基于hub er的高阶容积卡尔曼跟踪算法-张文杰.pdf

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1、物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 8 (2016) 088401基于Huber的高阶容积卡尔曼跟踪算法 张文杰1)王世元1)y冯亚丽1)冯久超2)1)(西南大学电子信息工程学院,重庆400715)2)(华南理工大学电子与信息学院,广州510641)(2015年9月16日收到; 2016年1月5日收到修改稿)为改善高阶容积卡尔曼滤波算法的滤波精度和鲁棒性,提出了一种新的基于Huber的高阶容积卡尔曼滤波算法.在采用统计线性回归模型近似非线性量测模型的基础上,利用Huber M估计算法实现状态的量测更新.进一步结合高阶球面-径向容积准则的状态预测模块构成基于Hube

2、r的高阶容积卡尔曼跟踪算法.重点分析了Huber代价函数的调节因子对算法跟踪性能的影响.通过对纯方位目标跟踪和再入飞行器跟踪两个实例验证了所提算法的跟踪性能优于传统高阶容积卡尔曼滤波算法.关键词: Huber方法,容积卡尔曼滤波器,目标跟踪,滤波精度PACS: 84.30.Vn, 05.10.a, 02.30.Yy, 05.10.Ln DOI: 10.7498/aps.65.0884011引言目标跟踪是指计算机或其他设备依据一些算法对目标位置和速度的实时预测与估计,在军事、医疗、交通等方面都有着广泛的应用.由于目标运动方程的非线性、轨道系数的不定性、多目标和复杂环境等,使得目标跟踪系统必须根据

3、环境变化做出相应决策.非线性滤波理论广泛应用于信号处理、目标跟踪及卫星导航等领域中1.针对非线性系统,对后验概率密度的估计方法有最优估计和次优估计两种.最优估计方法,如粒子滤波器(praticlelter, PF)2 4,对后验概率密度不做假设,但是由于计算量巨大,实用价值不大.在次优估计方法中,一般将后验概率密度假设为高斯分布.最具代表性的是扩展卡尔曼滤波器(extend Kalman lter,EKF)3;5. EKF采用一阶泰勒展式近似非线性函数,其计算精度只能达到一阶泰勒展式.但是,当动力系统的非线性程度较高时, EKF会造成很大的滤波误差,甚至可能会出现发散现象.因此,需要数值精度更

4、高的非线性卡尔曼滤波器.一般非线性滤波方法可以统一描述成多维高斯加权非线性函数积分问题,但是很难获得其闭式解.因此,后续的改进方法主要针对如何高效地计算高斯加权的多维非线性函数积分.多维非线性函数的积分近似方法主要包括非线性函数的近似和概率密度函数的近似两种.非线性函数的近似主要是利用多项式展开近似非线性函数.这一类代表滤波器有EKF和差分滤波器(divided dierence lter, DDF)3.一般对概率密度函数的近似比对任意非线性函数的近似相对容易,因此非线性卡尔曼滤波器的主要近似方法为对高斯概率密度函数的近似.这一类代表滤波器有无先导卡尔曼滤波器(unscentedKalman

5、lter, UKF)3;6;7、容积卡尔曼滤波器(cubature Kalman lter, CKF)8;9、高斯-厄米特卡尔曼滤波器(Gausss-Hermite Kalman lter,GHKF)3和球面单纯形-径向容积卡尔曼滤波器(spherical simplex-radial cubature Kalman lter,国家自然科学基金(批准号: 61101232)、重庆市基础与前沿研究计划(批准号: cstc2014jcyjA40020)和中央高校基本科研业务费重点项目(批准号: XDJK2014B001)资助的课题.通信作者. E-mail: 2016中国物理学会Chinese

