基于kpca和wphm的滚动轴承可靠性评估与寿命预测-王奉涛.pdf

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1、第37卷第3期201 7年6月振动、测试与诊断Journal of Vibration。Measurement&DiagnosisV0137 NO3Jun2017基于KPCA和WPHM的滚动轴承可靠性评估与寿命预测“王奉涛， 陈旭涛， 柳晨曦， 李宏坤， 韩清凯， 朱 泓(大连理工大学机械工程学院 大连，116024)摘要 为了评估滚动轴承的可靠性和预测剩余使用寿命，选取能够反映性能退化过程的特征参数作为寿命预测模型的输入参数。提出一种基于核主元分析(kernel principal component analysis，简称KPCA)和威布尔比例故障率模型(Weibull proportio

2、nal hazards model，简称WPHM)的方法。首先提取滚动轴承全寿命周期的时域、频域及时频域等多特征参数，从中筛选出有效的特征参数，构建高维相对特征集；其次。进行核主元分析，选取能够反映轴承全寿命周期性能退化过程的核主元，进而作为WPHM的协变量来进行可靠性评估和剩余寿命预测。通过滚动轴承全寿命试验，验证了该方法能够对轴承进行准确的可靠性评估和剩余寿命预测，以提供及时的维修决策。同时，由于提取的是相对特征，降低了同种轴承间在制造、安装及工况的差异，增强了该方法的适用性和稳定性。关键词滚动轴承；寿命预测；核主元分析；威布尔比例故障率模型；相对特征中图分类号THl653；THl7引 言

3、滚动轴承是旋转机械的关键组成部件之一，其性能的好坏直接影响整台机器能否正常运转。在滚动轴承发生损毁之前，对轴承进行主动维修保养可以有效避免恶性事故的发生，最大程度地减少生命财产损失】。有效的维修策略不仅可以减少停机次数和降低维修成本，而且可以保障整个设备的正常运行2_3。若要根据设备的实时状态做出正确的维修决策，准确寿命预测所提供的依据不可或缺。对设备进行准确的寿命预测主要面临两个关键问题：a建立合适的寿命预测模型；b选取能够准确反映性能退化过程的特征参数作为模型输入参数。随着信息新技术的发展，基于状态监测的轴承寿命预测方法成为国内外研究的热点口。其中比例故障率模型(proportional

4、hazards model，简称PHM)b J是一种适用性很强的寿命数据统计分析方法。它对数据分布、残差分布均无特殊要求，且可以对截尾数据进行分析，属于一种根据设备状态监测和历史寿命等数据信息建立失效模型的建模方法，在设备寿命预测领域有强大的发展。丁峰等61将基于设备振动信号的均方根值(root mean square，简称RMS)和峭度作为协变量，利用布尔比例故障模型(Weibull proportional hazards，简称WPHM)实现了对铁路机车轮滚动轴承的可靠性评估。Zhang等一_基于依赖分析和比例故障率模型，对固体润滑轴承建立有效的加速寿命试验模型。Zhang等凹j通过混合威

5、布尔比例故障率模型，来预测含有多个失效形式的机械系统的剩余使用寿命(remaining useful life，简称RUL)。以往的研究大多是针对运行状态信息直接进行时域统计分析，然后从中选择一个或多个时域特征建模。然而单个特征或单域特征存在评估能力不足的问题，无法准确表征轴承性能退化全周期过程，严重影响可靠性评估和寿命预测的准确性。而时域、频域、时频域等多域特征虽然能够综合地表征全周期轴承的性能退化过程，但特征过多时存在冗余性，而WPHM的协变量越多，模型的参数估计越困难，因此直接代人多域特征作为WPHM协变量进行寿命预测不太现实。因此，有效剔除对反映故障特性贡献不大、甚至不敏感的特征，并降

6、低特征间的相关性，减少信息冗余，选取准确表征轴承性能退化过程的特征作为协变量对轴承寿命预测至关重要。* 国家自然科学基金资助项目(51375067)；航空科学基金资助项目(20132163010)收稿日期：201612-30；修回日期：2017-0315万方数据第3期 王奉涛，等：基于KPCA和WPHM的滚动轴承可靠性评估与寿命预测477主元分析(principal component analysis，简称PCA)，作为一种线性降维方法，广泛应用于提取特征集的主要信息，但复杂工况下故障机械的振动信号是非平稳和非线性的9。Scholkopf等1 o提出的KPCA作为一种非线性分析方法，通过非线

