基于多项式一致逼近的多阈值图像分割算法-卫颜俊.pdf

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1、2016年10月 Journal on Communications October 2016 2016196-1 第37卷第10期 通 信 学 报 Vol.37 No.10基于多项式一致逼近的多阈值图像分割算法 卫颜俊1，冯博琴1，伍卫国2 （1. 西安交通大学计算机教学实验中心，陕西 西安 710049；2. 西安交通大学计算机系，陕西 西安 710049） 摘 要：针对传统多阈值图像分割算法的计算复杂性，以及由图像直方图中毛刺的干扰带来的算法不稳定等缺点，提出一种基于伯恩斯坦多项式一致逼近的多阈值图像分割算法。首先根据逼近论中的威尔斯托拉斯定理构造图像直方图曲线的伯恩斯坦多项式，然后将图

2、像直方图的峰谷值计算问题化简为伯恩斯坦多项式的极值问题，该极值问题可由伯恩斯坦多项式函数的一次、二次微分导出，最后依据这些极值和极性应用分类算法自动标注图像直方图的实际峰谷值，由此完成基于多阈值的图像分割。实验结果表明所提算法不受直方图中毛刺的干扰，算法整体稳定，冗余计算少，时间复杂度小，用时少，效g10587g20652，逼近性g14033和分割效果g7368g3921。 关键词：图像分割g727图像直方图g727阈值g727一致逼近g727伯恩斯坦多项式g727g17329g12175g12366间 中图分类号：TP309 文献标识码：A Multi-threshold algorithm

3、 about image segmentation based on polynomial uniform approximation WEI Yan-jun1, FENG Bo-qin1, WU Wei-guo2(1. Computer Teaching & Experiment Centre, Xian Jiaotong University, Xian 710049, China; 2. Department of Computer Science & Technology, Xian Jiaotong University, Xian 710049, China) Abstract:

4、Aiming at those shortcomings of previous multi-threshold image segmentation algorithm such as large com-plexity and instability caused by the image histogram glitch interference, a new multi-threshold image segmentation algo-rithm was proposed using Bernstein polynomial to uniformly approximate hist

5、ogram curve. First, according to the ap-proximation theory of Weierstrass to construct Bernstein polynomial for the histogram curve, then more difficult peak value calculating of the histogram was reduced to the Bernstein polynomial extremal generating, that was exported easily by the first and seco

6、nd derivative of Bernstein polynomial function, and finally obtain the actual peak value of the image histogram by picking up these extremes and polar values and filtering through classification algorithm, and finish multi-threshold image segmentation. Experimental results show that the algorithm is

7、 insensitive for histogram glitch in-terference, the overall is stable, the redundant computation and time complexity are smaller, with less time and high effi-ciency, the approximate performance and segmentation effect are better. Key words: image segmentation, image histogram, threshold, uniform a

8、pproximation, Bernstein polynomial, distance space 1 引言 因特网上每时每刻都在发生着巨量的数据交换，内容除了文本信息之外，很大一部分都是数字图像和视频信息，对数字图像处理方法的研究就显得非常重要。图像分割又是整个图像处理的一个重要的阶段，它直接影响到图像的特征提取、目标识别和计算机视觉等后期处理。图像分割一般是指根据图像中的灰度、颜色、纹理、形状和边缘等特征把图像划分成若干互不重叠的目标和背景的2个区收稿日期：2016-06-15g727修回日期：2016-08-31 基金项目：g3281g4490自然g12197学基g18341g1717

9、6g2173项g11458g708No.91330117g709g727g3281g4490g20652g6228g7427g11752g12362g2469g4649计g2022g708g256863g257计g2022g709基g18341g17176g2173项g11458g708No.2012AA01A306g709Foundation Items: The National Natural Science Foundation of China (No.91330117), The National High Technology Research andDevelopment Pr

10、ogram of China (863 Program) (No.2012AA01A306) doi:10.11959/j.issn.1000-436x.2016196 万方数据第10期 卫颜俊等：基于多项式一致逼近的多阈值图像分割算法 57 域，并使这些特征在同一区域内呈现出相似性，而在不同区域间呈现出明显的差异性。图像分割方法总g1319g2499分g1038g3534g1122g19420g1552、g3534g1122边缘g7828g8991、g3534g1122区域提取和g13479g2524特g4462理g16782的方法等。而g3534g1122g19420g1552的分割方法又

