基于速度协调法的齿轮碰撞动力学分析-刘富豪.pdf

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1、第30卷第3期 振 动 工 程 学 报 V0130 N。32017年6月 Journal of Vibration Engineering Jun2017基于速度协调法的齿轮碰撞动力学分析刘富豪k2，张 亮1，蒋汉军1，翁燕祥3，陈 俐2(1盐城工学院汽车工程学院，江苏盐城224051；2上海交通大学振动、冲击、噪声国家重点实验室，上海200030；3杭州前进齿轮箱集团股份有限公司，浙江杭州311203)摘要：建立了基于速度协调法的齿轮副碰撞动力学模型，提出了针对该模型的“碰撞”数值算法，讨论了系统在不同参数激励下的动力学特性。采用经典龙格库塔法进行了AdamsMatlab联合仿真，证明了该算

2、法的精确性和有效性，并利用该算法计算系统周期解对应的离散状态转移矩阵，进而求得了Floquet乘子，并借此判断了系统周期解的稳定性。研究结果表明：在相同速度波动量的条件下，齿轮系统动态误差、相对速度和加速度与主动轮的转速成正比；系统输入转速决定了系统周期解的稳定性，在不同转速下系统出现不同周期的运动，甚至出现混沌；拖力矩的出现打破了系统运动的对称性，使得系统由双边碰撞转变为单边碰撞，从而在某种程度上降低了系统的振动和噪声；另外，系统周期解的稳定性对拖力矩非常敏感，在拖力矩较小时，系统不受速度波动量和拖力矩波动量的影响，始终处于不稳定状态。关键词：非线性振动；碰撞；齿轮系统；速度协调法；数值计算

3、中图分类号：0322；THl3241 文献标志码：A 文章编号：10044523(2017)03036711DOI：lO16385icnkiissn10044523201703004引 言齿轮传动系统作为各种工业设备中应用最广泛的动力和运动传动装置，其工作过程中产生的振动和噪声是造成机器设备动态性能恶化的最重要因素。因此，齿轮传动系统的动力学研究一直都是国内外专家学者关注的问题。变速箱振动和噪声产生的主要原因是动力传动系统存在着较明显的扭矩波动。目前，绝大部分文献在建立变速箱系统模型时，把模型的输入扭矩考虑成傅立叶级数形式的扭矩波动函数，即扭矩协调系统模型1。5。但在具体的试验中，真实的发动机

4、扭矩波动往往是很难通过机械拆装和安装扭矩传感器得到，并且额外安装扭矩传感器又会影响整个传动系统的动力学特性。另外，国内外一些学者认为齿轮系统中的振动和噪声来自于传动过程中轮齿在齿侧间隙内的弹性碰撞和油膜厚度的急剧变化。Singh建立了齿轮系统“振一冲”模型，并给出了发生Rattle噪声的判据3屉71。冯奇和温建民建立了单级和多级齿轮随机振动模型用以分析其复杂动力学行为289。刘富豪等建立了双边油膜变化机理模型用以描述齿侧内油膜阻尼随温度和转速的变化规律，研究结果表明随着拖力矩的增大，啮合背面油膜对系统振动的影响有所降低1“”。同时还研究了齿轮系统在恒激励和变化激励情况下齿面摩擦对于齿轮系统动力

5、学的影响13，以及齿轮系统m。161和齿轮箱系统17201减振降噪的方法。在对齿轮非线性系统求解方法上国内外学者也进行了大量的研究：如谐波平衡方法621|，增量谐波平衡法脾，龙格库塔法啪，伪不动点追踪法241以及多重网格技术2争2 6|。尽管这种“弹性冲击模型”构成了齿轮系统间隙非线性动力学问题的基础，但是齿轮的振动和噪声多发生在空载和轻载状况下的，此时齿轮动态传动误差很小(o110弘m)，这就增大了求解的精度和难度。虽然一些碰撞模型通过引入一个碰撞系数描述能量的损失来解决此类问题2 7I，但是目前研究很少将碰撞理论应用到齿轮系统的动力学研究中来。同时，尽管从理论上来说采用变步长算法可以准确地

