基于加权karnik-mendel算法的区间二型模糊逻辑系统降型-陈阳.pdf

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1、第33卷第10期2016年10月控制理论与应用Control Theory & ApplicationsVol. 33 No. 10Oct. 2016基基基于于于加加加权权权Karnik-Mendel算算算法法法的的的区区区间间间二二二型型型模模模糊糊糊逻逻逻辑辑辑系系系统统统降降降型型型DOI: 10.7641/CTA.2016.60098陈阳1;2y,王大志1(1.东北大学电力系统与电力传动研究所,辽宁沈阳110819; 2.辽宁工业大学理学院,辽宁锦州121001)摘要:二型模糊逻辑系统是当前的学术研究的热点问题,而降型是该系统中非常重要的一个模块. Karnik-Mendel(KM)算

2、法是被用来计算和完成区间二型模糊逻辑系统降型的标准算法.通过比较离散版本KM算法中求和运算和连续版本的KM(continuous version of KM, CKM)算法中求积分运算,本文利用数值积分技术中牛顿-柯斯特求积公式将标准KM算法扩展成3种不同形式的加权KM(weighted KM, WKM)算法.而KM算法只是WKM算法中的一种特殊情况. 3个计算机仿真例子用来阐述和分析WKM算法的表现,与传统的KM算法相比, WKM算法有较小的绝对误差和较快的收敛速度,给二型模糊逻辑系统设计者和应用者提供了潜在的应用价值.关键词:区间二型模糊逻辑系统;降型; Karnik-Mendel算法;积

3、分;加权Karnik-Mendel算法;计算机仿真中图分类号: TP182; TP11文献标识码: AType-reduction of interval type2 fuzzy logic systems withweighted Karnik-Mendel algorithmsCHEN Yang1;2y, WANG Da-zhi1(1. Institute of Electric Power System and Motor Drives, Northeast University, Shenyang Liaoning 110819, China;2. College of Science

4、, Liaoning University of Technology, Jinzhou Liaoning 121001, China)Abstract: Studies on type2 fuzzy logic systems is a hot topic in the current academic area. While type-reduction isone of the most important blocks in the systems. KM algorithms are standarded algorithms which are used to computeand

5、 perform the type-reduction of interval type2 fuzzy logic systems. By comparing the sum operation in discretizedversion KM algorithms and the integral operation in continuous version of KM (CKM) algorithms, the paper extendsthe standarded KM algorithms to three different forms of weighted KM (WKM) a

6、lgorithms according to the Newton-Cotes quadrature formulas of numerical integration techniques. And the KM algorithms become a special case of theWKM algorithms. Three computer simulation examples are used to illustrate and analyze the performance of the WKMalgorithms. Compared with the traditional

7、 KM algorithms, the WKM algorithms have smaller absolute error and fasterconvergence speed, which provide the potential application value for designers and adopters of type2 fuzzy logic systems.Key words: interval type2 fuzzy logic systems; type-reduction; Karnik-Mendel algorithms; integration; weig

8、htedKarnik-Mendel algorithms; computer simulation1引引引言言言(Introduction)在生产生活中,诸如金融系统、自主移动机器人、智能控制器、设备监测和诊断等过程都具有高不确定性、非线性和时变等特征.与传统的一型模糊集相比,区间二型模糊集可以更好地建模并通过调整参数以减小不确定性所带来的不良影响.因此,基于区间二型模糊集的区间二型模糊逻辑系统近年来成为一种热门的新兴技术.区间二型模糊逻辑系统由5个模块组成,包括模糊器、规则库、推理机、降型器和解模糊器.其中降型模块在系统中起着至关重要的作用,它的主要功能是将区间二型模糊集转化成一型模糊集,而

9、在一型模糊逻辑系统中没有降型模块.由于涉及复杂的降型过程,区间二型模糊逻辑系统中的运算比一型模糊逻辑系统要复杂得多.此外,区间二型模糊逻辑系统的前件或后件中至少存在一个区间二型模糊集,而一型模糊逻辑系统只使用一型模糊集.由于区间二型模糊集1的次隶属度恒等于1,计算相对简单,基于区间二型模糊集的区间二型模糊逻辑系统24被广泛应用于各个领域. KM(Karnik-Mendel)收稿日期: 2016 02 24;录用日期: 2016 08 05.y通信作者. E-mail: .本文责任编委:陈增强.国家自然科学基金项目(61374113),辽宁省高校基本科研业务费项目(JL201615410)资助.