7、性映射将原始数据投影到一个特征空间，然后进行主元分析，从而得到具有更好可分性的非线性主元1“，该方法目前已在过程监控和故障诊断中得到越来越多的关注和成功的应用。李巍华等1纠提出基于核函数主元分析的齿轮故障诊断方法，将非线性主元作为特征子空间对齿轮工作状态进行分类识别。Iee等1胡基于KPCA提出了一种新的非线性过程监测技术。He等141从测量信号的统计特征中提取低维主元来表征和监测齿轮箱的状态。针对WPHM在选取协变量方面的不足，笔者选取降维后能充分表征轴承性能退化全周期过程的前3个核主元作为WPHM的协变量，来进行可靠性评估和剩余寿命预测。通过滚动轴承全寿命试验，验证了该方法能够对滚动轴承进

8、行准确的可靠度评估和剩余寿命预测，为设备主动维修提供重要的依据。由于提取的是相对特征，降低了同种轴承间在制造、安装及工况的差异，增强了该方法的适用性和稳定性。1 理论基础11核主元分析KPCA的基本思想是利用映射函数将原始数据空间投影到特征空间，再进行线性运算。具体算法如下。1)对原始数据空间R进行非线性映射：RF。原始数据X。(尼一1，2，N)在特征空间F的像为西()(kl，2，N)，设西(x；)已去均值，即N西()一0，则垂(x。)的协方差为k一1一N_sT一丙1(耽)垂T(耽) (1)。k=12)矩阵S，对应的特征方程为；tgSTV (2)其中：A为特征值；V为特征向量。将西(瓢)与式(

9、2)作内积得A西(瓢)V一(x女)S_rV (是=1，2，N)(3)3)特征向量V可由垂(工，)线性表示NV一以，西(x，) (4)其中：a，为相关系数。将式(4)代入式(3)得志善n，鳓t蚤西(即鳓(一Anj(工；)(工，) (5)4)定义矩阵KRNN，令KijEq(x：)(而)，式(5)可以表示为NitKa=KKa，即N2a Ka：由特征向量a求出lsr的特征向量V，得到映射空问F的主元方向。对K对角化，A。A：A。A表示K的特征值，n。，a2，n。，nN为对应的特征向量。设A。为大于零的最小特征值，对特征向量进行归一化，令(vT，V。)一1(i一1，2，p) (6)5)计算m个测试样本在

10、特征空间中前P个轴的投影为西(y。)，西(j7：)，西(y。)V1，V2，Vp一K。Eal，a2，np一PR“ (7)其中Kt。：一Ea,(J7)国(工，)N。N一是(y女，x，)N。N一降(y1，x1) k(yl，zN)： ： l愚(y。，x1) 尼(y。，xN)l对映射数据进行中心化，相应K变为KKZNKKN+lvKlN (8)其中：lN为系数为1N的NN阶单位矩阵。用K代替式中的K即可中心化。定义累计贡献啦一A，A： (9)其中：乡为输入向量空间维数；仉为前p个核主元的累计贡献率。其阈值可以设置为85，90或95。一般情况下，只要累计贡献率达到85，前几个主元就包含了足够多的原始特征集的

11、信息。本研究设置为8512“。当qp85时，选取前P个特征值所对应的特征向量为投影方向。选用高斯函数尼(x,y)=exp掣)16|，其中盯2为自变量，表示核的宽度，可由核函数参数优化方法获得1 7|。12 WPHM模型PHM建立了设备运行状态特征与可靠度之间的数学关系，根据当前实时运行状态特征，得到当前万方数据478 振动、测试与诊断 第37卷状态的故障率。采用基底函数为威布尔分布的PHM为WPHM，其故障率函数为h(f，z，)一卫f1川exp(仁，) (10)1t、t|；其中：p0为威布尔分布形状参数；r0为威布尔分布尺度参数。z，一I-z。，z：，z。1是由协变量构成的列向量，其协变量是时

12、变性的，选取的协变量能否准确反映性能退化过程关乎模型的准确性。y一y。，y：，y，。为对应协变量的回归参数构成的行向量。如果降维后的核主元能充分表征轴承性能退化全周期过程，即可作为WPHM的协变量。可靠性函数和概率密度函数分别为R(f，z，)一exp ll h(f，z，)dt (11)厂(f，z，)一h(t，z，)R(t,Zt)一卫f1 r1ll、llexp(忙，)explI h(，z，)dt (12)极大似然估计广泛用于估计WPHM的未知参数。在实际中，一个机械设备有时会运转直至失效，有时会在失效前进行维修，因此数据常常包括失效时间和删失时间。为同时处理这两类数据，似然函数定义为L(fl，r