6、Physical Society http:/088401-1物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 8 (2016) 088401SSRCKF)10. UKF无须计算雅克比矩阵,滤波精度高于EKF. GHKF是将高斯-埃尔米特求积分准则应用在贝叶斯滤波理论中构成的,因此具有较高的近似精度,但其计算量会随着状态维度呈指数增长,易出现维数灾难. CKF克服了EKF在强非线性系统中的局限性,且能够将笛卡尔坐标下高斯加权的多维非线性函数积分转换为计算某个多维几何体的容积问题,提高了滤波性能.然而CKF也存在一些缺点,精度只能达到三阶.因此,采用阶数更高的容积准则,可获得高阶

7、容积卡尔曼滤波算法(high-degree cubature Kalman lter,HCKF)9;11 13.为了消除量测方程的矛盾,获得具有一定统计特性的正则解, Huber提出了M估计14;15.进一步,针对高斯分布附近存在对称干扰问题又提出了Huber方法16 20. Huber方法是一种以l1/l2混合范数为代价函数的最优估计方法,其鲁棒性优于基于l2范数的估计方法.将Huber方法应用于鲁棒滤波器中,可以提高鲁棒性和滤波精度.为改善高阶容积卡尔曼滤波算法的精度,本文将Huber方法结合贝叶斯理论应用于高阶容积卡尔曼滤波跟踪算法中21;22,提出了一种基于Huber的高阶容积卡尔曼滤

8、波器(Huber-based high-degree cubatureKalman lter, HHCKF)跟踪算法.改变其量测更新的方式,得到新算法.该算法相比高阶非线性卡尔曼滤波算法精度明显提高.通过纯方位目标跟踪和再入飞行器跟踪两个实例,验证了新算法的优越性.2高阶容积卡尔曼滤波器2.1非线性高斯滤波方法考虑如下非线性离散时间动力系统:xk = f(xk 1) +vk 1; (1)zk = h(xk) +wk; (2)其中, xk 2 Rn和zk 2 Rm分别表示状态向量和量测向量, Rn和Rm分别是n维和m维欧几里得空间; f和h为已知的非线性函数; vk 1和wk是均值为零的高斯白噪

9、声,方差分别为Qk 1和Rk.对于高斯假设下的非线性动力学系统,基于贝叶斯估计理论和数值积分理论,可以得到高斯近似滤波方法.对于满足高斯分布的积分,具体积分规则及近似表示如下:I(f) =Rnf(x)N(x; x;Px)dxmi=1wif(Xi); (3)其中, f(x)为非线性函数; Xi = x+ pPx i和wi分别为求积分点和相应的权重, i = pnei;ei 2 Rn表示第i个元素为1的单位向量; m为求积分点数.因此,基于数值积分的高斯近似滤波可以总结如下8.1)时间更新xkjk 1 =mi=1wif( i); (4)Pkjk 1 =mi=1wi(f( i) xkjk 1)(f(

10、 i) xkjk 1)T+Qk 1; (5)其中, i = S i + xk 1jk 1, Pk 1jk 1 = SST.2)量测更新xkjk = xkjk 1 +Kk(zk zkjk 1); (6)Pkjk = Pkjk 1 KkPTzzKTk ; (7)其中,Kk = Pxz(Pzz +Rk) 1; (8)zkjk 1 =mi=1wih( i); (9)Pxz =mi=1wi( i xkjk 1)(h( i) zkjk 1)T;(10)Pzz =mi=1wi(h( i) zkjk 1)(h( i) zkjk 1)T+Rk; (11)其中, i = S i + xkjk 1; Pkjk 1

11、= S ST.2.2三阶容积准则在n维笛卡尔坐标下,非线性滤波问题可统一描述为8;11I(f) =Rnf(x)e xTxdx: (12)令x = ry,其中, y为方向矢量,满足yTy = 1,构成Un = fy 2 RnjyTy = 1g.由此可知, xTx = r2.088401-2物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 8 (2016) 088401则I(f) = 10Unf(ry)rn 1 e r2d (y)dr; (13)其中, ( )为球体表面对应的方向矢量y的积分区域,所以积分可以分解为球面积分和径向积分,并写成数值积分的形式:S(r) =Unf(ry)