10、Supported by National Natural Science Foundation of China (61374113) and Fundamental Research Funds for Liaonings Universities (JL201615410).万方数据1328控制理论与应用第33卷算法5被开发用来完成区间二型模糊逻辑系统的降型或计算区间二型模糊集的质心6,其在二型模糊逻辑系统的研究中起着很重要的作用78. Mendel和Wu9提出了连续版本的KM(continuous version of KM,CKM)算法. Mendel和Liu10对CKM算法进行了理

11、论分析且证明了该算法的单调性和超指数收敛性. Liu等人11对EKM算法的初始化过程给出了理论解释,利用数值积分技术将EKM算法扩展成加权EKM(WEKM)算法并计算区间二型模糊集质心的左端点.以上工作为KM算法的应用奠定了丰富的理论基础.受文献56,8,11启发,本文针对计算完成区间二型模糊逻辑系统的质心降型过程,提出连续版本的KM(CKM)算法.通过比较离散版本的KM算法的求和运算和连续版本的KM算法的求积分运算,使用数值积分技术将KM算法扩展成加权KM(WKM)算法.新的WKM算法计算完成区间二型模糊逻辑系统的质心降型与KM算法相比更加准确,且KM算法只是WKM算法的一种特殊情况.本文余

12、下的部分组织如下:第1节提出关于区间二型模糊逻辑系统8,19、区间二型模糊集的质心和KM算法等背景知识.第2节介绍了牛顿柯斯特(Newton-Cotes)求积公式、CKM算法和基于3种不同加权分配方法下的WKM算法计算区间二型模糊集的质心.第3节利用3个数值仿真例子比较和分析4种算法的表现.第4节给出结论与展望.2背背背景景景知知知识识识(Background knowledge)2.1区区区间间间二二二型型型模模模糊糊糊逻逻逻辑辑辑系系系统统统(Interval type2 fuzzylogic systems)常用的区间二型模糊逻辑系统有Mamdani和TSK两种结构.一个Mamdani区

13、间二型模糊逻辑系统有p个输入x1 2 X1; ;xp 2 Xp和一个输出y2Y且被M条模糊规则所描述,其中第l条规则形式为:如果x1是Fl1,且 ,且xp是Flp,则y是Gl (l = 1; ;M).为简化表达,假设采用单点模糊化,即输入测量被建模成普通集合.对每条模糊规则,首先计算激发区间Fl(x),当x = x时,计算Fl:Fl(x) fl(x); fl(x);fl(x) Tpi=1 Fli(xi);fl(x) Tpi=1 Fli(xi);(1)其中T表示取小或乘积t范运算.一个区间二型模糊集所有不确定性构成一个带状区域,称之为足迹不确定性(FOU).当采用质心降型时,每条规则的激发区间与

14、其后件区间二型模糊集结合以产生激发输出集Bl(由它的FOU描述).Bl :FOU( Bl) = Bl(yjx); Bl(yjx);Bl(yjx) = fl(x) Gl(y);Bl(yjx) = fl(x) Gl(y);(2)其中 也表示取小或乘积t范运算.合并所有的激发输出集Bl以完成区间二型模糊集B的聚合运算.B :FOU( B) = B(yjx); B(yjx);B(yjx) = B1(yjx)_ _ BM(yjx);B(yjx) = B1(yjx)_ _ BM(yjx);(3)其中_表示取大运算.最终,通过降型计算B质心CB得出降型集YC(x),即YC(x) = CB(x) = 1/lB

