基于量子相干性的四体贝尔不等式构建-叶世强.pdf

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1、基于量子相干性的四体贝尔不等式构建叶世强陈小余Four-partite Bell inequalities based on quantum coherenceYe Shi-Qiang Chen Xiao-Yu引用信息Citation: Acta Physica Sinica , 66, 200301 (2017) DOI: 10.7498/aps.66.200301在线阅读View online: http:/dx.doi.org/10.7498/aps.66.200301当期内容View table of contents: http:/ you may be interested in用

2、两比特海森伯XY模型研究热几何失协Thermal geometric discords in a two-qubit Heisenberg XY model物理学报.2016, 65(22): 220301 http:/dx.doi.org/10.7498/aps.65.220301极性分子摆动态的三体量子关联Tripartite quantum correlations of polar molecules in pendular states物理学报.2014, 63(20): 200302 http:/dx.doi.org/10.7498/aps.63.200302弱相干场原子-腔-光纤

3、系统中的量子失协Quantum discord in the system of two atoms trapped in weak coherent state cavities connected by anoptical fiber物理学报.2014, 63(11): 110303 http:/dx.doi.org/10.7498/aps.63.110303Cu 3单分子磁体在磁场中的热纠缠Thermal entanglement in a Cu 3 single molecular magnet in the magnetic field物理学报.2013, 62(19): 19030

4、2 http:/dx.doi.org/10.7498/aps.62.190302多进制量子图态纠缠的确定Determing the entanglement of quantum nonbinary graph states物理学报.2012, 61(22): 220304 http:/dx.doi.org/10.7498/aps.61.220304万方数据物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 66, No. 20 (2017) 200301基于量子相干性的四体贝尔不等式构建叶世强陈小余(浙江工商大学信息与电子工程学院,杭州310018)(2017年5月23日收到; 2017年7月

5、12日收到修改稿)贝尔不等式在定域性和实在性的双重假设下,对于被分隔的粒子同时被测量时其结果的可能关联程度建立了一个严格的限制,违反贝尔不等式确保量子态存在纠缠.本文利用量子相干性的l1和相对熵测度构建了四体量子贝尔不等式,发现一般实系数Greenberger-Horne-Zeilinger纯态和簇纯态总是违反四体相对熵相干性测度贝尔不等式,因此违反四体相对熵相干性测度贝尔不等式的这些态是纠缠态.关键词:贝尔不等式,量子相干性,多体量子态PACS: 03.67.Mn, 03.65.Ud DOI: 10.7498/aps.66.2003011引言在实在性的理论中,一个粒子带有先前的测量结果会影响

6、现在的测量结果,并且当前的测量结果是由独立的观察者得到的.在定域性的理论中,两个在不同系统中测量的粒子其结果是相互独立的,互不影响.贝尔不等式1-8是贝尔1964年提出的一个强有力定理的内容.该定理在定域性和实在性的双重假设下,对于被分隔的粒子同时被测量时其结果的可能关联程度建立了一个严格的限制.量子力学预测存在许多违反贝尔不等式的现象,这些物理现象的形成的原因是量子态的非定域性,这是多体量子态的一个基本属性.非定域性是量子纠缠9;10最重要的特点.如果一个多体的量子态不能写成单体量子态的张量积形式的概率和,则说明这个量子态是纠缠的.一个二体纠缠纯态11;12总是违反贝尔不等式,违反贝尔不等式

7、是检测一个二体纯态是否纠缠的充分必要条件13-19,在多体相关函数的贝尔不等式中,测量其每个系统的粒子,通常会选择两个二元观察者20-22.量子相干性作为一个很重要的概念已经被建立起来,尤其是在量子信息理论领域23-26,如量子生物学27-31和量子热力学32-36领域的进展已经显示了量子相干性在量子信息处理中的特殊作用.在量子信息理论中,人们猜测量子相干性是一种资源23-26,后来证明量子相干性确实是资源37;38.文献23提出了测量相干性的测度,包括l1和相对熵测度.通过非相干操作可以将一个具有量子相干性的态转化成另一个具有量子相干性的态,相干性不增加;提出了相干性和纠缠之间,以及与量子失

