2016年江苏省高考理科数学试题及答案.pdf

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1、精心整理数学试题参考公式圆柱的体积公式：V圆柱=Sh，其中 S是圆柱的底面积，h 为高 . 圆锥的体积公式：V圆锥13Sh，其中 S是圆锥的底面积，h 为高 . 一、 填空题：本大题共14 个小题 ,每小题 5 分,共 70 分.请把答案写在答题卡相应位置上。1.已知集合 1,2,3,6,|23,ABxx则=AB_ _. 2.复数(12i)(3i),z其中 i 为虚数单位，则z 的实部是 _ _. 3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173xy的焦距是 _ _ _. 4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是_ _ _. 5.函数 y=232xx-的定义域

2、是 . 6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 . 7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3， 4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷2 次，则出现向上的点数之和小于10 的概率是 . 8.已知 an是等差数列， Sn是其前 n 项和 .若 a1+a22=-3，S5=10，则 a9的值是 . 9.定义在区间 0,3 上的函数 y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点个数是. 10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()xyabab 0的右焦点，直线2by与椭圆交于B，C 两点，且90BFC,则该椭圆的离心率是. (第 10 题) 11.设

3、f（x）是定义在R 上且周期为2 的函数，在区间?1,1)上，,10,( )2,01,5xaxf xxx其中.aR若59()( )22ff，则 f（5a）的值是 . 12.已知实数 x，y 满足240220330 xyxyxy，则 x2+y2的取值范围是 . 13.如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E， F 是 AD 上的两个三等分点，4BC CA，1BF CF， 则B E C E的值是 .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - -

4、 精心整理14.在锐角三角形ABC 中，若 sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是 . 二、解答题（本大题共6 小题，共 90 分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）15.（本小题满分14 分）在ABC中， AC=6，4cos.54BC=，（1）求 AB 的长；（2）求cos(6A-) 的值 . 16.(本小题满分14 分) 如图， 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E 分别为 AB，BC 的中点， 点 F 在侧棱 B1B上，且11B DA F，1111ACA B. 求证：（1）直线 DE平面 A1C1F；（2）平面 B

5、1DE平面 A1C1F. 17.（本小题满分14 分）现 需 要 设 计 一 个 仓 库 ， 它 由 上 下 两 部 分 组 成 ， 上 部 分 的 形 状 是 正 四 棱 锥1111PA B C D，下部分的形状是正四棱柱1111ABCDA B C D(如图所示 )，并要求正四棱柱的高1OO是正四棱锥的高1PO的四倍 . (1) 若16 m,2 m,ABPO则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6m,则当1PO为多少时，仓库的容积最大？18.（本小题满分16 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M:221214600 xyxy及其上一点A(2，4) (1) 设

6、圆 N 与 x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线 x=6 上，求圆N 的标准方程；(2) 设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、 C 两点，且 BC=OA,求直线 l 的方程；(3) 设点 T（t,0）满足：存在圆M 上的两点P 和 Q,使得,TATPTQ,求实数 t 的取值范围。19.（本小题满分16 分）已知函数( )(0,0,1,1)xxf xababab. （1）设 a=2,b=12. 求方程( )f x=2的根 ; 若对任意xR,不等式(2 )f( )6fxmx恒成立，求实数m的最大值；（2）若01,1ab，函数2g xfx有且只有 1 个零点，求ab 的值 . 2

7、0.（本小题满分16 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精心整理记1,2,100U，.对数列*nanN和U的子集T，若T,定义0TS;若12,kTt tt，定义12+kTtttSaaa.例如：= 1,3,66T时，1366+TSaaa.现设*nanN是公比为3 的等比数列，且当= 2,4T时，=30TS. (1) 求数列na的通项公式；(2) 对任意正整数1100kk，若1,2,kT，求证：1TkSa；（3）设,CDCU DU

8、 SS,求证：2CCDDSSS. 数学（附加题）21.【选做题 】本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A 【选修 41 几何证明选讲】 （本小题满分10 分）如图，在 ABC 中， ABC=90 ，BDAC，D 为垂足， E 是 BC 的中点，求证：EDC =ABD . B.【选修 42：矩阵与变换】 （本小题满分10 分）已知矩阵12,02A矩阵 B 的逆矩阵111=202B，求矩阵 AB. C.【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分10 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直