13、ly)一厂(f，z，)IIR(，z，)(13)其中：”为失效样本个数为删失样本个数。将式(11)和式(12)代到式(13)中，其对数似然函数可化简为lnL c阳=rn(号)+耋n(号)川+，一h(s，z。)ds (14通过牛顿迭代法可以得到估计的卢，叩和y。然而，牛顿迭代法对初值要求比较严格，并且当协变量个数增加时，待估参数随之增加，极大似然估计的复杂性增加，因此采用NelderMead-8迭代算法来近似地估计这些参数。对于一个工作中的轴承，当时间T的可靠度值R(T，z。)降低到可靠度阈值时，认为轴承失效。失效时间分别定义为T(R。)一inf丁：R(T，zr)R。，T0)(15)其中：R。为失

14、效阈值。剩余寿命误差定义为 Ef毕f100。if0(16)其中：T。为预测的剩余寿命；To为实际剩余寿命。2 方法步骤本方法的具体流程如图1所示。图l方法流程图Fig1 Flowchart of the proposed method具体步骤如下。1)选择特征参数：从训练轴承寿命周期数据中提取全寿命周期的时域特征、频域特征和时频域特征参数，从中筛选出能反映轴承性能退化过程的特征参数，构成特征向量。2)构建高维训练相对特征集：提取训练轴承的寿命周期样本点，构建相对高维训练特征集。3)KPCA降维：对高维训练相对特征集进行KPCA降维。选取累计贡献率大于85的核主元和对应的特征向量。4)验证轴承性

15、能退化趋势：构建高维试验相对特征集，通过特征向量映射，得到试验轴承的核主元，验证其能否能够充分表征轴承性能退化过程，若满足，即HJ将核主元作为WPHM的协变量。5)估计模型参数：将训练轴承的核主元作为WPHM的协变量来估计模型的未知参数。6)评估可靠性和预测剩余寿命：将试验轴承的核主元作为WPHM的协变量来进行可靠性评估和剩余寿命预测。万方数据第3期 王奉涛，等：基于KPCA和WPHM的滚动轴承可靠性评估与寿命预测4793协变量选取方法31滚动轴承试验台介绍本研究中滚动轴承全寿命周期试验数据由美国辛辛那提大学智能系统维护中心(IMS)中心提供193。全寿命周期试验台装置如图2所示。加速度传感器

16、径向载荷 热电偶(a)轴承试验台 (b)传感器放置示图(a)Bearing test rig (b)Sensor placement illustration图2试验台和装置示意图Fig2 Bearing test rig and sensor placement illustration在同一轴上安装有4个Rexnord ZA一2115滚动轴承，由直流电机通过皮带联接驱动，轴转速始终保持在2krmin，轴和轴承共同承受来自弹簧机构施加的2667kN径向荷载。在油反馈管道安装有磁性螺塞，收集润滑油的碎屑用以验证轴承的性能退化。系统电器开关关闭由磁性螺塞所吸附的金属碎屑量决定，随着轴承性能不断退

17、化，当吸附的碎屑量达到预先设定的阈值，数据采集工作便停止。每个轴承的水平方向和竖直方向各装一个PCB 353833加速度传感器。振动信号通过美国国家仪器(NI)公司的DAQCardTM_5052E数据采集卡每20 min采集一次，采样率为20kHz，采样点数为20 480个点。试验结果如表1所示。表1试验结果Tab1 Test resultsa为内环故障；b为滚动体故障c为外环故障以3号轴承(试验1)数据作为试验轴承，其他7个轴承(试验1和试验2)数据作为训练轴承。32滚动轴承性能退化高维特征集构建针对7个训练轴承的寿命周期数据，提取各自的时域、频域及时频域等70多个特征参数2”2“。如果直接

18、对这70多个特征参数进行核主元分析，由于包含大量冗余信息及无用信息，降维后前3个核主元的累计贡献率很低，包含的有用信息较少。为使前几个核主元包含尽可能多的信息，须在进行核主元降维前，保证各维度信息有效性的条件下尽量减少维度。首先，对每个特征绘制随时间变化的全寿命特征图，剔除不能反映退化过程的特征，例如均值、偏斜度等；然后，针对功能或意义相似的特征，通过对比剔除反映性能退化过程效果相对差的特征，例如小波包归一化能量谱与经验模态分解(empirical mode decomposition，简称EMD)归一化能量谱对比，剔除EMD归一化能量谱等。得到如下11个最能反映轴承性能退化过程的特征参数：1