8、谐之间的相互关系25;39-43.这些结果有助于这些资源的相互转化. 2016年,文献44构建了二体l1和相对熵测度的贝尔不等式;文献45研究了三体l1和相对熵相干性测度的贝尔不等式.本文研究四体量子态,并建立了四体l1和相对熵相干性测度下的贝尔不等式.本文介绍了l1及相对熵相干性测度的定义,以及四体贝尔不等式的定义,构建了四体l1和相对熵测度的贝尔不等式;给出了一些违反四体贝尔不等式的典型四体(四量子)纠缠态,结果显示,四体一般实系数Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ)纯态和簇纯态总是违反相对熵相干性测度贝尔不等式.国家自然科学基金(批准号: 11375152)

9、资助的课题.通信作者. E-mail: 2017中国物理学会Chinese Physical Society http:/200301-1万方数据物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 66, No. 20 (2017) 2003012量子相干性的两组测度及四体贝尔不等式本节介绍两组量子相干性测度的定义, l1相干性测度和相对熵相干性测度,及四体贝尔不等式.2.1两组量子相干性测度对于一个量子态 ,在参考基|i下,文献23提出了两组合适的相干性测度. l1相干性测度定义如下:Cl1( ) =i;ji=j| ij| =i;j| ij|- 1: (1)相对熵相干性测度定义如下:Cr(

10、) = minIS( | ) = S( d) -S( ); (2)I是在参考基|i下所有非相干态的集合,S( | ) = tr (log2 - log2 )是 和 之间的相对熵, S( ) = -tr log2 是 态的冯诺依曼熵,d是量子态 在参考基|i下的密度矩阵的对角线元素构成的态, d =i i| |i|ii|.例如对于二维系统的最大相干态| 2 = 122i=1 |i,有Cl1 = 1, Cr = 1.2.2贝尔不等式对于测量的每个粒子,可以选择两个二元观察者,文献20推导了一个简单的一般贝尔不等式,认为定域性和实在性是描述N体贝尔不等式的充分必要条件.不等式如下: s1;sN=-1

11、;1S(s1; ;sN)k1;kN=1;2sk1-11 skN-1NE(k1;kN) 2N; (3)其中, S(s1; ;sN) = 2cos(- 4 + (s1 + +sN -N) 4), s1; ;sN -1;1. E(k1;kN)k1;kN 1;2是多体相关函数.通过上述不等式,可以得到两体系统的Clauser-Horne-Shimony-Holt (CHSH)不等式3,得到N体的Mermin-Ardehali-Belinskii-Klyshko (MABK)不等式4-6.本文研究的是四体的贝尔不等式.令N = 4,并且在局域实在性条件下用局域测量的乘积Mk1A Mk2B Mk3C Mk

12、4D替代相关函数E(k1;kN),由(3)式可以得到四体贝尔不等式如下:|M2AM2BM1CM1D +M2AM1BM2CM1D+M2AM1BM1CM2D +M2AM1BM1CM1D+M1AM2BM2CM1D +M1AM2BM1CM2D+M1AM2BM1CM1D +M1AM1BM2CM2D+M1AM1BM2CM1D +M1AM1BM1CM2D-M2AM2BM2CM2D -M2AM2BM2CM1D-M2AM2BM1CM2D -M2AM1BM2CM2D-M1AM2BM2CM2D -M1AM1BM1CM1D| 4; (4)不等(4)式中,上标1和2代表测量每个子系统粒子所选择的二元观察者, Mik (

13、K = A;B;C;D;i = 1;2)代表对不同量子比特K执行测量操作时得到的测量结果.3四体l1和相对熵相干性测度贝尔不等式3.1四体l1相干性测度贝尔不等式构建四体l1相干性测度贝尔不等式,选择四个观察者X;Y, Z,和H对应于HA;HB;HC和HD的希尔伯特空间. Cl1( ABCD;X;Y;Z;H)表示ABCD态在X;Y;Z;H基组下的l1相干性测度值,Cr( ABCD;X;Y;Z;H)表示 ABCD态在X;Y;Z;H基组下的相对熵相干性测度值.定理1对于乘积态 ABCD = A B C D,对应空间为HA HB HC HD的四体量子系统,并且观察者为OiK (K = A;B;C;D