6、找到碰撞点，然而却存在精确定位碰撞点的问题。为了找到碰撞点，变步长算法必须采用越来越小的步长。收稿日期：2016-0201；修订日期：20170329基金项目：国家自然科学基金资助项目(51305378)；江苏省汽车工程重点实验室开放基金资助项目(QC201306)；中国博士后科学基金资助项目(2016M590643)；江苏省科技厅产学研联合创新资金资助项目(BY201505725)万方数据368 振 动 工 程 学 报 第30卷然而对于黏动状态来说，数值仿真步长不可能完全缩减至零，这不但大大地降低了计算的效率，而且对计算精度也有一定的影响。因此，本文针对于以上两个方面问题，以主动轮转速作为系

7、统输入参数28-293，将碰撞理论引入到齿轮系统中来建立齿轮碰撞动力学模型。同时，提出了针对于齿轮碰撞系统的求解算法，验证了本文算法的正确性，并将该算法和Floquet理论相结合分析了输入物理量数值大小及其变化对齿轮系统振动和噪声的影响以及系统周期解的稳定性。1 系统动力学模型以一对标准啮合的齿轮为研究对象，假定齿轮传动轴和支撑轴为刚性轴，采用集中质量法将其简化为图1的数学模型，主、从动齿轮的转动惯量和角位移分别为J鲫和0鲫，主动轮以转速(以)带动从动轮(以)转动从动轮的拖力矩为L。图1齿轮副Fig1 Gear pairs如图2所示，本文齿轮副系统还包含一个齿侧间隙L，在轮齿啮合面和非啮合面上

8、的油膜刚度和油膜阻尼分别为志。：和c。齿轮的相对运动决定了碰撞振子的动力学行为。图2啮合区局部放大图Fig2 Partial enlarged drawing of meshing zone在此结构中，齿侧间隙的存在可以将整个运动过程分为3种运动状态：a)从动轮在齿侧间隙内自由运动，即相对滑动状态b)主从动齿轮啮合轮齿上的碰撞；c)主从动齿轮相对速度为零，即黏动状态。由于发动机在运行过程中因缸内气体的燃烧爆发、活塞的往复运动以及曲柄连杆机构的旋转运动而导致了发动机扭矩呈现周期性变化，从而使发动机运转不平衡，即主动轮输人转速表现出相应的速度波动，因此主动轮输入转速可以表示为傅里叶级数，即钆()一

9、口。+璐cos(如+似) (1)式中 毋。为输入角速度的平均值，或为输入角速度的波动部分第i阶的幅值，识为第i阶的幅值所对应的初相位，叫为激励力频率叫一N。案 (2)式中 N。为发动机缸数。根据振动力学可知，从动轮在受到阻力矩的情况下也发生同频率的波动，即t(f)一亍。+一Tip cos(joot+庐，) (3)J=1式中 L为外载荷的平均值，吃为外载荷的波动部分第J阶的幅值，壬j为第歹阶幅值所对应的初相位。11相对滑动时系统动力学方程在无碰撞的时刻，系统的动态传动误差为z(f)一Rpop()一R909() (4)式中R船为主从动轮的基圆半径；以从动轮轮齿在啮合线上的相对位移为广义自由度，根据

10、达朗贝尔原理建立该齿轮系统动力学方程I。(f)一R。(cl+c2)主()一R。(忌l+h2)z()一一T。() (5)等式(5)左右两边同除以j。，得巩()一舀()一如()一一T。一T，cos(jmt) (6)=1式中c=R。(c1+c2)I。，k=R。(足1+h2)I。，T。一T辨fl g莉T名一T0I g o对于特定的时刻t。，从t。时刻到t时刻，对公式(6)进行积分，可以得到相应的从动轮的角速度和角位移：以()一钆(o)一T。At+fz()一z(。)一善争sin(训_sin(jcot o)+万方数据第3期 刘富豪，等：基于速度协调法的齿轮碰撞动力学分析 369心x(to)阳虿At诎等(7

