do have another way of control, which is to kick the instrument.”You: ”Doctor, are you kidding me? Kick it?”Scientist: ”Yes, if you kick it, the value of r(t) will instantly increase by ( is much smaller than 1).”You: ”I see. Thats helpful ind

38、eed. Our test goal today is to start the ball lightning, makeits radius strictly exceed2, and then let it gradually disappear completely.”Scientist: ”Yes, Chief. We have designed four control schemes for this. What do you think of these schemes, Chief?”You looked at these options and found that the feasible schemes are ( ).2Set a = 2, kick the instrument, wait for the ball lightning radius to strictly exceed 2, then set a = 1 ;Set a = 3, kick the instrument, w