14、;i = 1;2)有Cl1( ABCD;O2A;O2B;O1C;O1D)+Cl1( ABCD;O2A;O1B;O2C;O1D)+Cl1( ABCD;O2A;O1B;O1C;O2D)+Cl1( ABCD;O2A;O1B;O1C;O1D)+Cl1( ABCD;O1A;O2B;O2C;O1D)+Cl1( ABCD;O1A;O2B;O1C;O2D)+Cl1( ABCD;O1A;O2B;O1C;O1D)+Cl1( ABCD;O1A;O1B;O2C;O2D)+Cl1( ABCD;O1A;O1B;O2C;O1D)200301-2万方数据物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 66, No. 20

15、(2017) 200301+Cl1( ABCD;O1A;O1B;O1C;O2D)-Cl1( ABCD;O2A;O2B;O2C;O2D)-Cl1( ABCD;O2A;O2B;O2C;O1D)-Cl1( ABCD;O2A;O2B;O1C;O2D)-Cl1( ABCD;O2A;O1B;O2C;O2D)-Cl1( ABCD;O1A;O2B;O2C;O2D)-Cl1( ABCD;O1A;O1B;O1C;O1D) 60: (5)为了简化,在下文中用BCl1代替不等(5)式的左半部分,在附录A中给出了不等(5)式的证明过程.3.2四体相对熵相干性测度贝尔不等式对比四体l1相干性测度贝尔不等式,建立了四体相对

16、熵相干性测度贝尔不等式.定理2对于乘积态 ABCD = A B C D对应的空间为HA HB HC HD的四体量子系统,并且观察者为OiK (K = A;B;C;D;i = 1;2)有Cr( ABCD;O2A;O2B;O1C;O1D)+Cr( ABCD;O2A;O1B;O2C;O1D)+Cr( ABCD;O2A;O1B;O1C;O2D)+Cr( ABCD;O2A;O1B;O1C;O1D)+Cr( ABCD;O1A;O2B;O2C;O1D)+Cr( ABCD;O1A;O2B;O1C;O2D)+Cr( ABCD;O1A;O2B;O1C;O1D)+Cr( ABCD;O1A;O1B;O2C;O2D)+

17、Cr( ABCD;O1A;O1B;O2C;O1D)+Cr( ABCD;O1A;O1B;O1C;O2D)-Cr( ABCD;O2A;O2B;O2C;O2D)-Cr( ABCD;O2A;O2B;O2C;O1D)-Cr( ABCD;O2A;O2B;O1C;O2D)-Cr( ABCD;O2A;O1B;O2C;O2D)-Cr( ABCD;O1A;O2B;O2C;O2D)-Cr( ABCD;O1A;O1B;O1C;O1D) 16: (6)为了简化,在下文中用BCr代替不等式(6)的左半部分,在附录B中给出了不等式(6)的证明过程.4违反四体l1和相对熵相干性测度贝尔不等式给出了一些违反四体l1和相对熵相干

18、性测度的贝尔不等式的四体量子态,四体纠缠态意味着态在所有四个子量子系统中也是纠缠的,这里存在四个不等价的子态:四体GHZ态, W态46;47,簇态48;49, Dicke态50.因此,仅研究这四个态及其相关的纯态和混合态51;52是否违反四体l1和相对熵相干性测度贝尔不等式.对于两组相干性测度,观察者被假定为M1A = x, M2A = z, M1B = - y, M2B = z,M1C = x, M2C = z, M1D = - y, M2D = z,即M1A, M2A对于A的基组为( 12;- 12)T;( 12; 12)T;(1;0)T;(0;1)T;类似地, B的基组为( 12;- i