9、线l 的参数方程为11232xtyt（t 为参数），椭圆 C 的参数方程为cos ,2sinxy（为参数） .设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段AB 的长 . D.设 a0，|x-1|3a，|y-2|3a，求证： |2x+y-4|a. 【必做题 】第 22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分.请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.（本小题满分10 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l： x-y-2=0， 抛物线 C： y2=2px(p0). （1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C

10、上存在关于直线l 对称的相异两点P 和 Q. 求证：线段PQ 的中点坐标为（2-p， -p） ；求 p 的取值范围 . 23.（本小题满分10 分）（1）求3467 47CC的值；（2）设 m，nN*，n m，求证：（m+1）Cmm+（m+2）+1Cmm+（m+3）+2Cmm+ n 1Cmn+（n+1）Cmn=（m+1）+2+2Cmn. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精心整理参考答案1.1,22.5 3.2 104.0.1 5

11、.3,16.9 7.5.68.20. 9.7. 10.6311.2512.4,13513.7814.8. 15.解（ 1）因为4cos,0,5BB所以2243sin1cos1( ),55BB由正弦定理知sinsinACABBC，所以26sin25 2.3sin5ACCABB（2）在三角形ABC 中ABC，所以().ABC于是cosAcos(BC)cos()coscossinsin,444BBB又43cos,sin,55BB，故42322cos525210A因为0A，所以272sin1cos10AA因此237 21726cos()coscossinsin.66610210220AAA16.证明：

12、 （ 1）在直三棱柱111ABCA B C中，11/ /ACAC在三角形 ABC 中，因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点 . 所以/ /DEAC，于是11/ /DEAC又因为 DE平面1111,AC F AC平面11AC F精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精心整理所以直线 DE/平面11AC F（2）在直三棱柱111ABCA B C中，1111AA平面 A BC因为11AC平面111A B C，所以111AAA C又因为1

13、11111111111111,ACA BAAABB A A BABB A A BAAA，平面平面所以11AC平面11ABB A因为1B D平面11ABB A，所以111ACB D又因为1111111111111C F,C F,B DAACAA FAACA FAF，平面平面所以111C FB DA平面因为直线11B DB DE平面，所以1B DE平面11.AC F平面17.本小题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分 14 分. 解： （1）由 PO1=2 知 OO1=4PO1=8. 因为 A1B1=AB

14、=6 ，所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积22311111=6224;33VA BPOm柱正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的体积2231=68288.VABOOm柱所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（ m3）. (2)设 A1B1=a(m),PO1=h(m)，则 0h6,OO1=4h.连结 O1B1. 因为在11RT PO B中，222111OBPOPB ，所以222362ah，即222 36.ah于是仓库的容积222311326436, 06333VVVahaha hhhh锥柱，从而222636326 123Vhh. 令0V，得2 3h或2 3h（舍） . 当02 3

15、h时，0V，V 是单调增函数；当2 36h时，0V，V 是单调减函数 . 故2 3h时， V 取得极大值，也是最大值. 因此，当12 3PO时，仓库的容积最大. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精心整理18.本小题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算等基础知识，考查分析问题能力及运算求解能力.满分 16 分. 解：圆 M 的标准方程为226725xy，所以圆心M(6 ， 7)，半径为

16、5,. （1）由圆心在直线x=6 上，可设06,Ny.因为 N 与 x 轴相切，与圆M 外切，所以007y，于是圆 N 的半径为0y，从而0075yy，解得01y. 因此，圆 N 的标准方程为22611xy. (2)因为直线 l|OA ，所以直线l 的斜率为40220. 设直线 l 的方程为 y=2x+m ，即 2x-y+m=0 ，则圆心 M 到直线 l 的距离因为22242 5,BCOA而222,2BCMCd所以252555m，解得 m=5 或 m=-15. 故直线 l 的方程为 2x-y+5=0 或 2x-y-15=0. (3)设1122,Q,.P xyxy因为2,4 ,0 ,AT tTA

17、TPTQ,所以212124xxtyy 因为点 Q 在圆 M 上，所以22226725.xy. 将代入，得22114325xty. 于是点11,P x y既在圆 M 上，又在圆224325xty上，从而圆226725xy与圆224325xty没有公共点，所以2255463755,t解得22 2122 21t. 因此，实数t 的取值范围是2221,22 21. 19 （1）因为12,2ab，所以( )22xxf x.方程( )2f x，即222xx，亦即2(2 )2210 xx，所以2(21)0 x，于是21x，解得0 x.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