19、)时域包含均方根值、峭度、峰峰值及峰值因子；2)频域包含频谱均值、频谱方差及频谱均方根值；3)时频域包含3层小波包分解的第3频带归一化小波包能量谱(B)和第7频带归一化小波包能量谱(E，)，以及第3频带样本熵(S。)和第7频带样本熵(S，)。考虑到各个轴承制造、安装和实际工况的差异，即使是处于同一工作环境下的同型号轴承，特征参数存在一定的差异。以时域特征参数为例，对18号轴承，各自提取正常工作期内一段趋势平稳的时域特征参数，然后求取平均值，如图3所示。15菩彗05彗Ol 2 3 4 5 6 7 8 l 2 3 4 5 6 7 8(a)时域一均方根值 (b)时域一峰峰值(a)Time domai

20、nRMS (b)Time domainPeakpeak value耋|臣习耋iE圣由图3可以明显看出，8个轴承平稳期的时域参数有很大差异。例如图3(a)中，1号轴承正常工作期的平均均方根值为0154，而5号轴承正常工作期的平均均方根值为0077。为了降低轴承问特征参数的影响，需要对轴承特征参数进行标准化。首先，选取正常期内一段趋势平稳的特征参数，将该巧加M加：兮OOOOO暑罨彰忙婴万方数据振动、测试与诊断 第37卷段平均值定为标准值；然后，计算原始特征参数与标准值之比，得到相对特征参数。对7个训练轴承，每个轴承取100个样本点(每个轴承根据其全寿命过程，选取能反映寿命过程的100个点)，共计7

21、00个样本点，构成最终的70011(1l为特征参数个数)的高维训练相对特征集。-x：=璺血瓷露对于试验轴承，全寿命周期共有2 152个采样点，构成2 15211的高维试验相对特征集，如图4所示。其中：(a)(d)为时域特征；(e)(g)为频域特征；(h)(i)为小波包第3，7频带归一化能量谱；(j)(k)为小波包第3，7频带样本熵；(1)表示全寿命周期轴承数据采集连续情况，间断点为空数据，在此时间内未进行数据采集。8牛6蓦4彗20td tid tfd t|d(a)时域均方根值 (b)时域一峰峰值 (c)时域一峭度值 (d)时域一峰值因子(a)Time domain-RMS (b)Time do

22、mainpeakpeak value (c)Time domain-kurtosis (d)Time domainpeak factor0 10 20 30 40td(e)频域一频谱均值(e)Frequency domainspectrum meantd(i)时频域一丘i)Timefrequency domainEtdm频域一频谱方差(f)Frequency domainspectrum variance苦磊冀05td(j)时频域Sj)Timefrequency domain-S1101051OOO 95O 9043昌210ta t沁(g)频域频谱均方根值 (h)频域一E3(g)Frequen

23、cy domain- (h)Timefrequency domainE3spectrum RMS(k)时频域一S(k)Timefrequency domainS图4高维试验相对特征集Fig4 High test relative feature set33滚动轴承核主元的性能退化评估分别对特征参数未相对化的高维训练绝对特征集和特征参数相对化的高维训练相对特征集进行核主元分析(仃一57)，前3个核主元的特征值和累计贡献率如表2所示。表2核主元分析结果对比Tab2 The results of KPCA参数 高维训练绝对特征集高维训练相对特征集由表2可见，直接对高维训练绝对特征集进行td(I)数据

24、采集时间分布(1)The time of data collection分析，由于轴承制造、安装和工况差异引起数据离散较大，造成前3个核主元的累计贡献率明显低于高维训练相对特征集累计贡献率，即前者降维效果低于后者，因此选择高维训练相对特征集进行核主元分析。选取前3个核主元特征值对应的特征向量组成投影空间，对高维试验相对特征集进行中心化后投影，得到高维试验相对特征集的核主元。为验证核主元分析效果，将高维试验相对特征集第1至第3核主元投影到三维空间，第1和第2核主元投影到二维空间，分别如图5所示，图中点的位置信息如表3N示。试验轴承的第1核主元KPC。的贡献率为6324，包含了高维试验相对特征集的