19、2)T;( i2;- 12)T;(1;0)T;(0;1)T;C的基组为( 12;- 12)T;( 12; 12)T;(1;0)T;(0;1)T;D的基组为( 12;- i2)T;( i2;- 12)T;(1;0)T;(0;1)T:现在,考虑在这些不同基下展开的四体量子态违反四体和相对熵相干性测度贝尔不等式的情况.对于四体GHZ态|GHZ4 = 12(|0000 +|1111),经过计算,可以得到BCl1 = 8260,意味着违反了四体l1相干性测度贝尔不等式.类似地,经过计算,得到BCr = 2216,显示四体GHZ态违反四体相对熵相干性测度贝尔不等式.对于四体一般实系数GHZ纯态| GHZ4

20、 =cos |0000 + sin |1111, (0; ),经过仔细计算,得到BCl1 = 47|sin(2 )| - 8|cos(2 )| + 35.类似地,得到BCr = 16 - 5cos2 log2 cos2 - 5sin2 log2 sin2 + 12(cos -sin )2 log2(cos -sin )2+ 12(cos +sin )2 log2(cos +sin )2:(7)200301-3万方数据物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 66, No. 20 (2017) 200301由图1(a)可以得到,在参数的大部分区域,四体一般实系数GHZ纯态违反四体l1相干

21、性测度贝尔不等式.由图1(b)可以得到,在 (0; )时, BCr总是大于16,这就意味着四体一般实系数GHZ纯态总是违反四体相对熵相干性测度贝尔不等式,因此四体一般实系数GHZ纯态是纠缠态.20304050607080900 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0161718192021220 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0B CrB Cl1(a)(b)图1四体一般实系数GHZ纯态(a) BCl1和(b)BCr随参数 的变化Fig. 1. (a) BCl1, (b) BCr as a function of the param-eters for the four p

22、artite general pure GHZ stateswith the real coecients.对于四体GHZ类的混合态, GHZ = p16I16 +(1-p)|GHZ4GHZ4|, I16是1616的单位矩阵,且p (0;1).这些混合态是四体GHZ态根据文献53的定义产生的,经过计算,得到BCl1 = 82(1-p)当p (0;11/41)时,四体GHZ类混合态违反四体l1相干性测度贝尔不等式.对于BCr,我们采取数值计算,得到BCr的图形如图2.从图2可以得到,加入的白噪声参数p的GHZ类混合态在0 60,BCr = 21 16,因此,四体簇态违反四体l1和相对熵相干性测度

23、贝尔不等式.B Cr0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00246810121416182022p图2四体GHZ类混合态BCr随参数p的变化Fig. 2. BCras a function of the parameters p for thefour partite GHZ class mixed states.对于四体一般实系数簇纯态| Cl4 = cos 1|0000 +sin 1 cos 2|0011+sin 1 sin 2 cos 3|1100-sin 1 sin 2 sin 3|1111;1; 2; 3 (0;2 );经过仔细计算,得到BCl1和BCr是比较复杂的表达式,我们用

24、图像来分析表达式的结果.在图3(a)中,用 1; 2; 3三个参数分别对应深度、宽度、高度方向,图右侧的长方形颜色条形块用不同的颜色表示在不同的参数下表达式的值,下文的其他求纯态BCl1和BCr变化图也这样表示,由图3(a)可以看出, BCl1在参数 1; 2; 3的大部分区域都大于60,因此四体一般实系数簇纯态在大部分区域都违反四体l1相干性测度贝尔不等式. BCr在1; 2; 3 (0;2 )时值总是大于16,总是违反四体相对熵相干性测度贝尔不等式,因此,四体一般实系数簇纯态是纠缠态.对于四体簇类混合态, Cl = p16I16 + (1 -p)|Cl4Cl4|,经过计算,可得BCl1 =

25、 96(1 -p),当p (0;9/24)时,四体簇类混合态违反四体l1相干性测度贝尔不等式.类似地,经过数值计算,得到BCl1的图像如图4.从图4可以得到,加入的白噪声参数p的簇类混合态在0 60, BCr 16:704 16,因此,四体W态违反四体l1和相对熵相干性测度贝尔不等式.200301-4万方数据物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 66, No. 20 (2017) 20030102460246050246024605908070605040212019181716(a)(b)图3 (网刊彩色)四体一般实系数簇纯态(a) BCl1和(b) BCr随参数 1; 2; 3