11、)以()一以(。)+以(。)+c譬主(岛)+确。)警卜T。等+志争础。)+礼。)了At+等H蓦烈亟警剑式中 e为碰撞系数田1，e。为非常小的正实数。13黏动时系统动力学方程根据其实际物理意义，处于黏动状态时系统的动力学方程可以描述为sin(jaJt o)AtJ (8)式中At=tt。同理，从t。时刻到t时刻，分别对式(1)进行积分和求导，可以得到相应的主动轮的角位移和角加速度：0p()一0p(o)+，。At+善等sin(如)一sin(西。) (9)巩()一一蛳叫sin(wt) (10)将公式(1)，(6)，(7)，(10)带入公式(4)，可得齿轮系统在无碰撞时的动态传动误差为z()一z(o)+

12、主(o)At+R，瓢堂譬产盟-COS(如t o)At一R。一T。等+c At2 Ix(+确。，等+妻孥坐丝三竺玉丝+sin(如门+惫l歹L 歹 。-J矗等胁m)了At相西At2)(11)进而可以求出齿轮系统动态传动误差的相对速度和相对加速度：主()一主()+Rp毋；cos(矗ot)一cos(如ot。)一Rg一T。At+C Ex()一z(to)一善若smu“)_sin(如“)+卜)+确。)虿AtkAt +确。)等At(12)z(o)+主(。)百+星(o)_星()=一Rp )一ROifioosin(ioot R止舀()+z()=一Rp )一。()+如()一丁。一T；cos(riot) (13)J=

13、112碰撞时系统动力学方程若齿轮系统发生碰撞，则有1 z()1时，系统的动力学方程为：z(t+m)一z()z(t+m)一一e2C()z(f+f)一z(f)一L2。此(14)(15)(16)lrL1一百，主(z)-x(t)一o (17)厶2数值计算方法在整个计算过程中，系统所允许的最大步长定义为At。；一tcN (18)式中t。一2n肠为一个激励周期，N为初始分辨率。在碰撞时，传动误差可以表示为z(o+At。)一等sign(x(o) (19)式中 At。一t：一t。为碰撞时间间隔。若sign(二z(t。)0，则表示碰撞发生在轮齿的正面，此时，从动轮在主动轮的推动下转动；若sign(x(o)L2。

14、此时应该按照公式At；=At：一At： (23)缩小滑动步长，系统以滑动步长，重新计算公式(11)(13)。将以上过程重复50次以缩减滑动步长，但仍然无法满足条件时，此时系统发生黏动现象。根据其物理意义，可以定义：r z(zo+，)一詈sign(z(o) (24)厶z(o+At，)一0 (25)；(岛+At，)一0 (26)如果是。出。(如图3所示)，则用出；作为下一个步长去计算下一次的相对位移与速度。同样，这时要对z(n+1)进行判断，如果x(t。+At：)IL2+e，则证明这里的相对位移x(t。+At。)已经超出了精确范围，这时就需要减小出i，来保证精确到允许的误差范围内。AtiAt。一A

15、t； (27)图3碰撞时系统所需步长Fig3 Time step when impact happen以公式(27)中的t。为步长，重新计算z(o+t。) 与 三 (。+A t。)。 如果此时z(。+A t：)fL2+e，重复公式(27)，直到A tiL2+e时，实际计算出来的。可能会小于系统设定的最小时间步长出。这主要是由于两个原因造成的：第一，系统最小步长太大，应该缩小最小步长；第二，该处的传动误差初值本身位于碰撞区域内，因此应该缩小小量s，同时系统步长设定为最小步长以计算下一时刻的传动误差和相对速度。若公式(11)不满足z(。+t：)JLZ+，但满足z(+At。i。)L2一，则说明系统发