11、g2499g1209分g1038g1852g4628g19420g1552法、g14270g17878g5224g19420g1552法、g7380g1351g19420g1552法和数g4410理g16782g19420g1552法等。g1866中，g1852g4628g19420g1552法g2265g6336图像直方图的g4804g16907法、g17857g1207法、g7380大g12879间方差法和g7380大g10121g14270g2172g19420g1552法等16。 g1306是在图像g7389g3134g3780的g5785g1929g991，g1866直方图g2265

12、g2559g7389g8623g2062，g8504时的g19394g20076g2476得g3809g7446g2282，g1209上这些g8726g19420g1552的方法就不g1889g14033很g3921g3332g17878g2524，g17902常的g1582法是使g11004一g13512g9400g8886等g6175段对直方图g1820g17839g15904g5191g9381处理，g9994后g1889g17839g15904分割。 g17839一g8505，SHEN 等7提出了一g12193g7044的g14270g17878g5224图像分割方法，它是一g1219

13、3g3534g1122灰度图像直方图g10121和g17963g1268算法相g13479g2524的算法，g4570分割g19394g20076重g7044g4462g1053g1038一个g1260g2282g19394g20076g7481g16311g1927。g10591g1154g11015等8提出了g17878g5224度标g4462g1856g5347，使g17878g5224度g2001数g14033g3827g8503g11842g5353g4560g13688g1319的发g4649方g2533，g1186而提g20652g6922g6959g17907度，分割方法g11

14、85g9994g18331g11004g7380大g12879间方差法g7481g17839g15904。g7458g2758g4410等9提出的g5567g17907g3822g19420g1552图像分割法g1866g4466是对g7380大g12879间方差法的g1120分法g6205g4649。g4445g1028g10630等10g2045g11004g3822g19420g1552分割g13479g7536，g17902g17819g1852g4628内区间直方图的g3355g15925和g3534g1122g3355g15925直方图对区间内的灰度g6301g1292，g4466

15、现了图像g3698g5390，g4625g12661是图像g3698g5390方法，g1306在图像分割中g1075g1552得g2454g13783。g18038g5322g17241等11提出了一g12193g3534g1122g11705识的g3822g19420g1552融g2524的图像分割g7044方法，g4570图像各位置的g7380g1351连g17902域组g2524g1038g7380终图像分割g13479g7536，特点是g4570融g2524的g1820验和智g14033方法g5353入图像分割。曹g3698g5390等12提出了一g12193去除图像g8623g206

16、2的g5567g17907算法，该方法克服g1268统的中g1552g9400g8886的缺点，g17902g17819对g8623g2062形状归g12879，跟踪g8623g2062穿插g1122边界的整个g17819程，g5567g17907消除图像g8623g2062。黄琴g8886等13概述了如何g4570模糊方法、活g2172轮廓模型、g17963g1268算法和神经网络等g7380g7044理g16782和思路g5224g11004在图像分割领域中。许g7044征等14g1075g17839一g8505概述了图像分割的g7044理g16782和g7044方法，比如数g4410形态

17、g4410、模糊集、神经网络、支持g2533量机、免疫算法、图g16782和粒度计算等在图像分割方面的g5224g11004。 还g2499g1209g18331g11004数g4410理g16782g8726g19420g1552，使g11004数g4410统计方法、聚g12879分g12879方法、泛g2001分析方法15、g1207数插g1552方法、样条g2001数方法g1209及g2001数逼近理g16782方法16。 程东旭等17对g3534g1122样条插g1552的图像分割算法g17839g15904了研究，使g11004样条插g1552方法对图像的灰度直方图g17839g15

18、904曲线拟g2524，获得直方图的曲线表达，g1889g2045g11004对g2001数g8726极g1552的方法获取g19420g1552，g17839而对图像g17839g15904g19420g1552分割。陈争光等18g1075g17839g15904了g12879似的研究工作。 本文提出一g12193借助g1122逼近g16782中的伯恩斯坦g3822项g5347g2001数一致逼近方法g7481g17839g15904g3534g1122g3822g19420g1552的图像分割。该方法g1209逼近理g16782g1038前提，比g1268统的g19420g1552方法g8