26、的变化Fig. 3. (color online) (a) BCl1, (b) BCr as a functionof the parameters 1; 2; 3 for the four partite generalpure Cluster states with the real coecients.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00246810121416182022pB Cr图4四体簇类混合态BCr随参数p的变化图Fig. 4. BCras a function of the parameter p for thefour partite general Cluster

27、class mixed states.对于四体一般实系数W纯态| W4 = cos 1|0001 +sin 1 cos 2|0010+sin 1 sin 2 cos 3|0100+sin 1 sin 2 sin 3|1000;经过仔细计算,得到的BCl1和BCr的表达式同样比较复杂.由图5(a)可以看出, BCl1在参数1; 2; 3的大部分区域都大于60,因此四体一般实系数W纯态在大部分区域都违反四体l1相干性测度贝尔不等式;由图5(b)可以看出,在BCr在1; 2; 3 (0;2 )时的值大部分区域都大于16,因此四体一般实系数W纯态在大部分区域都违反四体相对熵相干性测度贝尔不等式.对于四

28、体W类混合态, W = p16I16 + (1 -p)|W4W4|,经过计算, BCl1 = 12(2+2+5)(1-p)当0 60, BCr 16:596 16,因此,四体Dicke态违反四体l1和相对熵相干性测度贝尔不等式.对于四体Dicke类混合态, Dicke = p16I16 +(1 - p)|Dicke4Dicke4|,经过计算, BCl1 =(7 + 293 + 6423 +3253 )(1 - p),当0 p -130 + 642 + 32550 + 642 + 325 0:151时,四体Dicke类混合态违反四体l1相干性测度贝尔不等式.类似地,经过数值计算,得到BCr的图像

29、如图7.B Cr0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0024681012141618p图7四体Dicke类混合态BCr随参数p的变化Fig. 7. BCras a function of the parameter p for thefour partite Dicke class mixed states.从图7可以得到,加入的白噪声参数p的Dicke类混合态在0 p 0:008内违反四体相对熵相干性测度贝尔不等式.5结论本文构建了四体l1和相对熵相干性测度贝尔不等式,计算发现四体GHZ态、簇态、W态、Dicke态都违反四体l1和相对熵测度的贝尔不等式,对于这些态的一般实系数纯态,四体G

30、HZ和簇纯态在各自的参数 和 1; 2; 3的区间内总是违反四体相对熵相干性测度贝尔不等式,在区间内的大部分区域违反四体l1相干性测度贝尔不等式.四体W态在参数 1; 2; 3的大部分区域违反四体和相对熵相干性测度贝尔不等式.对于这些态的混合态,在加入白噪声参数p的区间内,我们发现这四个态违反四体l1和相对熵相干性测度贝尔不等式边界值的程度决定了这些态的混合态加入白噪声参数p区间的大小,四体GHZ态、簇态、W态、Dicke态违反四体l1和相对熵相干性测度贝尔不等式的程度越大,其混合态违反四体l1和相对熵相干性测度贝尔不等式的白噪声参数p区间越大,即可以加入更多的噪声.对于这些总是违反四体相对熵

31、相干性测度贝尔不等式的四体一般实系数纯态,可以确定这些态是纠缠态.本文只运用了l1和相对熵相干性测度来构建四体贝尔不等式,几何相干性测度25和鲁棒相干性测度54构建四体贝尔不等式是否可行也是一个值得研究的内容.附录A定理1 l1相干性测度下的贝尔不等式证明对于 ABCD = A B C D,可以证明得到如下等式Cl1( ABCD;X;Y;Z;H) + 1= Cl1( A;X) + 1Cl1( B;Y ) + 1 Cl1( C;Z) + 1Cl1( D;H) + 1; (A1)利用等式(A1),并且令Cl1( K;OiK) + 1 = MiK (K =A;B;C;D; i = 1;2)使(5)式