16、生碰撞。若公式(11)不满足z(如+t，)IL2 + ， 也不满足z(岛+At。i。)lLZ一，说明系统没有碰撞。由于在实际物理系统中碰撞前后两相对位移点相等，因此在碰撞前系统的传动误差和相对速度定义为rX(to+Ati)一詈sign(z(o) (28)厶立(o+At。)一主(o+Ati) (29)z(o+At，)一z(o+At。) (30)为保障系统在碰撞前后，其相对位移值相等，这里引入一个时间小量，即碰撞时间常数e出，使得系统以e&为步长，即toto+em (31)在经过一个非常小时间。后，碰撞完成。碰撞后的系统传动误差和相对速度定义为x(to+s出)=sc(to) (32)z(o+m)一

17、一红(o) (33)72(fo+&)=z(o) (34)如图4所示为用于计算M个激励周期的程序流程图。在其整个运算过程中，若t。M*t,C则终止运算，即可得到M个周期的传动误差，相对速度和图4用于计算M个周期的程序流程图Fig4 Flowchart for M periods万方数据第3期 刘富豪，等：基于速度协调法的齿轮碰撞动力学分析3周期解的稳定性系统的非线性决定了多个稳态周期解在空间状态中同时存在的现象，为了研究碰撞振动系统的周期运动的稳定性，将上述算法延续求得各参数下系统周期解及其对应的离散状态转移矩阵，由离散状态转移矩阵的特征值求得相应的Floquet乘子口“30 313。首先，建立

18、Poincar6映射，取碰撞后瞬间为Poincar6截面：三一I(z，主，)lz一6，主一z+，则Poincar6映射P就是三上的点到自身的映射P一三一三 (35)在适当的参数条件下，振子的运动将具有周期性。如果1个无量纲周期内，存在，z个激励周期，相图轨迹线环绕P次围成封闭曲线，k次碰撞后，系统运动重复，称为周期矿pk运动，其应满足条件z，主，r+2nn一PD(z，主，r) (36)实际计算中，系统的周期运动如果是稳定的，则通过数值迭代后，会渐进稳定到周期解，如果是不稳定的，基于本文计算方法，可以确定系统在黏滑碰撞过程各阶段的时间。首先，令z。和主。为齿轮系统周期解的初始值，则有zoz(0)

19、一x(nt。)，主。一Jr(o)一主(咒。)(37)令z手一zo+e1，zzo一1分别为zo的正、反方向的扰动，立于一主。+。，X。o一主。一e。分别为主。的正、反方向的扰动，这里e。和e：为一小量。考虑4个不同初值的受扰运动，初值分别为：(x0+，主。)，(z丁，5C。)，(z。，主+)，(z。，主一)。积分一个周期内的受扰运动，从而可以得到一个周期扰动后的运动为(z：，主。)，i一1，2，3，4。这样就得到一个可确定在一个周期内始末的扰动关系式中E一G匡； (38)厂(z1一z 2)(2e1) (z 3一z 4)(2e 2)，、I(zlz 2)(2s1) (z 3一z 4)(2e 2)l由

20、离散状态转移矩阵G的特征值求得相应系统的Floquet乘子。设IAI为Floquet乘子模的最大值，根据Floquet理论3 0。32，周期解稳定性及失稳分岔方程的判据如下：若I A11时，系统有不稳定的周期解；若l AI一1时，周期解处于临界状态。4 分析结果基于上述模型和数值计算方法，通过数值算例分析系统参数对于系统非线性动力学的特性的影响，系统参数如表1所示。表1齿轮参数Tab1 Gear parameters41结果验证为了验证本文算法仿真结果的正确性，对图1进行AdamsMatlabSimulink联合仿真建模(如图5所示)。图6为联合仿真计算结果，整个计算过程共需548 S，采用R

21、KF45定步长算法，其步长为0000001 s。图7为采用本文计算方法仿真结果，整个过程仅需要0260729 S。由于齿隙的存在，系统需经过若干次的碰撞才可以进入稳态过程(黏动状态)。同时在系统初始时刻，由公式(1)可知系统输入速度为0。，从动轮的初始速度为零，因此，系统在初始时刻表现出了较大的冲击，如图6(b)和图7(b)所示。另外，由于系统中存在黏动状态，因此对于RKF45算法来说，任何小的步长都不能准确地表忡s-u叫U To Workspac圮Mux 忡SC Soflw叶 DemllxAdams模型印AM町outo叫巫堕国仿真时间T To Workspace图5 AdamsMatlabS