12、d (y)Lsi=1ws;if(ryi); (14)R(r) = 10S(r)rn 1 e r2drLrj=1wr;jS(rj): (15)对于球面准则,考虑f(x) = xd11 xd22 xdnn的情况,且ni=1di 6 d.一般认为, d 6 3时为低阶, d 5时为高阶11;12.由于求积分点是完全对称的,故单项式的阶数只需满足0和2的情况8.因此得到n维单位球面的表面积为An = 2 n(1/2)/ (n/2) = 2p n/ (n/2),所以三阶球面准则8;9为S3(r) = An2nni=1f(rei) +f( rei): (16)对于径向准则,利用高斯-拉盖尔公式8;11计算

13、求积分点及其权重.则三阶径向准则8;9为R3(r) = 12 (n2)S(n2): (17)将(16)和(17)式分别代入到(14)和(15)式中,则(13)式的三阶容积准则可表示为I(f) = 10rn 1 e r2drUnf(ry)d (y)=Lrj=1Lsi=1wr;jws;if(rjyi)=Lrj=112 (n2) ni=1An2nf(rjei) +f( rjei)= (n2)An4nni=1f(n2ei)+f(n2ei)=p n2nni=1f(n2ei)+f(n2ei);(18)其中, ( )为伽玛函数,定义为(z) = 10e ttz 1dt:以上式为基础,可将三阶球面-径向容积准

14、则的积分权重扩展到任意高斯分布,即Rnf(x)N(x; x;Px)= 1p nRnf(2Pxx+ x)e xTxdx= 12nni=1(f(nPxei+ x) +f( nPxei + x): (19)由此可知,三阶球面-径向容积准则所用到的求积分点个数为2n.2.3五阶容积准则采用类似三阶容积准则的推导方法,五阶球面准则表示为8;11S5(r)= Ann(n+ 2)n(n 1)/2i=1f(rp+i ) +f( rp+i )+f(rp i ) +f( rp i )+ (4 n)An2n(n+ 2)ni=1f(rei) +f( rei); (20)其中,求积分点p+i和p i的表达式如下8:p+

15、i =12(ej +ek);j :1 = x;1+i = x+(n+ 2)Pxp+i ;n(n 1)2 +1+i= x (n+ 2)Pxp+i ;n(n 1)+1+i = x+(n+ 2)Pxp i ;3n(n 1)2 +1+i= x (n+ 2)Pxp i ;i = 1;2; ;n(n 1)2 ;2n(n 1)+1+j = x+(n+ 2)Pxej;n(2n 1)+1+j = x (n+ 2)Pxej;j = 1;2; ;n:(25)其中, p+i和p i的表达式见(21)式.求积分点的权重为8:!1 = 2n+ 2; i = 1;!i = 1(n+ 2)2; i=2; ;2n2 2n+1;

16、!i = 4 n2(n+ 2)2;i = 2n2 2n+ 2; ;2n2 + 1:(26)3统计线性回归近似的Huber方法Huber提出的估计方法,类属广义似然估计.该方法的核心是使定义的代价函数取得最小值.将Huber M估计应用于HCKF,改变量测更新的方式,得到一种精度高于HCKF的新的滤波算法.首先,定义k时刻的状态预测误差k = xk xkjk 1; (27)其中, xk是状态真实值, xkjk 1为状态预测值.对量测方程线性化近似为zk h(xkjk 1) +Hk(xk xkjk 1); (28)其中,斜率矩阵定义为Hk = (P 1kjk 1Pxz)T.由以上两式,可以构造如下

17、的非线性回归方程24zk h(xkjk 1) +Hkxkjk 1xkjk 135=24HkI35xk +24wkk35: (29)定义yk = S 12kzk h(xkjk 1) +Hkxkjk 1; xkjk 1;(30)其中, Sk = diag(Rk Pkjk 1).则(29)式可以改写成yk = Mkxk + k; (31)其中, Mk = S 12k Hk; I, k = S 12k wk; k.定义M估计的Huber代价函数J(xk) =m+ni=1(vi); (32)其中, vi为残差向量v = Mkxk yk的第i个分量.代价函数 (vi)为(vi) =8:12v2i; jvi