15、(x);rB(x); (4)其中lB(x)和rB(x)可由KM算法计算出.2.2区区区间间间二二二型型型模模模糊糊糊集集集的的的质质质心心心(Centroid of aninterval type2 fuzzy set)一个区间二型模糊集A的质心CA(x)是其所有nA个嵌入式一型模糊集Ae的质心CA(Ae)的并,即6CA(x) = 1/ AecA(Ae) =1/ AeNi=1xi Ae(xi)Ni=1Ae(xi)= 1/cl( A);cr( A); (5)其中:cl( A) = minAecA(Ae) =min i A(xi); A(xi)(Ni=1xi i/Ni=1i); (6)cr( A)

16、 = maxAecA(Ae) =max i A(xi); A(xi)(Ni=1xi i/Ni=1i); (7)xi(x1 k + 1,设置 i = A(xi),计算cl(k) =ki=1xi A(xi) +Ni=k+1xi A(xi)ki=1A(xi) +Ni=k+1A(xi)4核对是否cl(k) = c,若成立,终止且设置cl(k) = cl,k = L;若不成立,转入第5步5设置c = cl(k)且返回第2步步骤KM算法计算cr, cr =max i A(xi); A(xi)(Ni=1xi i=Ni=1i)1初始化 i,设置 i = A(xi) + A(xi)=2; i = 1; ;N,计

17、算c = c( 1; ; N) =Ni=1xi i=Ni=1i2找到k(1 6 k 6 N 1)满足xk 6 c 6 xk+13当i6k,设置 i= A(xi);当ik+1,设置 i= A(xi),计算cr(k) =ki=1xi A(xi) +Ni=k+1xi A(xi)ki=1A(xi) +Ni=k+1A(xi)4核对是否cr(k) = c,若成立,终止且设置cr(k) = cr,k = R;若不成立,转入第5步5设置c = cr(k)且返回第2步3 WKM算算算法法法(WKM algorithms)在提出WKM算法之前,首先给出两部分预备知识: Newton-Cotes求积公式和CKM算法

18、.3.1牛牛牛顿顿顿柯柯柯特特特斯斯斯求求求积积积公公公式式式(Newton-Cotes quadra-ture formulas)数值积分的特点是以一些离散节点上的函数值f(xi)的线性组合近似估计定积分w baf(x)dx,从而将定积分的计算归结为函数值的计算.定义1(求积公式)假设a = x0 ,设置 (x) = A(x),计算 l =w a x A(x)dx +w bx A(x)dxwa A(x)dx +w bA(x)dx.3核对是否| l| ,设置 (x) = A(x),计算 r =w a x A(x)dx +w bx A(x)dxwa A(x)dx +w bA(x)dx.3核对是否

19、| r| k + 1,设置 i= A(xi),计算cl(k) =ki=1wixi A(xi) +Ni=k+1wixi A(xi)ki=1wi A(xi) +Ni=k+1wi A(xi)4核对是否cl(k) = c,若成立,终止且设置cl(k) = cl,k = L;若不成立,转入第5步5设置c = cl(k)且返回第2步步骤WKM算法计算cr,cr = max i A(xi); A(xi)(Ni=1wixi i=Ni=1wi i)1初始化 i,设置 i = A(xi) + A(xi)=2; i = 1; ;N.计算c=c( 1; N;w1;wN)=Ni=1wixi i=Ni=1wi i:2找到

20、k(1 6 k 6 N 1)满足xk 6 c 6 xk+1:3当i 6 k,设置 i= A(xi);当i k + 1,设置 i= A(xi),计算cr(k) =ki=1wixi A(xi) +Ni=k+1wixi A(xi)ki=1wi A(xi) +Ni=k+1wi A(xi):4核对是否cr(k) = c,若成立,终止且设置cr(k) = cr,k = R;若不成立,转入第5步.5设置c = cr(k)且返回第2步.根据表4和式(12)(14)的关系, TWKM, SWKM和S3/8WKM算法分别以一、二、三阶多项式估计数值积分隶属函数,如第2.1节所解释的,它们是New-tonCotes