32、每项加1,可以得到其简化的不等式如下:M2AM2BM1CM1D + M2AM1BM2CM1D + M2AM1BM1CM2D+ M2AM1BM1CM1D + M1AM2BM2CM1D + M1AM2BM1CM2D+ M1AM2BM1CM1D + M1AM1BM2CM2D + M1AM1BM2CM1D+ M1AM1BM1CM2D -M2AM2BM2CM2D -M2AM2BM2CM1D-M2AM2BM1CM2D -M2AM1BM2CM2D -M1AM2BM2CM2D-M1AM1BM1CM1D: (A2)由于1 MiK 2, (A2)式的绝对值为|M1A(M2BM2CM1D + M2BM1CM2D +

33、 M2BM1CM1D+ M1BM2CM2D + M1BM2CM1D + M1BM1CM2D-M2BM2CM2D -M1BM1CM1D) + M2A(M2BM1CM1D+ M1BM2CM1D + M1BM1CM2D + M1BM1CM1D-M2BM2CM2D -M2BM2CM1D -M2BM1CM2D-M1BM2CM2D)|M1A(M2BM2CM1D + M2BM1CM2D + M2BM1CM1D+ M1BM2CM2D + M1BM2CM1D + M1BM1CM2D-M2BM2CM2D -M1BM1CM1D)| + |M2A(M2BM1CM1D+ M1BM2CM1D + M1BM1CM2D +

34、M1BM1CM1D-M2BM2CM2D -M2BM2CM1D -M2BM1CM2D-M1BM2CM2D)| 2(|M1B(M2CM2D + M2CM1D + M1CM2D -M1CM1D)200301-6万方数据物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 66, No. 20 (2017) 200301+ M2B(M2CM1D + M1CM2D + M1CM1D -M2CM2D)|+ |M1B(M2CM1D + M1CM2D + M1CM1D -M2CM2D)+ M2B(M1CM1D -M2CM2D -M2CM1D -M1CM2D|) 4(|M2CM2D + M2CM1D + M1CM2

35、D -M1CM1D|+ |M2CM1D + M1CM2D + M1CM1D -M2CM2D|+ 2|M1CM1D -M2CM2D|) 64: (A3)通过不等式(A3),发现定理成立.证毕.在 A; B; C; D都为最大非相干纯态时,此时Cl1( K;OiK) = 1 (K = A;B;C;D; i = 1;2),这个不等式刚好到达临界值.附录B定理2相对熵相干性测度下的贝尔不等式证明对于张量积 A B C D相对熵相干性测度,满足Cr( A B C D;X;Y;Z;H)= Cr( A;X) + Cr( B;Y ) + Cr( C;Z) + Cr( D;H);(B1)利用等式(B1),可以得

36、到不等(6)式的左边部分为4Cr( A;O2A) + Cr( B;O2B) + Cr( C;O2C)+ Cr( D;O2D) 16; (B2)证毕.在 A; B; C; D都为最大非相干纯态时,这个不等式也同样刚好到达临界值.参考文献1 Bell J S 1964 Physics 1 1952 Greenberger D M, Horne M A, Shimony A, Zeilinger A,Am J 1990 Physica 58 11313 Clauser J F, Horne M A, Shimony A, Holt R A 1969Phys. Rev. Lett. 23 8804 M

37、ermin N D 1990 Phys. Rev. Lett. 65 18385 Ardehali M 1992 Phys. Rev. A 46 53756 BelinskiiAV, Klyshko D N 1993 Phys. Usp. 36 6537 Peres A 1999 Found. Phys. 29 5898 Pitowsky I, Svozil K 2001 Phys. Rev. A 64 0141029 Horodecki R, Horodecki P, Horodecki M, Horodecki K2009 Rev. Mod. Phys. 81 86510 Wang X Q

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48、o-Yuy(College of Information and Electronic Engineering, Zhejiang Gongshang University, Hangzhou 310018, China)( Received 23 May 2017; revised manuscript received 12 July 2017 )AbstractIt is well known that Bell inequalities are derived under the assumptions of locality and realism. Bell inequalitiesimpose strict constraints o