18、j ;(33)其中, 是调节因子,在本文中, 取1.345.因为在满足高斯分布条件下,该取值的估计效率是基于l2范数估计效率的95%23.对于代价函数,通过对残差向量求偏导的方式求其最小值.令(vi) = (vi),对代价函数求偏导得到m+ni=1(vi)vixk= 0; (34)088401-4物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 8 (2016) 088401其中,(vi) =8 :(35)定义函数 (vi) = (vi)/vi,同时定义 =diag (vi).代入(34)式计算得到MTk (Mkxk yk) = 0: (36)上式中对xk求解,得到迭代解x(j

19、+1)k = (MTk (j)Mk) 1Mk (j)yk; (37)其中, j代表迭代次数.为简单记,迭代次数选为1.迭代初始值取为x(0)k = (MTk Mk) 1MTk yk 20.迭代结束后,得到估值的方差为Pkjk = (MTk Mk) 1: (38)4基于Huber的高阶容积卡尔曼滤波算法将上述的Huber方法与高阶容积算法相结合,在高阶容积卡尔曼滤波算法的框架下,将Huber方法引入到量测更新中,构成新的高精度高鲁棒性算法,即HHCKF算法.结合2.1小节,总结如下.初始化: x0 = Ex0, P0 = E(x0 x0)(x0 x0)T.时间更新:时间更新如2.1小节中的描述,

20、类似于传统高阶容积卡尔曼算法,状态的估计值和协方差分别由(4)和(5)式计算得到.其中,求积分点及其权重见(25)和(26)式.量测更新:1)计算k时刻(下一时刻)的量测预测值,如(9)式;2)计算预测互协方差矩阵,如(10)式;3)构造非线性回归方程,如(29), (31)式;4)代价函数取得最小值时,求得状态估计值,如(37)式;5)最后,依据方程(38)式求得状态误差的协方差矩阵.由此可知,基于Huber的高阶容积卡尔曼滤波算法具有以下特性:1) HHCKF将Huber方法应用于HCKF的量测更新中,具有Huber方法的优点.在高斯分布假设下, HHCKF提高了滤波精度,鲁棒性和稳定性;

21、2) HHCKF结合了Huber方法和基于高阶容积准则的贝叶斯滤波框架,能够保证算法的可靠性,在提高滤波精度的同时, HHCKF会增加一定的计算量.5仿真实验为了验证本文所提的HHCKF算法的有效性,利用50次蒙特卡罗计算得到的平方根均方误差(root mean square error, RMSE)作为滤波性能的衡量标准.仿真实例分别是纯方位目标跟踪和再入飞行器跟踪.5.1实例1 :纯方位目标跟踪模型纯方位目标跟踪是指利用目标本身的有源辐射,采用机动单站测向机测得目标的方位信息,实现目标轨迹的实时跟踪,如位置和速度24.在本例中,选取算法EKF2, UKF3;6;7,GHKF3, CKF38

22、, HCKF11 13, SSRCKF310和SSRCKF510与本文提出的算法相比较.在二维笛卡尔坐标系下,状态矢量为xk =xk;yk; _xk; _ykT, xk;yk和_xk; _yk分别表示跟踪目标在x,y方向上的位置和速度.目标运动的离散方程为xk = Fkxk 1 +qk 1; (39)其中, qk 1是均值为零协方差为Qk 1的高斯白噪声. Fk和Qk 1的表达式分别为Fk =266666641 0 t 00 1 0 t0 0 1 00 0 0 137777775;Qk 1 =26666666413t3 0 12t2 00 13t3 0 12t212t2 0 t 00 12t2