25、大部分信息，因此在图5中可以区分轴承性能退化过程的各个阶段；第2核主元KPC。和第3核主元KPC。的贡万方数据第3期 王奉涛，等：基于KPCA和WPHM的滚动轴承可靠性评估与寿命预测481表3点的位置信息Tab3 The point messages期间 点 时间a 特点01769正常工作期。，s。zs。拿茎萼薹蚕数比较平稳处磨损中期 V sst。st-z雾算墓雷羿弄薹嘉蓍昊振急剧后期 34113417蒿墨昊域继续增大，振动急U山2015 ro101005 LU厶譬0 l一005一010LO1Fig50769dl 7 69-2899d2899-3 105d3105-32 53d32533334

26、d33343349d3349-34I 1d341l-3417d哩沁，r订荀畜气面j6KPCI(a)前3核主元三维空间投影(a)The first three KPCs projection0 01 02 03 04 05 06KPCI(b)第1和第2核主元二维空间投影(b)1st KPC and 2nd KPC projection图5核主元投影Kernel principal component proj ection献率分别为1747和849，包含了高维试验相对特征集的少部分信息，因此能区分轴承性能退化的部分阶段。从图5中可以清晰区分出正常工作期、早期故障期、磨损中期和急剧后期，其中经常忽

27、略的恢复期也能在图5中清晰识别。此外，随着时间变化，数据点总体上有明显的趋势走向规律，且变化过程比较平滑。为与WPHM常规协变量进行对比，将试验轴承全寿命周期的均方根值和峭度投影到二维空间，如图6所示。从图中可以看出：均方根值虽然能够区分正常工作期、早期故障期、磨损中期和急剧后期，但其仅是时域中的一个特征参数，从包含的特征信息量上来看，远没有核主元包含的信息多，稳定性远低于核主元；峭度值仅对早期故障期区分比较明显，无法区分轴承性能退化过程的其他阶段，且早期故障数据变化范围非常大且随时间不停振荡；而在磨损中期和急剧后期只是比正常工作期略微增大，更适合作为早期故障预警的重要指标，而不能反映性能退化

28、的过程。80 o1769d70 1 7，692899d60 L 28993105d，。50 描10533-32端531羹40 潞334934-33川49dd30鎏 越ii二捌稍烈0I! 壁 ：012 014 016 018 020 022 024 026 028 030均方根值图6均方根值、峭度投影Fig6 RMS and Kurtosis projection相比前3个核主元包含了时域、频域、时频域的绝大部分信息，同时在变化趋势方面，图5的数据点变化比图6更加平滑，轴承性能退化过程总体趋势走向更加明显。比如在31053334 d的早期故障期，由于峰峰值、峭度值及峰值因子等变化范围非常大(图4

29、)，故图5中早期故障期数据点有相对明显的偏移，但相对图6变化趋势更平滑、偏移更小。又如33493417 d的磨损中期和急剧后期，图5数据点的总体趋势走向比图6更加明显。整体上来说，随着时间的变化，图5的数据点过渡比图6更加平滑，偏移更小。综上，由于前3个核主元包含时域、频域及时频域绝大部分信息，且兼顾非线性成分，样本点间偏离性相对较小，数据点有明显的趋势走向，因此选择能充分表征轴承性能退化过程的前3个核主元作为WPHM模型的协变量来建立模型更加稳定可靠。4剩余寿命预测41可靠性评估将高维训练相对特征集中核主元的各轴承全寿肺肼会|ommo仫。OOOOO，mm加坩mm坩95349，79053411

30、人823344923333336r995349ir69053478，2334O233333万方数据482 振动、测 试 与 诊断 第37卷命数据和删失数据带入式(14)中，求解模型未知参数的估计值，如表4所示。表4 WPHM参数Tab4 Parameters 0f WPHM参数 p 口 y1 )，2 弘估计值1072 3 3624 75261642 30884 7将高维试验相对特征集的核主元带入式(11)计算可靠度，如图7所示。图7全寿命周期可靠度Fig7 The reliability of lifetime由图7可以看出，在正常工作期可靠度的下降速度基本保持不变。早期故障期的下降速度开始增

31、大，磨损中期和急剧磨损期的下降速度急剧增大。由于模型中的协变量是时变性的，任一时刻的可靠度都由历史数据的累积计算得到，不会因为某时刻采集数据突变而突变(如恢复期)，其可信度高于那些仅仅与当前时间有关计算得到的可靠度模型。从可靠度下降趋势变化就能准确区分轴承性能退化的状态。42剩余寿命预测为了验证剩余寿命预测方法的准确度，需设置可靠度阈值。它一般由统计学经验设定。由于式(11)中协变量是时变性的，且e_1为特征寿命心“，由图7可以看出，急剧后期的可靠度值在e_1左右。因此可靠度阈值R。，设置为e 1。当然，定义的可靠度阈值并非恒定的，需要依据历史数据的可靠度和设备维修经验来适当的调整。针对试验轴

