初中数学模型--定角夹定高.docx

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1、定角夹定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），BAC为定角。则AD有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。我们可以先看一下下面这张动图，在三角形ABC当中，BAC是一个定角，过A点作BC边的高线，交BC边与D点，高AD为定值。从动态图中（如图定角定高1.gsp）我们可以看到，如果顶角和高，都为定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A点的运动而发生变化的。从而弦BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面积就有一个最小值。我们可以先猜想一下，AD过圆心的时候，这个外接圆是最小的

2、，也就是，BC的长是最小的，从而三角形ABC的面积也是最小的。 （定长可用圆处理，特别，定长作为高可用两条平行线处理）那么该如何证明呢？首先我们连接OA,OB,OC。过O点作OHBC于H点.（如图1）显然OA+OHAD，当且仅当A,O,D三点共线时取“=”。由于BAC的大小是一个定值，而且它是圆o的圆周角，因此它所对的圆心角AOB的度数，也是一个定值。因此OH和圆O的半径，有一个固定关系，所以，OA+OH也和O的半径，有一个固定的等量关系。再根据我们刚才说的，OA+OHAD，就可以求得圆O半径的最小值。简证：OA+OHADOEDH为矩形，OH=ED，在RtAOE中，AOAE，AO+OH=AO+

3、EDAE+ED=AD下面我们根据一道例题来说明它的应用。例：如图，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=4，ADBC，B=60，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且EAF=60，则AEF的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由。【简答】图中有角含半角模型，因此我们想到旋转的方式来处理.将ADF绕A点顺时针旋转120，得ABF，则EAF=60，易证AEFAEF，作AEF的外接圆O，作OHBC于点H，AGBC于点G，则FOH=60，AG=32AB=23，设 O的半径为r，则OH=OF2=r2 .OA+OHAG，r+r223，r433FAE=FAE=12FOE=60FE

4、=3rSAEF=SAEF=12EFAG=123r2343AEF的面积最小值为43以下是两到相关的针对练习题，大家学习完以后可以去自主的完成一项，后面也有详细的解答过程，做完以后大家可以对照一下答案，学会了这种类型题的解法。解题步骤：1.作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r，用r表示圆心到底边距离及底边长；2.根据“半径+弦心距定高”求r的取值范围；3.用r表示定角定高三角形面积，用r取值范围求面积最小值。【针对练习】1.（1）如图1，在ABC中，ACB=60，CD为AB边上的高，若CD=4，试判断ABC的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积最小值；若不存在，请说明理由.（2）如图2，某

5、园林单位要设计把四边形花圃划分为几个区域种植不同花草。在四边形ABCD中，BAD=45，B=D=90，CB=CD=62，点E、F分别为边AB、AD上的点，若保持CECF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由。（1）解：如图1-1作ABC的外接圆O，连OA、OB、OC，作OHAB于H设O半径为r，则OH=12OA=12r，AB=2AH=232OA=3rCO+HOCD 即r+12r4 得r83SABC=12ABCD=123r4=23r2383=1633（2）分析：此处求面积最大值，而定角定高一般求面积最小值。由于：S四边形AECF=S四边形ABC

6、DSCDFSCBE=722+72（SCDF+SCBE）因此，只要SCDF+SCBE最小，S四边形AECF面积最大解：如图1-2所示在AB上找一点H，使AH=HC。延长AB至G，使BG=FD，连CG，作CEG的外接圆O证AC为BAD平分线求S四边形ABCD面积。CHB=45，AH=CH=2CB=12HB=BC=62 AB=12+62 S四边形ABCD=2SABC=212ABBC=ABBC=12+6262=722+72CDFCBG，则SCDF+SCBE=SCEG求SCDF+SCBE=SCEG最小面积ECG=135-90=45定角，CB=62定高.设O的半径为r，则EK=OK=22OE=22r，EG

7、=2EK=2r.CO+OKCB 即r+22r62 r12212.SCEG=12CBEG=12622r=6r72272求S四边形AECF的最大值。S四边形AECF=S四边形ABCDSCDFSCBE=722+72（SCDF+SCBE）=722+72SCEG722+7272272=1442.已知等边ABC，点P是其内部一个动点，且AP=10，M、N分别是AB、AC边上的两个动点，求PMN周长最小时，四边形AMPN面积的最大值.分析：PMN最小值即将军饮马问题。如图2-1。四边形AMPN面积该如何表示？如图2-2AP=10，则P在以A为圆心10为半径的圆上由轴对称性可知，SAP1M=SAPM，SAP2

8、N=SAPNS四边形AMPN=SAPM+SAPN=SAP1M+SAP2N=SAP1P2SAMNSAP1P2=12ADP1P2=1212AP13AP1=34AP2=253只要SAMN最小，则S四边形AMPN最大SAMN最小，且MAN=60定值，AD=12AP1=12AP=5定值，即定角定高问题解：求PMN周长最小。作P关于AB的对称点P1，作P关AC的对称点P2 ，连P1P2。此时，PMN周长即为最小（两点之间线段最短）四边形AMPN面积表达式。连AP1、AP2，过A作ADP1P2MAP=MAP1，NAP=NAP2，MAN=MAP+NAP=60MAP1+NAP2=MAP+NAP=MAN=60P1

9、AP2=MAP1+MAN+NAP2=120 又AP=AP1=AP2=10AP1P2=AP2P1=30AD=12AP1=5 P1D=P2D=32AP1=53 P1P2=2P1D=103SAP1P2=12ADP1P2=253S四边形AMPN=SAP1P2SAMN=253SAMN当SAMN最小时，S四边形AMPN最大求SAMN的最小值。如图2-3作AMN的外接圆O，连OA、OM、ON，作OHMN于H.设O的半径为r，则OH=12OM=12r，MN=2MH=232OM=3r.AO+OHAD，即r+r25，r103.SAMN=12ADMN=1253r=523r2533S四边形AMPN=SAP1P2SAM

10、N=253SAMN2532533=5033四边形AMPN面积最大值为5033这就是我们所说的定价定高类隐形圆的处理方法。相对来说难度还是比较大的，这类题通常会作为中考压轴题出现，如果没有学习过解题方法的话，自己是很难想出来它的做法，希望同学们下去以后多加练习。只要方法掌握了以后，其实也是很容易拿到满分的。【同类配题】1.如图3，四边形ABCD中，AB=AD=42，B=45，D=135，点E，F分别是射线CB、CD上的动点，并且EAF=C=60，求AEF的面积的最小值.2.如图4，四边形ABCD中，A=135，B=60，D=120，AD=5，AB=6，E、F分别为边BC及射线CD上的动点，EAF=45，求AEF面积的最小值.3.如图5，四边形ABCD中，B=D=60，C=90，AD=2AB=2，M、N分别在直线BC、CD边上，MAN=60，求AMN面积最小值.4.如图6，四边形ABCD边长为6的菱形，其中，A=60，E、F分别在射线AB、BC上，EDF=90，求EDF面积的最小值.