23、 0 t377777775q; (40)其中, t = 0:01为任意的步长, q = 0:1为噪声的谱密度.目标运动的量测方程为ik = arctan(yk siyxk six)+rik; i = 1;2; (41)088401-5物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 8 (2016) 088401其中, six, siy是传感器i的位置,本实例中设为s1x,s1y = 1; 0:5, s2x, s2y = 1;1; rik为高斯噪声,满足高斯分布N(0;0:052).目标的起始状态矢量为x0 = 0;0;1;0T,设置滤波器的初始状态值均为x0 = 0;0;0;

24、0T,初始协方差矩阵为P0 = diag(0:1;0:1;10;10).仿真数据产生时离散时间点N = 600.本例中,以位置信息为例定义如下的平方根均方误差:RMSE= 1MMi=1vuut 1NNk=1(xik xik)2 + (yik yik)2;(42)其中, xik和xik分别表示变量xk在离散时间k时刻第i次蒙特卡罗的真实值和相应的状态估计值; yik和yik分别表示变量yk在离散时间k时刻第i次蒙特卡罗的真实值和相应的状态估计值; M = 50表示蒙特卡罗次数.首先,讨论调节因子对HHCKF跟踪性能的影响.图1显示了不同调节因子下HHCKF的平方根均方误差.由图1可知,当调节因子

25、 取1.345时,RMSE达到最小.因此在以下的仿真中,调节因子均设置为1.345.0.9 1.0 1.1 1.2 1.31.351.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.00.0650.0700.0750.0800.085RMSE图1不同调节因子下HHCKF的平方根均方误差Fig. 1. RMSE of HHCKF under dierent turning pa-rameters.其次,表1显示了不同的算法在本例仿真中的平方根均方误差和一次蒙特卡罗仿真消耗计算时间的结果.由表1可以看出,在纯方位目标跟踪结果中, HHCKF的跟踪性能优于其他非线性卡尔曼滤波器.尤其是与其他高阶非线

26、性卡尔曼滤波器(例如, HCKF和SSRCKF5)相比, HHCKF能在增加一定计算时间的前提下,降低目标跟踪的RMSE.即HHCKF以增加一定计算量为代价,提高了跟踪精度.最后,图2显示了HHCKF和HCKF对目标轨迹的跟踪结果,由图2可以看出HHCKF的跟踪轨迹更接近于真实轨迹.-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5-2.5-2.0-1.5-1.0-0.500.51.01.5HCKFHHCKFhoxy图2 (网刊彩色) HCKF和HHCKF的轨道跟踪结果Fig. 2. (color online) Trajectory tracking results basedon H

27、CKF and HHCKF.表1基于50次蒙特卡罗仿真的目标跟踪性能比较Table 1. Performance comparison of target trackingover 50 Monte Carlo runs.Algorithm RMSE Time/sEKF 0.11959 0.0398UKF 0.11832 0.2789GHKF 0.11826 0.9359CKF3 0.11827 0.2156HCKF 0.11821 0.3202SSRCKF3 0.11817 0.2332SSRCKF5 0.11810 0.4506HHCKF 0.07981 0.36695.2实例2:再入飞行

28、器跟踪模型一般地,因为再入飞行器受复杂环境、目标状态、量测方程的强非线性和未知参数的影响,使得跟踪误差较大25.因此对于再入飞行器跟踪,需采用精度较高的跟踪算法.为简单记,本例对新的HHCKF方法和HCKF进行比较.再入飞行器主要受到三个方面的影响.第一,飞行器进入大气层,受到空气阻力的作用;第二,地球重力的影响;第三,随机因素的影响.状态空间模型包括目标运动位置(x1, x2)、目标运动速度(x3, x4)和空气动力系数(x5),则再入飞行器的状088401-6物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 8 (2016) 088401态向量可表示为_x1; _x2; _