32、承，不同退化时期共取4个时间点，预测其剩余寿命，结果如表5所示。依据式(16)得到对应的误差率，如图8所示。可以看出，正常工作期的剩余寿命预测值与真实剩余寿命差别很大，这是因为轴承产生损伤是偶发性的，正常期各项特征处于正常范围内，协变量预测趋势呈线性，以至于正常期的预测误差较大。随着步人早期故障，新退化特征的累积，协变量的预测曲线会越来越准确，剩余寿命预测值也越来越接近真实的剩余寿命，到磨损中期的33986 8 d的误差率为984(即准确度为1 984一9016)。结果表明，提出的寿命方法可以准确地预测轴承的剩余寿命，以便及时提供有效的维修决议。表5剩余寿命预测Tab5 RUL predict

33、ion测试项 正常工作期 早期故障期 磨损中期120100摹80藕60嗤402001 2566139 1 984一30944 4 31965 2 33035 4 33986 8td图8剩余寿命预测误差度Fig8 The error percent of RUI，predict ion5 结 论1)基于相对多特征的核主元分析方法，降维后的核主元能够充分表征轴承性能退化过程。2)以包含多域信息的核主元作为WPHM协变量，能够准确预测轴承的剩余寿命，及时提供有效的维修决议，极大地优化了WPHM协变量选取的方法。3)相对特征降低了轴承制造、安装和实际工况差异的影响，大大增强了该方法的适用性和稳定性。增

34、加新的训练轴承全寿命数据不会引起数据离散，且对新的监测样本求取相对特征，映射后带入模型即可求取可靠度和剩余寿命，为维修计划提供有力的支持。参 考 文 献1郭红内外膜独立供油径推联合浮环轴承性能分析与实验研究D上海：上海交通大学，20092 Wei Guo，Peter WA novel signal compression method based on optimal ensemble empirical mode decomposition for bearing vibration signalsJJournal ofSound and Vibration，2013，332(2)：4234

35、41万方数据第3期 王奉涛，等：基于KPCA和WPHM的滚动轴承可靠性评估与寿命预测 483345673891011Cong Feiyun，Chen J in，Dong Guangming，et a1Vibration model of rolling element bearings in a rotorbearing system for fault diagnosisJJournal ofSound and Vibration，2013，332(8)：20812097张小丽，陈雪峰，李兵，等机械重大装备寿命预测综述l-J机械工程学报，201 1，47(11)：100116Zhang Xi

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44、incipal component analysis and its applicationin fault diagnosisJChinese Journal of MechanicalEngineering，2004，50(3)：123129(in Chinese)17王新峰，邱静，刘冠军核主元分析中核函数参数选优方法研究J-1振动、测试与诊断，2007，27(1)：6264Wang Xinfeng，Qiu Jing，Liu GuanjinThe study onthe parameter selection of kernel function in kernelprincipal co

45、mponent analysisJJournal of Vibration，Measurement&Diagnosis，2007，27(1)：6264(in Chinese)18Lagarias J，Reeds J，Wright M，et a1Convergenceproperties of the NelderMead simplex method inlow dimensionsJSociety for Industrial and AppliedMathematics Journal on Optimization，1998，9(1)：11214719Qiu Hal，Lee J A Y，

46、Lin Jiang，et a1Wavelet filterbased weak signature detection method and its application on rolling element bearing prognostics VJJournal of Sound and Vibration，2006，289(4-5)：1066109020Wang Fengtao，Sun Jian，Yan DawenA feature extraction method for fault classification of rolling bearing based on PCAJJ

47、ournal of Physics：ConferenceSeries，2015，628(1)：l 721苏文胜，王奉涛，朱泓，等基于小波包样本熵的滚动轴承故障特征提取J振动、测试与诊断，2011，31(2)：162一166Su Wensheng，Wang Fengtao，Zhu Hong，et a1StudY on the feature extraction of rolling element bearingfault based on wavelet packet sample entropyJJournal of Vibration，Measurement&Diagnosis，2011，31(2)：162166(in Chinese)22Williams T，Ribadeneira X，Billington S，et a1Rolling element bearing diagnostics in run-to-failure lifetime testingJMechanical Systems and Signal Processing，2001，1j(5)：979993232张志华可靠性理论及工程应用M北京：科学出版社，2012：910凰 第