19、726g16311g8505骤简单，比一般的数g4410插g1552方法的计算g17819程简单，g2499操作性和g5224g11004性g1075较g5390，支持图像分割中直方图的去g3134和g3822g19420g1552g8726g16311。 数字图像在数字g2282和g1268输g17819程中时常带g7389g3134g3780干扰，g1866灰度直方图g14270g9994g1075会出现g3134g3780，主要表现是直方图曲线上的大量g8623g2062现象。借助g1122伯恩斯坦g3822项g5347的光g9381性、保凸性、保符号性和保单调性等诸g3822g1260

20、良性质，g1866对一般曲线的g1852g4628轮廓逼近非常g3921，g1186而避开了直方图曲线上的g3134g3780，并g17902g17819g3822极g1552的g8726g16311很g5567获得原直方图曲线上的g3822g4804g16907g1552，g1186而获得g3822g19420g1552。 2 灰度直方图的伯恩斯坦一致逼近多项式 2.1 威尔斯托拉斯定理 1885 年，威尔斯托g6301斯（Weierstrass）提出了对g1122连续g2001数，记作 f(x)，存在g3822项g5347逼近g2001数，记作P(x)，g1209g991是威尔斯托g630

21、1斯第一逼近g4462理19。 设 f(x)是a,b上的连续g2001数，则0，P(x)g3822项g5347满足不等g5347 |f(x)P(x)| (1) 对g1122xa,b一致成立。 2.2 伯恩斯坦定理及伯恩斯坦多项式 1912年，伯恩斯坦（Bernstein）针对上述威尔斯托g6301斯g4462理中的P(x)，构造出g1209g991的一g12193特g8542一g1815ng8437g3822项g5347g2001数，g12228g1038伯恩斯坦g3822项g5347，记作Bn(f,x)。 () ()0,nnkkkBfx f Pxn=(2) g1866中， () ( )1nk

22、kknPx x xk=，x0,1。 g17902g17819伯恩斯坦g3822项g5347，伯恩斯坦构造性g3332g16789明了威尔斯托g6301斯g4462理，g1209g991是伯恩斯坦逼近g4462理19。设f(x)是0,1上的连续g2001数，则伯恩斯坦g3822项g5347Bn(f,x)在0,1上一致g6922g6959g1122 f(x)。伯恩斯坦g4462理不g1306g16789明了 ()()lim ,nnBfx fx= ，0x1，而g1000在 f(x)g11220,1的各阶g4560数存在的前提g991，还g17839一g8505g16789明了Bn(f,x)的各阶g4

23、560数g1075一致g6922g6959g1122 f(x)相g5224的各阶g4560数。本文g11004到Bn(f,x)及g1866一阶、g1120阶g4560数。 2016196-2 万方数据58 通 信 学 报 第37卷 2.3 伯恩斯坦多项式的性质 伯恩斯坦g3822项g5347g1867g7389g1209g991g1972个重要性质。 1) 保单调性质 如g7536f(x)是0,1上的单调g3698（g1955）g2001数，则Bn(f,x)g1075是0,1上的单调g3698（g1955）g2001数。 2) 保符号性质 如g7536f(x)g3050对x0,1成立，则Bn(

24、f, x)g3050对x0,1g1075成立。 3) 线性性质 对g4462g1053在0,1上的2个g2001数f(x)和g(x)，g1209及g1231何g4466数 和 ，则 Bn(f+g,x)=Bn(f,x)+ Bn(g,x)成立。 4) 保凸性质 设 f(x)是0,1上的凸g2001数，则 Bn(f,x)g1075是0,1上的凸g2001数。 5) g11964光性质 不g16782 f(x)曲线在0,1上的g16280整性如何，Bn(f,x)经g17819g2465g3809作g11004总会g4570曲线g2476g1038g11013g18662个g12483点构成的线段，g2

25、375f(0)+f(1)f(0)x。 6) 不g2172点性质 对线性g2001数 f(x)，Bn(f,x)g1867g7389不g2172点特性，g2375Bn(f,x)=f(x)。 总之，g1231何曲线g994y=Bn(f,x)的交点数目都不大g1122曲线y=f(x)g994y=Bn(f,x)的交点数目，Bn(f,x)g1972何形态上非常相似g1122f(x)，g1306g1866光g20046性g2376不g1314g1122f(x)。 g1209上这些性质对本文非常重要，g991面就g2045g11004它g1216g17839g15904直方图曲线的逼近。 2.4 伯恩斯坦多项