29、x3; _x4; _x5T.目标运动的动态连续状态模型为8:_x1(t) = x3(t);_x2(t) = x4(t);_x3(t) = D(t)x3(t) +G(t)x1(t) +w1(t);_x4(t) = D(t)x4(t) +G(t)x2(t) +w2(t);_x5(t) = w3(t);(43)其中, w(t) = w1(t);w2(t);w3(t)T是过程噪声矢量,协方差为Qk = diag(2:4064 10 5;2:4064 10 5;10 6). D(t)和G(t)分别为阻力相关力和重力相关力,表示为8:D(t) = (t)expR0 RtH0V(t);G(t) = Gm0R

30、3(t);(44)其中, R(t) = x21(t) +x22(t)是目标和地球球心之间的距离, V(t) = x23(t) +x24(t)是目标运动速度;以上常数变量设为 0 = 0:59783,H0 = 13:406, Gm0 = 3:9860 105, R0 = 6374 km.利用欧几里得方法25对状态模型离散化,得到8:x1(k+ 1) = x1(k) + tx3(k);x2(k+ 1) = x2(k) + tx4(k);x3(k+ 1) = x2(k) + t(D(k)x3(k)+G(k)x1(k) +w1(k);x4(k+ 1) = x4(k) + t(D(k)x4(k)+G(k

31、)x2(k) +w2(k);x5(k+ 1) = x5(k) +w3(k);(45)其中, t = 0:1:雷达量测点位置设为(sx;sy) = (R0;0). rk和k分别为目标在k时刻相对量测点的距离和角度,则量测方程为8:rk = (x1(k) sx)2+(x2(k) sy)2+q1(k);k = arctan(x2(k) syx1(k) sx)+q2(k);(46)其中, q1(k)和q2(k)是协方差分别为10 3 km2和0.17 mrad2的零均值高斯白噪声.产生数据的初始值设置为m0 = 6500:4,349:14; 1:8093; 6:7967;0:6932T,初始协方差P0

32、 = diag(10 6;10 6;10 6;10 6;0);滤波器的初始值设置为m0 = 6500:4, 349:14, 1:8093,6:7967;0T,初始协方差P0 = diag(10 6, 10 6,10 6;10 6;1).6340 6360 6380 6400 6420 6440 6460 6480 6500 6520-200-1000100200300400500600xyRadarEarthTrueHCKFHHCKF6500.216 6500.218 6500.22348.450348.454348.458348.462348.466图3 (网刊彩色) HCKF和HHCKF的

33、轨道跟踪结果Fig. 3. (color online) Trajectory tracking results basedon HCKF and HHCKF.0 40 80 120 160 200012(a)(b)Time/sTime/sHCKFHHCKF0 40 80 120 160 2000123456RMSEof x5/10RMSEof x1/10HCKFHHCKF图4 (网刊彩色) x1和x5的平方根均方误差Fig. 4. (color online) RMSE of x1 and x5.图3显示了HHCKF和HCKF的轨迹跟踪结果.从图3可以看出HHCKF更好地跟踪了真实轨道.为了

34、定量地分析比较HCKF和HHCKF,088401-7物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 8 (2016) 088401图4给出了x1和x5的平方根均方误差比较结果.由图4可以看出HHCKF的跟踪精度高于HCKF,该仿真结果与图3相一致.因此,由以上两个跟踪实例可以看出采用Huber方法改进高阶容积卡尔曼算法能够有效地提高跟踪精度.6结论本文利用Huber方法及高阶容积准则,改进了HCKF的量测更新方式,进而提出了一种新的基于Huber的高阶容积卡尔曼跟踪算法.在增加一定计算复杂度的前提下,高阶容积准则和统计线性回归模型的结合,能够进一步提高算法的滤波精度;同时,

35、HHCKF由于避免了直接求量测协方差,因此具有一定的鲁棒性.仿真结果表明,将HHCKF应用于目标跟踪,能够较好地实现轨迹跟踪.参考文献1 Pakki K, Chandra B, Gu D W 2011 Proc. of the Amer-ican Control Conference USA, June 29July 1, 2011p36092 Gustafsson F, Hendeby G 2012 IEEE Trans. Signal Pro-cess. 60 5453 Arasaratnam I, Haykin S, Elliott R J 2007 IEEE Proc.95 9534