22、imulink联合仿真模型Fig5 Collaborative model of AdamsMatlabSimulink示系统在碰撞时的加速度，因此图6(c)中相对加速度出现了“突变”。图7(c)为经本文算法得到的相万方数据振 动 工 程 学 报 第30卷餐每靛昌罂一餐e曩曼r旋住 U。|IJO 05 10 15 20 25 30 35 40无量纲时间(tI)图6 RKF45算法仿真结果Fig6 Results obtained by the RKF45 method蜊删口目靛罂400200020040015 20 25 3O 35 40无量纲时间(t)无量纲时间(t)图7本文算法仿真结果Fi

23、g7 Results obtained by the method in this paper对角速度，其趋势和公式(16)和(17)描述一致。图8和9分别为采用RKF45算法和本文算法所得到的一个稳态周期内的传动误差的无量纲相对位移，相对速度和相对加速度。从图8中可以看出，系统在黏动状态是发生了高频小振幅振动，这与实际物理系统不符。仿真发现RKF45计算步长对这些小振幅高频振动影响甚大：步长越小，这些小振幅振动频率越高，振幅越小。因此本文数值算法既可以避免传统算法因步长选择不合适所带来的计算问题，又提高了计算的精度和速度。42动力学分析图10和11分别为在空载情况下，系统输入转速为80和60

24、0 rmin时，齿轮副系统相对传动误差、相对速度和相对加速度的时间历程曲线。其中，渣蠢要限髫e餐曼罂120404123 32 34 36 38 40无量纲时间(ttc)3 32 34 36 38 40无量纲时间(t)I I|。一l IIlll“”7734 36 38 40无量纲时间(ttc)图8 RKF45算法结果局部放大图Fig8 Partial enlarged drawing for Fig7饕e喜曼器图9本文算法结果局部放大图Fig9 Partial enlarged drawing for Fig8速度波动量为a=c，。毋。一01。从图10和11可以看出，整个运动过程中，系统无黏动现

25、象。并且系统在空载荷的情况下，碰撞发生在啮合面和非啮合面上的次数相等，其时间历程曲线均表现出较好的对称性，即：齿轮副在轮齿的啮合面和非啮合面动力学行为相似。另外可以看出，齿轮副在啮合面和非啮合面来回碰撞，没有啮合过程。当毋。一80 rmin时，在无量纲时间05处出现了一个轻微的振动，如图10(a)中A键头所示。这是由于油膜刚度和阻尼的存在，系统的冲击能量不足以克服油膜的作用，碰撞的动能一部分转换为润滑油的内能(热能)，相对速度和相对加速度也在此处表现出了一个相对独立的波动，如图10(b)和(c)所示，系统表现出运动的不平顺性。当毋。一600 rrain时，由于速度波动部分，一60 rrain较

26、大，因此系统的传动误差表现出了较强的振动，并且振动的速度和加速度的峰值2442lOO173浍迥晤唰恨l5O5lnmmnOO一一s8一螂删灰罢244210Ol一73蹲掣幂唰恨OO0O0加加一f_III一越嘲莨罢万方数据第3期 刘富豪等：基于速度协调法的齿轮碰撞动力学分析 373一一渣魁露面醯】帐剑一淄一m蓑曼罂02O10O1O2无量纲时间(ttc)(a)无量纲位移(a)Dimensionless displacement0 05 10 15 20 25 30 35 40无量纲时间(tt)(b)相对速度Co)Relative velocity0 05 10 15 20 25 30 35 40无量纲

27、时间(tI)(e1相对加速度(c)Relative acceleration图10 p。，一80 rrain时的时间历程曲线Fig10 Time histories when毋。，一80 rrain淤蠢要限餐；霞g罂一世一瑙一m喜点霉OO0O无量纲时间(ttc)(a)无量纲位移(a)Dimensionless displacement0201001020无量纲时间(ft。)(b)相对速度(b)Relative velocity无量纲时问(ff)(c)相对加速度(c)Relative acceleration图11以一600 rmin时的时间历程曲线Fig1 1 Time histories w