26、式的推导 本文的g19394g20076针对的是 xa,b的g5785g1929，g2499使g11004g2476换g1856g5347xatba=，g4570xa,b的g19394g20076g2476g1038t0,1的g19394g20076，g1186而得出满足a,b区间g994g5347(2)对g5224的伯恩斯坦g3822项g5347。 0(,) ()nnkkkCfx f Qxn=(3) g1866中，f(x)g1038图像灰度直方图g12175g6967曲线g2001数。 () ( )( )()knkk nnkQx xa bxba=，xa, b，并g4570kng7156g45

27、68g1038 ()kban ，kfng7156g4568g1038 ()kfban。 g1038了算法g994g13546程的g19668要，g4570 Qk(x)g1207入g5347(3)，并g1582g17839一g8505的g6524g4560简g2282后得到g5347(4)。 0000(,) ()()()()!( )( )() !()!()nnkknknknkknknnknnkkCfx f Qxnnkbafk xabxnbaba n xa bxfknbaknkfkba n= =()()()!knkxa bxknk (4) g5347(4)的g17902项中g2559g73894个

28、g4388项，g5062g11004中g6336g5371标记出g7481，如g7536g4570第4g4388项，g2375()()!nkbxnk设计g1038g2533量并g1820g15904计算，则整个g5347(4)对每个x（xa,b）g7481g16840的时间g3809g7446度g1038O(n)。 根据图像灰度直方图的特点，g2499取a,b= 0,255。 图1g1038Lena样本图像，图2和图3分别是图1g6164对g5224的灰度直方图和ng8437逼近的伯恩斯坦g3822项g5347曲线（取n=1 200）。g1186图中g2499g1209g11487出，图2中存

29、在g3822处g8623g2062很g19602g5455g5225消除，而图3逼近g1122图2g1000是g5191g9381的。消除了大量的g8623g2062后使g8726极g1552g2476得容g7143了许g3822，并g19555着n的g3698大，逼近程度会g7368g3921。 图1 Lena灰度图像 图2 Lena灰度直方图 2016196-3 万方数据第10期 卫颜俊等：基于多项式一致逼近的多阈值图像分割算法 59 图3 Lena灰度直方图逼近的伯恩斯坦多项式曲线 2.5 伯恩斯坦多项式的极值 根据伯恩斯坦g4462理，g2499g1209g4570图像灰度直方图的g4

30、804g16907g1552g8726g16311g19394g20076简g2282g1038伯恩斯坦一g1815ng8437g3822项g5347的极g1552g8726g16311g19394g20076，并g1000避开了直方图曲线上的大量g8623g2062干扰现象。 对g5347(2)的Bn(f,x)g17839一g8505g8726一阶g4560数，得到g1209g991的1(,)nBfx ，Bn(f,x)g2001数的极g1552g19394g20076又简g2282g1038一g1815 n 1 g8437g3822项g53471(,)nBfx g6164组成的方程的g872

31、6根g19394g20076。 ()()()100,1n nnnkkkkkBfxnkkfPxfxxnkn= = (5) 这g18336，因g1038g7380g1863g5527的是 xa,bg5785g1929g991的g8726g4560g13479g7536，g6164g1209直接使g11004g5347(4)对Cn(f,x)g2001数g8726g1863g1122x的一阶g4560数g2375g2499。g1186而得出满足a,b区间的伯恩斯坦g3822项g5347的一阶g4560数 ()()()()()0!,!n nknknknCfxbaxa bxbafknknk= = (6)对

32、g5347(6)中g1582g17839一g8505的g6524g4560简g2282后得g5347(7)。 ()()()()()()()()11101!,!nn nknknknkknknbaCfx f knbaba nkx a b x f knbankxa bx= = ()()()()()()()11110!nknknknknknknbafkkxabxnbaba nfk nkxabxnba= ()()10!1nnknba bafkfknnba= =+ ()()()1!1!knkxa bxknk (7) 式(7)中通项含有4个子项，已用中括弧标记出来，如果将第 4 子项，即()()11!nkb

33、xnk设计为向量并先行计算，则整个式(7)对每个x（xa,b）来说的时间复杂度为O(n)。 2.6 伯恩斯坦多项式的极性 再次根据伯恩斯坦定理，为了判断曲线梯度的变化，对 Bn(f,x)进一步求二阶导数，得到以下的2(,)nBfx ，将 Bn(f,x)函数的极值的极大、极小特性判定问题简化为一元 n2 次多项式2(,)nBfx值的正负值判定问题，当为负时此处是原函数的极大点，为正时此处是原函数的极小点。 ()()()200,1n nkknnkkkBfxkfPxnnkfxxkn= = = (8)这里因为最关心的是 xa,b情况下的求导结果，所以直接使用式(7)对C combiningacutea

34、ccentn(f,x)数求关于x的一阶导数即可。从而得出满足a,b区间的伯恩斯坦多项式的二阶导数，做进一步的推导简化后得式(9)。 ()()()()()()()()()()1111202!,(1!1! 1!(1!2!nn nkknknnkknknbabaCfx f k f knnbaxa bxnknkbaba bafkfknnxa bxknk= =+ + 2016196-4 万方数据60 通 信 学 报 第37卷 ()() ()20!22 1nnknba bafk fknnba= =+ ()()()2!2!knkxa bxbafknknk (9) 式(9)中通项含有4个子项，已用中括弧标记出来

35、，如果将第4子项，即()()22!nkbxnk设计为向量并先行计算，则整个式(9)对每个 x（xa, b）来说的时间复杂度为O(n)。 结合式(4)、式(7)和式(9)，可以求得伯恩斯坦多项式 Bn(f,x)的值以及一阶、二阶导数的值，从而得到图像灰度直g7053图 f(x)的 n 次g17936g17829值以及极值和极大极小特性。 g110132.2g14422可g11705，求g16311伯恩斯坦多项式极值的问题已g13475g17728g6454为求g16311伯恩斯坦多项式一阶导数g7053g12255根的问题，极值的特性问题已g13475g17728g6454为求g16311伯恩斯

36、坦多项式二阶导数的问题，g3324一阶导数为g19658的情况下，如果二阶导数为负时，为极大值g727g2554则为极小值。 根据以g990的极值和极性的计算式，并使用第3 g14422g1183g13473的算g8873g14270g2172标g8892出恩斯坦多项式曲线g990的g1852g18108极值点。对图 3 的极值求g16311，结果如图 4所g12046。 图4 Lena灰度直方图逼近的伯恩斯坦图的极值 3 算法实现 3.1 伯恩斯坦多项式的求解算法 算法1 伯恩斯坦多项式的求g16311算g8873 输入 f(x)g3324a,bg990的g1852g18108值以及n的值。

37、 输出 Cn(f,x) g3324a,bg990的g1852g18108值。 begin 步骤1 计算步g19283h=ban的值。 步骤2 g2474s=1; 对于(k=1;kg304n;k+) 计算s=skba的值。 步骤3 对于(x = a; xg304b; x+) 计算以下值。 1) g2474vn=1g727对于(k = 1; k g304 n; k+) 计算vn k = vn k + 1bxk的值。 2) g2474u = 1; Cn(f,x) = f0uv0; w=0;对于(k = 1; k g304 n; k+)计算以下值g726 g311 u =()ux ak; g312 w

38、=f(kh)uvk; g313 Cn(f,x) = Cn(f,x)+ w。 3) 计算Cn(f,x) = Cn(f,x) s的值。 步骤4 g17832g3250Cn(f,x) 的值。 end 3.2 伯恩斯坦多项式极值的求解算法 算法2 伯恩斯坦多项式极值的求g16311算g8873 输入 f(x)g3324a,bg990的g1852g18108值以及n的值。 输出 Cn(f,x) g3324a,bg990的g1852g18108值。 begin 步骤1 计算步g19283h=ban的值。 步骤2 g2474s=1; 对于(k=1;kg304n;k+) 计算s=skba的值。 步骤3 对于(

39、x = a; xg304b; x+) 计算以下值。 1) g2474vn=1g727对于(k = 1; kg304n; k+) 计算vn k = vn k + 1 bxk的值。 2) g2474u = 1; Cn(f,x)= (f1h f0h)uv1; w=0;对于(k = 1; k g304 n1; k+)计算以下值g726 g311 u =()ux ak; g312 w=(f(k+1)h f(kh)uvk+1; g313 Cn(f,x) = Cn(f,x) + w。 3) 计算Cn(f,x) = Cn(f,x) s的值。 步骤4 g17832g3250Cm(f,x) 的值。 end 3.3