21、公式的特例.表3中的CKM算法和表4中的WKM算法在计算区间二型模糊集的质心(完成区间二型模糊逻辑系统质心降型)之间联系为:1) WKM算法基于应用在采用数据xi (i=1; ;N)上的求和运算来计算质心值,且当迭代中止时找到用来估计质心值的最优转折点.而CKM算法用积分运算来计算质心值,且获得区间二型模糊集的准确质心值.在理论上,当采样大小N ! + 1时, WKM算法的解趋于CKM算法.2)对于WKM算法,增加采样值大小N会得到更准确的计算结果.而对于CKM算法,通过设置更小的误差边界可控制两相邻迭代值之差以获得更准确的计算结果.3) WKM算法以求和运算进行数值计算,而CKM算法以求积分

22、运算进行象征性地计算. WKM算法是利用数值积分方法的CKM算法的数值实现.表4 WKM算法的权重赋值方法Table 4 Weight assignment method of WKM algo-rithms算法积分法则权重值KM wi = 1 (i = 1; ;N)TWKM复合梯形法则wi =1=2; i = 1;N;1; i = 1;N:SWKM复合Simp-son法则wi =1=2; i = 1;N;1; i = 1 mod (2); i = 1;N;2; i = 0 mod (2); i = N:S3/8WKM复合Simp-son3/8法则wi =1=3; i = 1;N;2=3; i

23、=1 mod (3); i=1;N;1; i = 2 mod (3); i = N;1; i = 0 mod (2); i = N:注: mod表示求余算子. i = j mod (d)表示i = nd + j,其中n为一个整数.4仿仿仿真真真(Simulation)本节给出3个数值仿真例子.在前两个例子中,FOU是从两条模糊规则中导出且由分段线性函数或高斯隶属函数10,15所限定.在第3个例子中, FOU取成具有不确定标准偏差的高斯二型主隶属函数11.即所研究的二型模糊逻辑系统的FOU在降型前已经被确定.假定主变量x 2 0;10且x被均匀采样,取算法误差边界 = 106.例1 FOU由分段

24、线性函数组成.如图1所示, FOU的上边界是由两个分段线性函数之间取大组成,即u1(x)=x 12 ; 1 6 x 6 3;7 x4 ; 3 7);(17)u2(x)=x 25 ; 2 6 x 6 6;16 2x5 ; 6 8):(18)万方数据1332控制理论与应用第33卷FOU的下边界是由另两个分段线性函数之间取大组成,即u3(x)=x 16 ; 1 6 x 6 4;7 x6 ; 4 7);(19)u4(x)=x 36 ; 3 6 x 6 5;8 x9 ; 5 8);(20)其中符号表示或.图1例1的FOUFig. 1 FOU of example one主变量x的采样点个数N被确定,x1

25、;xN = a;b;xi = x1 + i 1N 1(b a);且N以步长为50从100到2000变化. 4种WKM算法的解模糊化结果在图2(a)中给出,且以WKM算法与CKM算法之间绝对误差jy1 y1j为因变量, N为自变量的函数图在图2(b)中给出.(a)(b)图2例1的计算结果Fig. 2 Computation results of example one例2 FOU由高斯隶属函数组成.如图3所示, FOU的上边界是由两个高斯隶属函数之间取大组成,即u1(x) = exp( (x 3)28 ); (21)u2(x) = 0:8exp( (x 6)28 ): (22)图3例2的FOUF

26、ig. 3 FOU of example twoFOU的下边界是由另两个高斯隶属函数之间取大组成,即u3(x) = 0:5exp( (x 3)22 ); (23)u4(x) = 0:4exp( (x 6)22 ): (24)首先用CKM算法计算出的准确的解模糊化值y2 = 4:420076. 4种WKM算法的解模糊化结果在图4(a)中给出,且以WKM算法与CKM算法之间绝对误差jy2 y2j为因变量, N为自变量的函数图在图4(b)中给出.万方数据第10期陈阳等:基于加权Karnik-Mendel算法的区间二型模糊逻辑系统降型1333(a)(b)图4例2的计算结果Fig. 4 Computat