28、hen c，。一600 rrain有所增大，如图11所示。并且，在图11出现了更多的高频振动，此时齿轮系统多发生白噪声。图1215展示了系统在空载，低速转动和小波动(口一002)时，齿轮副系统所表现的非线性超谐振动特性：系统由周期54-4运动(140rmin)变为周期5-6-6运动(150 rmin)，再由周期586运动(160 rmin)进入复杂的混沌状态(220 rmin)。另外，经计算系统在转速为140 rrain，150 rmin和160 rmin时，系统的Fluqet乘子分别为045344，025069和184613。可见，尽管在整个周期运动过程中系统始终保持5倍超谐振动，但是周期解

29、的稳定性对转速非常敏感。12彗一08枣是0圜1。一04限 一081264飘一460 1 2 3 4无量纲时间(tt。)(a)无量纲位移(a)Dimensionless displacement12 08 04 0 04 08无量纲位移)(b)相图Co)Phase diagram12图12以=140 rmin时的无量纲位移和相图Fig1 2 Dimensionless displacement and phasediagram when口。=140 rmin12登一08露寒0蚓。一04限 一0812餐；薹5O500510 1 2无量纲时间(tf。)(a)无量纲位移(a)Dimensionless

30、 displacement12 08 04 0 04 08 12无量纲位移&)(b1相图CO)Phase diagram图13口。一150 rmin的无量纲位移和相图Fig1 3 Dimensionless displacement and phasediagram when，卅=150 rmin图16和17分别在图11的基础上，恒定阻力矩T。为50和100 N1Tim时，齿轮副系统动态传动误差，相对速度和相对加速度的时间历程曲线。对比图11和16，不难发现在恒阻力矩的作用下，系统的对称性被打破。尽管系统在非啮合面上的振动相对速度要大于啮合面上的振动速度，但是啮合面一_一15051nmmnOO

31、一一昌一巡幽茛罂万方数据374 振 动 工 程 学 报 第30卷稔毯器咖瞅簧；靛吕罂一图Fig渣魁器咖1限15l0500 5115无量纲时间(tt)(a)无量纲位移(a)Dimensionless displacement12 一O8 04 0 04 08无量纲位移&工)(b)相图(b)Phase diagram1214既一160 rmin的无量纲位移和相图14 Dimensionless displacement and phasediagram when毋。一1 60 rmin餐；靛巨罂一12080400408一12无量纲时间(tt)(a)无量纲位移(a)Dimensionless dis

32、placement无量纲时间(ttc)(b)相图(b)Phase diagram图15 0。一220 rmin的无量纲位移和相图Fig1 5 Dimensionless displacement and phase diagramwhen 0。一220 rmin上的碰撞次数要远大于非啮合面上碰撞次数：碰撞主要发生在啮合面，如图16(b)所示。齿轮副系统在啮合面上发生若干次的碰撞后进人黏动状态，系统的相对加速度呈现突变，如图16(c)所示。并且，由于齿隙的存在，齿轮副存在脱齿现象。这一现象表现为齿轮副脱齿后进入啮合状态时，要在啮合面上会产生碰撞回弹。这是因为由于碰撞系数e30 Nmm)时，系统在

33、拖力矩方向上呈现交替失稳现象，这也增加了对于齿轮系统非线性动力学研究的难度。另外，当T。一100 Nmm，p=10和p一105时，系统处于稳定区域。当口一11时，齿轮副系统处于不稳定状态，因此系统具有较强的振动和噪声，这和图18描述一致。对比图19(a)和(b)不难发现，在速度波动时，若丁。：533536Lu Jianwei，Shen Bo，Qian LijunAn analysis on theabnormal noise of gear box based on gear nonlinear dynamieFJAutomotive Engineering，2007，29(6)：533536