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37、 2009 IEEE Trans. Autom.Control 54 12549 Zhang X C, Guo C J 2013 Chin. Phys. B 22 12840110 WangSY,FengJC,TseCK2014 IEEE Signal Process.Lett. 21 4311 Jia B, Xin M, cheng Y 2013 Automatica 49 51012 Zhang X C, Teng Y L 2015 Asian J. Control 17 113 Zhang X C 2014 Circ. Syst. Signal Process. 65 46914 Hub

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39、l,Dyn. 30 88519 Wang X G, Cui N G, Guo J 2010 IET Radar, Sonar &Navigation 4 13420 Chang G B, Xu J N, Chang L B 2011 J. Nanjing Univ.Aeronaut. Astron. 43 754 (in Chinese) 常国宾,许江宁,常路宾2011南京航空航天大学学报43 75421 Zhang Q, Qiao Y K, Kong X Y, Si X S 2014 Acta Phys.Sin. 63 110505 (in Chinese) 张琪,乔玉坤,孔祥玉,司小胜20

40、14物理学报63 11050522 Lu Z Y, Wang D M, Wang J H, Wang Y 2015 Acta Phys.Sin. 64 150502 (in Chinese) 逯志宇,王大鸣,王建辉,王跃2015物理学报64 15050223 Karlgaard C D, Schaub H 2006 American Institute ofAeronautics and Astronautics, AIAA Paper 200624 Dunk J, Straka O, imandl M 2013 IEEE Trans. Au-tom. Cont. 58 156125 Bar-

41、Shalom Y, Li X R, Kirubarajan T 2002 Estima-tion with Applications to Tracking and Navigation (NewYork: Williey Inter Science Press)088401-8物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 8 (2016) 088401Huber-based high-degree cubature Kalman trackingalgorithm Zhang Wen-Jie1) Wang Shi-Yuan1)y Feng Ya-Li1) Feng Jiu

42、-Chao2)1)(School of Electronic and Information Engineering, Southwest University, Chongqing 400715, China)2)(School of Electronic and Information Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510641, China)( Received 16 September 2015; revised manuscript received 5 January 2016 )Abstr

43、actIn recent decades, nonlinear Kalman ltering based on Bayesian theory has been intensively studied to solve theproblem of state estimation in nonlinear dynamical system. Under the Gaussian assumption, Bayesian ltering canprovide a unied recursive solution to the estimation problem that is describe

44、d as the calculation of Gaussian weightedintegrals. However it is typically intractable to directly calculate these integrals. The numerical integration methodsare required from a practical perspective. Therefore, nonlinear Kalman lters are generated by dierent numericalintegrations. As a representa

45、tive of nonlinear Kalman lter, cubature Kalman lter (CKF) utilizes a numerical rulebased on the third-degree spherical-radial cubature rule to obtain better numerical stability, which is widely used in manyelds, e.g., positioning, attitude estimation, and communication. Target tracking can be genera

46、lized as the estimationsof the target position, the target velocity and other parameters. Hence, nonlinear Kalman lters can also be used toperform target tracking, eectively. Since the CKF based on the third-degree cubature rule has a limited accuracy ofestimation, it is necessary to nd a CKF based

47、a cubature rule with higher accuracy in the case of target tracking systemwith a large uncertainty. High-degree cubature Kalman lter is therefore proposed to implement state estimation due toits higher numerical accuracy, which is preferred to solve the estimation problem existing in target tracking. To improvethe ltering accuracy and robustness of high-degree cubature Kalman lter, in this paper we present a new lteringalgorithm named Huber-based high-degree cubature Kalman lter (HHCKF) algorithm. After approximating nonlinearmeasurements by using the statistical linear reg