18、 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精心整理由条件知2222(2 )22(22)2( )2xxxxfxf x. 因为(2 )( )6fxmf x对于xR恒成立，且( )0f x，所以2( )4( )f xmf x对于xR恒成立 . 而2( )444( )2( )4( )( )( )f xf xf xfxf xf x，且2(0)44(0)ff，所以4m，故实数m的最大值为4. （2）因为函数( )( )2g xf x只有 1 个零点，而00(0)(0)220gfab，所以 0 是函数( )g x的唯一零点

19、. 因为( )lnlnxxg xaabb，又由01,1ab知ln0,ln0ab，所以( )0g x有唯一解0lnlog ()lnbaaxb. 令( )( )h xgx，则22( )(lnln)(ln)(ln)xxxxh xaabbaabb，从而对任意xR，( )0h x，所以( )( )g xh x是(,)上的单调增函数，于是当0(,)xx，0( )()0g xg x；当0(,)xx时，0( )()0gxgx. 因而函数( )g x在0(,)x上是单调减函数，在0(,)x上是单调增函数. 下证00 x. 若00 x，则0002xx，于是0()(0)02xgg，又log2log2log2(log

20、2)220aaaagaba，且函数( )g x在以02x和log2a为端点的闭区间上的图象不间断，所以在02x和log 2a之间存在( )g x的零点， 记为1x.因为01a，所以log 20a，又002x，所以10 x与“ 0 是函数( )g x的唯一零点”矛盾. 若00 x，同理可得，在02x和log 2a之间存在( )g x的非 0 的零点，矛盾. 因此，00 x. 于是ln1lnab，故lnln0ab，所以1ab. 20 （1）由已知得1*13,nnaanN. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

21、 - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精心整理于是当2,4T时，2411132730rSaaaaa. 又30rS，故13030a，即11a. 所以数列na的通项公式为1*3,nnanN. （2）因为1,2, Tk，1*30,nnanN，所以1121133(31)32kkkrkSaaa. 因此，1rkSa. （3）下面分三种情况证明.若D是C的子集，则2CCDCDDDDSSSSSSS. 若C是D的子集，则22CCDCCCDSSSSSS.若D不是C的子集，且C不是D的子集 . 令UECC D，UFDC C则E，F，EF. 于是CECDSSS，DFCDSSS，进而

22、由CDSS，得EFSS. 设k是E中的最大数，l为F中的最大数，则1,1,klkl. 由（ 2）知，1EkSa，于是1133lklFEkaSSa，所以1lk，即lk. 又kl，故1lk，从而1121131133222llkEFlaSSaaa，故21EFSS，所以2()1CCDDCDSSSS，即21CCDDSSS. 综合得，2CCDDSSS. 21A 证明：在ADB和ABC中，因为90 ,ABCBDACA为公共角，所以ADBABC，于是ABDC. 在Rt BDC中，因为E是BC的中点，所以EDEC，从而EDCC. 所以EDCABD. B解：设abBcd，则1110120102abB Bcd，精品

23、资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精心整理即1110220122acbdcd，故1121022021acbdcd，解得114012abcd，所以114102B. 因此，151121440210102AB. C 解 ： 椭 圆C的 普 通 方 程 为2214yx， 将 直 线l的 参 数 方 程11232xtyt， 代 入2214yx， 得223()12(1)124tt，即27160tt，解得10t，2167t. 所以1216|7ABt

24、t. 21D.证明：因为|1|,|2|33aaxy所以|24| |2(1)(2)| 2|1|2|2.33aaxyxyxya22.解： （1）抛物线2:y2(0)Cpx p的焦点为(,0)2p由点(,0)2p在直线:20lxy上，得0202p，即4.p所以抛物线C 的方程为28 .yx（2）设1122(x ,y ),(x ,y )PQ，线段 PQ 的中点00(x , y )M因为点 P 和 Q 关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ, 于是直线 PQ 的斜率为1，则可设其方程为.yxb由22ypxyxb消去 x 得2220(*)ypypb精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

25、 - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精心整理因为 P和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以12,yy从而2(2 )4( 2)0ppb，化简得20pb. 方程（ *）的两根为21,22ypppb，从而120.2yyyp因为00(x , y )M在直线l上，所以02.xp因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).pp因为M(2,).pp在直线yxb上所以(2)bpp，即22 .bp由知20pb，于是2(22 )0pp，所以4.3p因此p的取值范围为4(0,).323.解： （1）3467654765474740.32 1432 1CC（2）当 nm时，结论显然成立，当nm时又因为122112,mmmkkkCCC所以2221(1)(1)(),km 1,m+2,n.mmmkkkkCmCC，因此精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -