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1、A卷北京科技大学 20152016学年度第一学期概率论与数理统计试题答案及评分标准一填空题(每小题3 分,共 15 分)1. 设事件A和B中至少发生一个的概率为56,A和B中有且仅有一个发生的概率为23,那么A和B同时发生的概率为。2. 从1,2,3,4中 任 取 一 个 数 记 为X, 再 从1,XL中 任 取 一 个 数 记 为Y, 则2P Y。3. 设An是n次独立试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则对于任意的0,limAnnPpn。4. 设X服从区间0,(0)上的均匀分布,12,nXXXL是来自该总体的样本, 则的矩估计量$。5. 设12,1,nXXXnL是来自
2、正态总体2,N的样本,1111niiiXXk为总体参数的无偏估计量,则k填空题答案: 1.16 2.1348 3.0 4.2X 5.21n二选择题(每小题3 分,共 15 分)1设0.6,0.8,0.8P AP BP B A,则下列结论中正确的是。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页,共 14 页 - - - - - - - - - - (A)事件,A B互不相容(B)事件,A B互逆(C)事件,A B互相独立(D )AB2设,X Y是两个随机变量,则下列命题正确的是。(A),X Y不相
3、关,X Y不相互独立(B),X Y相互独立,X Y不相关(C),X Y不相关,X Y相互独立(D ),X Y相关,X Y相互独立3. 设,X Y是相互独立的随机变量, 其分布函数分别为XFx和YFy,则max,ZX Y的分布函数是。(A)max,zXYFzFzFz(B)zXYFzFz Fz(C)max,zXYFzFzFz(D )zXFzFz4. 设总体2,XN:,与2均未知,123,XXX是一个样本,则非统计量的是。(A)12313XXX(B)123max,XXX(C)123min,XXX(D )12321XXX5. 设对正态总体的数学期望进行假设检验,如果在显着性水平0.05之下接受零假精品
4、资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页,共 14 页 - - - - - - - - - - 设00:H,那么在显着性水平0.01下,下列结论成立的是。(A)必须接受0H(B)可能接受也可能拒绝0H(C)必须拒绝0H(D )不接受也不拒绝0H选择题答案: 1.C 2.B 3.B 4.D 5.A三 (本题 12 分)在次品率为16的一批产品中,任意抽取300 件产品,其中次品的数量记作X。(1)写出X的分布律,数学期望EX及方差DX;(2)k取何值时,概率P Xk最大?(3)利用切比雪夫不等式估
5、计次品数在40 到 60 之间的概率;(4)利用中心极限定理计算次品数在40 到 60 之间的概率。已知1.550.939,51.293。【 解 】 (1)3003003005,0300.6kP Xkkk( 2 分)X服从 二项 分布1300,6B,12550,3EXDX。 (2 分) 。(2)令1300151P XkkP Xkk,解得2956k(1 分) 。因此,P Xk在49k时单调上升,在50k时单调下降,因此50k时最大( 2 分) 。(3)由切比雪夫不等式有2125/ 37501011012PX(2 分) 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -
6、欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页,共 14 页 - - - - - - - - - - (4)由中心极限定理,40505060504060125/3125/3125/ 3XPXP(1 分)501.551.5521.5510.878125/ 3XP(2 分) 。四 (本题 12 分)在某次实验中需要测量某物体的质量。一组测量结果如下(单位:g) 8.6 8.5 8.9 8.4 8.4 8.7 8.8 8.3 8.8。均值和方差分别记作和2。问题: (1) 求均值的置信区间,置信度为0.95;(2)是否可以认为物体的质量是8.2g?显着性水平0.05; (3)是
7、否可以认为物体的质量8.2?显着性水平0.05。已知数据:0.051.65z;0.0581.860t;0.0591.833t;0.05101.813t;0.0251.96z;0.02582.306t;0.02592.262t;0.025102.228t;0.0450.212。解:构造t统计量3XtS,则8tt(2 分) 。简单计算得到8.6X,20.045S。 (2 分)(1)置信度为0.95,则0.02582.306t,置信区间为0.02588.437,8.7633SXt。 (2 分)(2)作双边检验01:8.2,:8.2HH, (1 分)拒绝域为0.02582.3063XttS, (1 分
8、)本题5.662.306t,因此不接受零假设0H,不能认为物体的质量是08.2(1 分) 。(3)作单边检验01:8.2,:8.2HH, (1 分)拒绝域为0.0581.8603XttS, (1 分)本题5.661.860t,因此拒绝原假设0H,认为物体的质量8.2。 (1 分)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页,共 14 页 - - - - - - - - - - 五 (本题 12 分)设总体X分布在闭区间0,(未知)之上,总体的概率密度函数正比于随机变量的值。(1)求总体的概率密度
9、函数;(2)求未知参数的矩估计量;(3)求未知参数的极大似然估计量。【解答】(1)由题设,0Xfxkxx(2 分) ,因此2012kkxdx(1 分) ,因此22k,概率密度函数为22,0Xfxxx(1 分) 。(2)20223EXxxdx(2 分) ,令XEX(1 分) ,解得$32X(1 分) 。(3)似然函数为212nniniLx,1maxii nx(2 分) 。可见当1maxii nx时,L取得最大值,因此极大似然估计量$maxiX(2 分) 。六 (本题 12 分)设随机向量,X Y分布在正方形0,10,1上,其概率密度函数为,32fx yAxxy,0,1x y。(1)求A及概率1P
10、 XY;(2)求,X Y的边缘分布密度函数;(3)求条件密度函数X Yfx y;(4)X与Y是否独立?为什么?精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页,共 14 页 - - - - - - - - - - 解答: (1)0,131322x yAxxy dxdyA(2 分) ,因此23A。11010,11221323233xx yxyP XYxxy dxdyxdxxy dy12304739xxdx(2 分)(2)10223231 ,0133Xfxxxy dyxxx。 (2 分)1022321
11、,0133Yfyxxy dxyy。 (2 分)(3)232,323,01,012113X YYxxyfx yxxyfx yxyfyyy(3 分)(4)不独立,因为,X YXYfx yfx fy(1 分) 。七 (本题 14 分)设连续型随机变量X的分布函数是01FxABx2222xxx,问:(1),A B各是多少?(2)X的概率密度是什么?(3)证明:随机变量YX服从0,2上的均匀分布。(4)设随机变量sinZX,计算DZ。【解】 (1) 由于2 02 0lim1, lim0 xxF xF x(1 分) , 所以2021ABAB, 解出得到11,24AB(1 分) 。(2)在22x时,124x
12、Fx,所以概率密度函数14fxFx(1 分) 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页,共 14 页 - - - - - - - - - - 在2x和2x时,0fxFx(1 分) 。(3)当0y时,0YFy,因此0Yfy。当2y时,1YFy,因此0Yfy。 (1 分) 。当02y时,FyP YyPXyPyXy2y(3 分) ,于是,12fyFy(1 分) 。综上,随机变量YX服从0,2上的均匀分布( 1 分) 。(4)由于2,2XU,因此,221sin04EZxdx(2分) ,222222
13、11sin42DZEZEZEZzdz(2 分) 。八 (本题 8 分)将 4 个红球, 8 个蓝球, 5 个绿球随机地排成一行。(1)前五个球为蓝色的概率有多大?(2)前 5 个球中没有蓝色球的概率有多大?(3)最后三个球为三种不同颜色的概率有多大?(4)所有红球连在一起的概率有多大?【解】 (1)4351285485171352221C C CpC C C(2)8451295485171359442C C CpC C C(3)37414114485171356417C C CpC C C(4)18514135485171351170C C CpC C CC卷精品资料 - - - 欢迎下载 -
14、 - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页,共 14 页 - - - - - - - - - - 北京科技大学 20152016学年度第一学期概率论与数理统计试题答案及评分标准一填空题(本题每小题3 分,共 15 分)1. 甲乙射击一个目标,甲命中的概率是0.6 ,乙命中的概率是0.7 ,两人同时各射击一次,目标被命中的概率是。2. 若 服从0,5上的均匀分布,那么方程24420 xx有实根的概率是。3. 若二维随机变量,X Y在以原点为圆心的单位圆内的概率密度为1,其它区域都是0,那么12P X。4. 设n是n次独立试验中事
15、件A出现的次数,p为A在每次试验中出现的概率, 则对任意的0,有limnnPpn。5. 若$12,都是参数的无偏估计量,且$12DD,这时我们通常称统计量$1比$2。答案: 1.0.88 2.0.6 3.2334 4.0 5.有效二选择题(本题每小题3 分,共 15 分)1. 设事件,A B,则P AB。(A)P AP B(B)P AP AB(C)P AP BP AB(D)P AP BP AB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页,共 14 页 - - - - - - - - - - 2.
16、 已知,X Y是相互独立的随机变量, 同分布于标准正态分布。 有人作出如下四个论断:(1)XY服从正态分布,但是XY不服从正态分布;(2)XY服从标准正态分布;(3)XY与XY是不相关的;(4)XY与XY是相互独立的。在这四个断言中,正确断言的个数是。(A)1 (B)2 (C)3 (D)43. 设12,nXXXL相互独立,且同分布于标准正态分布, 下列随机变量中服从2分布的是。(A)12nXXXL(B)212nXXXL(C)22212nXXXL(D )22212nXXXL4. 设12,nXXXL是来自某总体的一个样本,下面统计量中可以作为总体均值的无偏估计量的是。(A)12nXXXL(B)12
17、nXXXnL(C)121nXXXnL(D)12nXXXnL5. 设,X Y是相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,XYFxFy,则max,ZX Y的分布函数是。(A)ZXYFzFz Fz精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页,共 14 页 - - - - - - - - - - (B)max,ZXYFzFzFz(C)max,ZXYFzFzFz(D)1max,ZXYFzFzFz答案: 1.B 2.B 3.D 4.B 5.A三、 (本题 10 分)若221,3,2,4XNYN,且,X Y相
18、互独立,问:(1),X Y的相关系数是多少?( 2)aXbY服从什么分布?其均值、方差分别是多少?这里,a b是常数,220ab。 (3),a b满足什么条件时,随机变量aXbY与XY是独立的?或者说明不可能相互独立?【解答】 (1)由于,X Y相互独立,因此相关系数是0(2 分) 。(2)aXbY应服从正态分布( 1 分) ,其数学期望是2E aXbYaEXbEYab(1分) ,方差是D aXbY22916D aXD bYab(2 分) 。(3) 由于aXbY与XY都服从正态分布,因此只需要相关系数为零就是相互独立的,这只需要它们的协方差等于零 即可(2分) 。由于cov,916aXbY X
19、YaDXbDYab。 (1 分)因此,当169ab时,aXbY与XY相互独立。 (1 分)四 (本题 12 分)若一正方形的边长是随机变量X,服从区间0,1上的均匀分布。(1)求面积S的分布密度; (2)计算概率1 114 82P SS。【解答】 (1)由于正方形面积为2SX,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页,共 14 页 - - - - - - - - - - 当01s时,分布函数20sSFsP SsPXsP Xsdxs(3 分) ,分布密度函数12SSfsFss(1 分) ;当
20、0s时,分布函数0SFsP Ss,分布密度函数0SSfsFs; (1 分)当1s时,分布函数1SFsP Ss,分布密度函数0SSfsFs。 (1 分)因此,S的概率密度函数为1, 0120,0,1Ssfssss。 (1 分)(2)1 111111,1 114 8284482111114 8211828228PSSPSPSSPSPS。 (2+3分)五 (本题 12 分)设随机变量,X Y相互独立,且它们的概率密度函数分别为12, 020,0,2Xxfxxx,,00,0yYeyfyy,试求: (1),X Y的联合概率密度与联合分布函数;(2)XY大于 1 的概率; (3)XY的数学期望与方差。【解
21、答】 (1)概率密度函数为1,02,02yfx yexy(1 分) ,联合分布函数11122000222112200011, 02,0,1,2,01xyxtyyxyyytydse dtedsxexyF x yfs t dsdtexydse dteds(2+2分) 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页,共 14 页 - - - - - - - - - - (2)11111,x yP XYPXYfx y dxdy(1 分)11110001111111222xyxdxedyedxe。 (1
22、+1分)(3)2012xEXdx,01yEYye dy(1 分) ,222204111233xDXEXEXdx,22201211yDYEYEYy e dy(1 分) 。2E XYEXEY(1 分) ;由于,X Y相互独立,43D XYDXDY(1 分) 。六 (本题 12 分)罐子中有两只白球,一只黑球,从中随机摸出一只,观察颜色后放回罐中,并同时再放入一只同一颜色的球。问: (1)第二次摸出白球的概率是多少?(2)连续摸出三个白球的概率是多少?(3)若第二次摸出白球,判断第一次更有可能摸出哪种颜色的球?( 4)若首次摸出白球时的摸球次数记做X,求X的分布律以及数学期望。【解答】用,iiW B
23、分别表示第i次摸出白球和黑球。(1)由全概率公式21211212 31 223 43 43P WP WP W WP BP W B。 (1+1 分)(2)由乘法公式1231213122 3 423 4 55P WW WP WP W WP W WW。 (1+1 分)(3)由贝叶斯公式12P W W121121121P WP W WP WP W WP BP WB2 333 42 31 243 43 4,12P B W121121121P BP WBP BP W BP WP W W1 213 42 31 243 43 4, (2+1 分)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -
24、- - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页,共 14 页 - - - - - - - - - - 因此,第一次更有可能摸出的是白球。(4)分布律为111 21243 41212kkkPXkP BBWkkk kkLL,1k(2 分) 。111411111444 lim212121222kkkkEXkk kkkkkkk。 (1+2分)七 (本题 12 分)设总体X的概率密度为1,00,0 xexfxx,0。今从总体中抽取10 个个件,得到数据如下: 1050,1100,1080,1200,1300,1250,1340,1060,1150,1150。 (1)试
25、分别用矩估计法和极大似然估计法估计参数的值; (2)上述你使用的估计量是否为无偏估计量?为什么?【解答】 (1)矩估计法,首先计算总体X的一阶矩得到01xEXxedx(1 分) ,令样本均值等于一阶矩,得到121010 xxxL(1 分),因此的矩估计量为1210?10XXXL。 (1 分)极大似然估计法,似然函数为10111010111;iiixxiiL xee(1 分) ,对数似然函数为1011ln10lniiLx,令ln0dLd(1 分) ,解得101110iix(1 分) ,因此的极大似然估计量为1210?10XXXL。 (1 分)又样本均值为 1168,故此的矩估计值和极大似然估计值
26、都是1168.(1 分)(2)由于121012101?1010XXXEEEXEXEXLL, (2 分)因此上述估计都是的无偏估计。(2 分)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页,共 14 页 - - - - - - - - - - 八 (本题 12 分)一批元件,从中随机抽取25 只,测得平均寿命为950小时。若已知该种元件寿命服从标准差为100小时的正态分布。(1)求这批元件寿命的置信区间,置信度取为0.95; (2)若产品寿命不低于1000 小时为合格,为检验这批元件是否合格,需要
27、做什 么 样的 零 假 设和 备 择 假 设 ? 检 验 结果 如 何 ?显 着 性 水 平 为0.05。 已 知:0.10.050.0251.28,1.64,1.96zzz。【解答】 (1)总体服从正态分布, 方差已知为22100,样本容量为 25,置信度为0.95的置信区间是0.025Xzn(4分) ,代入数据得到0.0251009501.96910.8,989.25Xzn。 (2 分)(2)零假设和备择假设为:01:1000,:1000HH(2 分) 。总体服从正态分布,方差已知为22100,显着性水平为0.05,选择检验统计量0XZn( 1 分),其拒绝域为1.64zz( 1 分),代入数据得到检验值为95010002.51.6410025z(1 分) 。因此拒绝零假设,认为这批元件不合格。(1 分) 2020-2-8精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页,共 14 页 - - - - - - - - - -
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