27、ion results of example two例3 FOU为具有不确定标准偏差的高斯二型主隶属函数.如图5所示, FOU的上边界为高斯函数,即u1(x) = exp 12(x 51:75 )2: (25)FOU的下边界为另一个高斯函数,即u2(x) = exp 12(x 50:25 )2: (26)图5例3的FOUFig. 5 FOU of example three由CKM算法计算出的准确的解模糊化值y3 =4:999996. 4种WKM算法的解模糊化结果在图6(a)中给出,且以WKM算法与CKM算法之间绝对误差jy3y3j为因变量, N为自变量的函数图在图6(b)中给出.(a)(b)

28、图6例3的计算结果Fig. 6 Computation results of example three表5中给出CKM算法计算3个例子的质心区间的左和右质心区间yl和yr的具体迭代结果.表5对3个例子的yl和yr的CKM迭代算法计算结果( = 106)Table 5 Computation results of CKM iteration algo-rithms for three examples of yl and yr( =106)t 0 1 2 3 4 5y1l 4.320794 3.679657 3.661355 3.661338 3.661338y1r 4.320794 4.97

29、5022 4.991388 4.991396 4.991396y2l 4.395260 3.255309 3.156405 3.155741 3.155741y2r 4.395260 5.576350 5.683753 5.684411 5.684411y3l 4.999999 3.819380 3.606842 3.595568 3.595539 3.595539y3r 4.999999 6.180619 6.393158 6.404423 6.404453 6.404453注: t为迭代次数, t = 0代表初始化过程.万方数据1334控制理论与应用第33卷为了再次衡量KM, TWKM,

30、SWKM, S3/8WKM算法在3个例子中的表现,对每个采样值N,定义并且计算相对误差jyi yij/jyij(i = 1;2;3). 3个例子的与采样个数N相关的相对误差平均值在表6中给出,并且表6中最后一行给出每种算法在3个例子下的总平均相对误差平均值.表6当N = 100 : 50 : 2000时,相对误差jyi yij /jyij(i = 1;2;3)的平均值Table 6 Mean relative error jyi yij/jyij(i = 1;2;3)for N = 100 : 50 : 2000算法KM TWKM SWKM S3/8WKM例1 0.00006126 0.000

31、06126 0.00005886 0.00006145例2 0.00124329 0.00109645 0.00109676 0.00112994例3 0.00000086 0.00000086 0.00000086 0.00001125总平均值0.00043513 0.00038619 0.00038549 0.00040088从图2, 4, 6, 8和表6,可得到如下结论:1)观察图2, 4, 6和8, 4种算法的绝对误差都收敛.在例1中, SWKM算法得到最小的绝对误差(变化幅度最大), KM算法和TWKM算法得到几乎相同的绝对误差(变化幅度很小),而S3/8 WKM算法得到最大的绝对误

32、差(变化幅度也较大).在例2中,所有WKM算法的绝对误差小于KM算法,其中TWKM算法和SWKM算法的收敛速度也快于KM算法. TWKM算法和SWKM算法的绝对误差最小(两者几乎相同且变化幅度很小), S3/8 WKM算法的绝对误差居中(变化幅度较大),而KM算法的绝对误差最大(变化幅度最大).在例3中, S3/8WKM算法的绝对误差最大(变化幅度最大),另3种算法的绝对误差较小且几乎相同(变化幅度很小).2)观察表6, KM算法的最大平均相对误差为0.124329%,而WKM算法的最大平均相对误差为0.112994%; KM算法的总平均相对误差为0.043513%,而WKM算法的最大总平均相

33、对误差为0.040088%.3)从1)和2)的分析可知,当选择恰当的WKM算法时,其计算精度和误差稳定性均优于KM算法.为了更好地应用这些算法,下面研究算法的计算时间.与计算解模糊化值不同,算法的计算时间取决于具体的软件和硬件环境,且它们的计算结果是不可重复的.仿真平台为Microsoft Windows XP Profes-sional系统,具有E53002.60GHz和2.00 GB内存的双核CPU的戴尔台式机.算法由MATLAB 2013a编程,图79显示了在采样点个数等于100 : 50 : 2000下的总计算时间.如果不考虑不同的采样个数N对计算时间的波动影响, 4种算法大约随着采样