40、 伯恩斯坦多项式极性的求解算法 算法3 伯恩斯坦多项式极性的求g16311算g8873 输入 f(x)g3324a,bg990的g1852g18108值以及n的值。 2016196-5 万方数据第10期 卫颜俊等：基于多项式一致逼近的多阈值图像分割算法 61 输出 Cn(f,x) g3324a,bg990的g1852g18108值。 begin 步骤1 计算步g19283h=ban的值。 步骤2 g2474s=1; 对于(k=1;kg304n; k+) 计算s=skba的值。 步骤3 对于(x = a; xg304b; x+) 计算以下值。 1) g2474vn=1g727对于(k = 1;

41、k g304 n; k+) 计算vnk = vn k + 1bxk的值。 2) g2474u =1; Cn(f,x) = (f2h 2 f1h+ f0h)uv2; w=0g727对于(k = 1; k g304 n2; k+)计算以下值g726 g311 u = ()ux akg727 g312 w=(f(k+2) h 2f(k+1) h+ f(kh)uvk+2; g313g3Cn(f,x)= Cn(f,x) + w。 3) 计算Cn(f,x) = Cn(f,x) s的值。 步骤4 g17832g3250Cn(f,x) 的值。 end 算g88731、算g88732和算g88733对于每一个x

42、的时间复杂度g18129是O(n)。 通g17819算g8873 1 得到了伯恩斯坦曲线g3324a,bg990的值，通g17819算g88732得到了伯恩斯坦曲线g3324a,bg990的极值和极值点，通g17819算g88733得到了伯恩斯坦曲线g3324a,bg990的极性和极值点，从而g14731得伯恩斯坦曲线g3324a,bg990的极大值、极小值和极值点，即对g5224直g7053图g990的g1852g18108g4804值和g16907值的g1284算和g17829g1296值，再g11013 3.4 g14422的g12879k-means 最小g17329g12175g20

43、10g12879算g8873g6226到图像灰度直g7053图g990的g1852g18108g4466g19481g4804值和g16907值。 3.4 多阈值的求解算法 g7424小g14422g20330先g1183g13473g17329g12175g12366间和g17329g12175的定g1053，g9994后使用g12879k-means的最小g17329g12175g2010g12879算g8873求g16311灰度直g7053图的g4804g16907值，g6518g8991出图像的多个g19420值，最后g4466g7057g3534于多g19420值的图像g2010g2

44、118。 1) g17329g12175g12366间 定义1 g17329g12175g12366间。设X为g1231g5859g19610合，如果对Xg990的g1231g58592个元g13044x和y，g18129对g5224一个g4466数(x,y)，并g1000满足以下3个g7477g1226g726 g311 g19762负性，(x,y)g3050，g1866中，当g1000g1177当 x=y 时(x,y)=0g727 g312 对g12228性，(x,y)= (y,x)g727 g313 g989点g993g12573式，x，y，zX，g18129有 (x,y) g304(x

45、,z) +(z,y)。 则g12228(x,y)为x和yg1055间的g17329g12175，而g12228X为以(x,y)为g17329g12175的g17329g12175g12366间。 g1867g1319g5224用时，对于g993g2528的g12366间可以g2474g993g2528g5430式的g17329g12175。g8616如，对于 n g13512g8443式g12366间 Rn中的 2 个 ng13512向量x= (1, 2,midhorizellipsis, n)和y=(1, 2,midhorizellipsis, n)g1055间的g17329g12175定g

46、1053如下 1221(, )nkkkxy=而对于g12366间Ca,b中g17842g13505函数x(t)和y(t)g1055间的g17329g12175定g1053如下 ( , ) max () ()atbxy xt yt =2) g12879k-means最小g17329g12175g2010g12879算g8873 g20330先g17885定k个g2010g12879g1284算值centerk，g4439g1216是伯恩斯坦多项式曲线g990的极值点，g9994后g3324直g7053图曲线的对g5224点的一定g17329g12175g14551g3272（g18063g3507）g1881，g4559g6226直g7053图g990的g1946极值点，将g6226到的点 datang993断g2447g1474正centerk，直到满足g16213求为g8502，即可得到直g7053图g990的g4804g16907点和g4804g16907值。 算法4 g12879k-means最小g17329g12175