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39、维持方法P中国：CNl04696425A，201518刘富豪，徐进，蒋汉军导向减振双点支撑固定式变速箱安装架P中国：CNl04696426A，201519刘富豪，于学华，张海涛串联减振板式安装的汽车变速箱减振装置P中国：CNl04696406A，2015203刘富豪，翁燕祥，宋斌，等基于液压悬置的齿轮箱用减振安装架P中国：CNl04819244A，2015211 Kahraman A，Singh RInteractions between time-varying mesh stiffness and clearance non-linearities in ageared systemJJo

40、urnal of Sound and Vibration，1991，146(1)：13515622杨绍普，申永军，刘献栋基于增量谐波平衡法的齿轮系统非线性动力学J1振动与冲击2005，24(3)：4042Yang Shaopu，Shen Yongjun，Liu XiandongStudy oncomplex nonlinear dynamics of rigid rotor bearing systernJJournal of Vibration and Shock，2005，24(3)：40一4223王立华，李润方，林腾蛟，等齿轮系统时变刚度和间隙非线性振动特性研究J中国机械工程，2003，

41、14(13)1 11431146万方数据第3期 刘富豪，等：基于速度协调法的齿轮碰撞动力学分析 377Wang Lihua，Li Runfang，Lin TenjiaoResearch onnonlinear vibration characteristics due to time-varyingmesh stiffness and gear backlash in gear systemJChina Mechanical，2003，14(13)：11431146241郜志英，沈允文，李素有，等间隙非线性齿轮系统周期解结构及其稳定性研究J3机械工程学报，2004，40(5)：17 22Gao

42、 Zhiying，Shen Yunwen，Li Suyou，et a1Research on the periodic solution structure and its stability of nonlinear gear system with clearanceJChineseJournal of Mechanical Engineering，2004，40(5)：1 72225王优强，杨沛然，佟景伟，等渐开线直齿圆柱齿轮非稳态热弹流润滑分析J机械工程学报，2004，40(9)：10一1526271Wang Youqiang，Yang Peiran，Tong Jingwei，et a

43、1Transient thermo elastohydrodynamic lubricantion analysis of an involute spur gearJJournal of Vabration Engineering，2004，40(9)：10一15王优强，衣雪鹃，杨沛然渐开线直齿轮瞬态微观热弹流润滑分析J机械工程学报，2008，43(11)：142148Wang Youqiang，Yi Xuej uan，Yang PeiranTransientthermal microelastohydrodynamic lubrication analysisof an involute

44、spur gearJ 1Journal of Vabration Engineering，2008，43(11)：142148Smith CE，Liu P PCoefficients of restitutionJJournal of Applied Mechanics，1992，59(4)：96397228刘富豪，蒋汉军，刘绍娜一种测量齿轮传动误差的方法P1中国：CNl03698124A，2014291 Liu F，Zhang L，Yu XStability investigation of velocity-modulated gear system using a new computa

45、tional algorithmJNonlinear Dynamics2017，DOI：101007s11071一017-3504330郜志英，沈允文，董海军，等齿轮系统周期运动稳定性研究J中国机械工程，2005，16(9)：757760Gao Zhiying，Shen Yunwen，Dong Haij un，et a1Research on stability of periodic Motion of gear systemsJChina Mechanical，2005，16(9)：75776031李同杰，朱如鹏，鲍和云，等行星齿轮传动系的周期3233343运动及其稳定性J振动工程学报，2

46、013，26(6)：815822Li Tongjie，Zhu Rupeng，Bao Heyun，et a1Coexisting periodic solutions and their stability of a nonlinearplanetary gear trainJJournal of Vibration Engineering，2013，26(6)：815822Wang F LResearch on the stability of a rotor systembased on mechanics properties with application of floquet theoryJAdvanced Materials Research，20 1 3，676：141144Burton T AStability&Periodic Solutions of Ordinary&Functional Differential EquationMNewYork：Academic Press，2014Brown B M，Eastham M S，Schmidt K MPeriodicDifferential OperatorsMSpringer Basel，20