34、值N的大小变化呈线性方式变化.可取得算法的最小二乘回归模型t = a +bN,其中t为计算时间,回归系数在表7中给出.定义4种算法的计算时间差异率为( maxi=1;4ftig mini=1;4ftig)/ maxi=1;4ftig; (27)其中ti(i = 1; ;4)表示4种算法的计算时间.图7例1的算法运行时间比较Fig. 7 Comparison of run time in example one图8例2的算法运行时间比较Fig. 8 Comparison of run time in example two图9例3的算法运行时间比较Fig. 9 Comparison of run

35、 time in example three从图79和表7可观察到,总体来说, WKM算法的计算速度快于KM算法. 4种算法计算速度的大小关万方数据第10期陈阳等:基于加权Karnik-Mendel算法的区间二型模糊逻辑系统降型1335系为TWKM SWKM S3/8WKM KM:其中TWKM算法的计算速度最快, SWKM算法的计算速度稍快于S3/8WKM算法,这是因为前者的权重分配方法比后者略简单.当采样个数N = 100 : 50 :2000时, 4种算法在所阐述的3个例子下的计算时间差异率为9.24% 92.77%.本文所提出的算法既可用来研究二型逻辑系统的降型又可研究估计理论.如果只考

36、虑计算准确度需求,观察表6中的计算准确度统计,得出SWKM算法是最好的选择.二型模糊逻辑系统的设计过程中需要实时计算且采样率1/N通常是固定的.例1为涉及到线性函数的二型模糊逻辑系统降型,具有如图1所示的FOU.例2和例3为涉及到非线性函数的二型模糊逻辑系统的降型,具有如图35所示的FOU.同时考虑表6中的计算准确度统计和图79,建议对涉及线性函数和非线性函数的二型模糊逻辑系统降型计算使用TWKM算法.估计理论需要得到高精度且采样率1/N是改变的.所以建议使用SWKM算法研究估计理论.表7 4种算法的最小二乘计算回归模型系数Table 7 Compute the regression mode

37、l coefficients by least squre for four types of algorithms回归系数KM TWKM SWKM S3/8WKMa/103 b/103 a/103 b/103 a/103 b/103 a/103 b/103例1 0.0053 0.0641 0.0006 0.2345 0.0020 0.0851 0.0029 0.0028例2 0.0056 0.0160 0.0006 0.1661 0.0020 0.0136 0.0028 0.0837例3 0.0072 0.0244 0.0005 0.1435 0.0019 0.0926 0.0028 0.1

38、123平均值0.0060 0.0242 0.0006 0.1814 0.0020 0.0547 0.0028 0.0663最后需要指出,在KM算法和WKM算法之间的比较上,本文只关注这些算法的理论表现. 3个数值例子可得出,当使用相当的采样点个数时, 3种WKM算法与KM算法相比在计算准确度上有较大的提高.尽管如此,如果准确度需求并不高,简单的KM算法就可以得到足够好的结果,那么WKM算法的优势就无从体现了.5结结结论论论与与与展展展望望望(Conclusion and expectation)文献11比较了离散版本和连续版本的EKM法,而本文比较了离散版本和连续版本的KM算法.当区间二型模糊

39、逻辑系统的输出集的FOU完全确定时,连续版本的KM算法可用来准确地完成该系统的质心降型.结合数值积分技术,利用3种加权分配方法下的估计法则将KM算法扩展成加权KM(WKM)算法. 3个数值例子对4种算法的计算准确度和计算时间进行了分析和说明.在相同的采样率下, WKM算法与KM算法相比具有较小的绝对误差和较快的收敛速度.在以后的工作中,基于本文和文献11,1314,作者将进一步研究利用WKM算法、WEKM算法设计区间二型模糊逻辑系统和普通二型模糊逻辑系统的降型8,16,利用智能优化算法1718完成区间二型模糊逻辑系统和普通二型模糊逻辑系统的优化等.参参参考考考文文文献献献(References

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