基于等矩策略的自由曲面测量方法误差分析-何改云.pdf

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1、第49卷 第2期 2016年2月 天津大学学报(自然科学与工程技术版) Journal of Tianjin University(Science and Technology) Vol.49 No.2Feb. 2016 收稿日期：2015-09-12；修回日期：2015-11-26. 基金项目：“高档数控机床与基础制造装备”科技重大专项资助项目(2014ZX04014-031). 作者简介：何改云（1965 ），女，博士，教授. 通讯作者：何改云，hegaiyuntjueducn. 网络出版时间：2015-11-27. 网络出版地址：http:/ DOI:10.11784/tdxbz2015

2、09035 基于等矩策略的自由曲面测量方法误差分析 何改云1，季彩霞1，郭龙真1，郎爱蕾2(1. 天津大学机械工程学院，天津 300072；2. 天津大学理学院，天津 300072) 摘 要：针对数字化测量环境中自由曲面测量点的分布问题，首先提出了 2 点要求：曲率自适应性和分段点之间保持间距据此提出一类曲率自适应度可控的布点策略，称之为等矩法布点策略这种策略是指任意相邻 3 个分段点组成的曲线段中，其左右两曲线段对中间分段点的质量矩大小相等等矩法的矩次越高，曲率自适应度越小最后通过 2个算例，分析了等矩法的曲率自适应度与测量方法误差之间的关系以正弦函数为算例，通过计算得出：当采用等 4.5次

3、矩布点时，测量方法误差取到最小；另以样条曲线为算例，计算得出满足最小测量方法误差的布点策略为均布 关键词：布点策略；自适应分布；测量方法误差；自由曲面；数字化测量 中图分类号：TH161.1 文献标志码：A 文章编号：0493-2137(2016)02-0128-06 Analysis of Measurement Method Error in Freeform Surface Based on Equal Moment Strategy He Gaiyun1，Ji Caixia1，Guo Longzhen1，Lang Ailei2(1. School of Mechanical Engin

4、eering，Tianjin University，Tianjin 300072，China； 2. School of Science，Tianjin University，Tianjin 300072，China) Abstract：In order to distribute measurement points in freeform surface in digital measurement environment，two requirements were put forward：being adaptiveness to curvature and keeping spacin

5、g between pointsA new class of distribution strategies with controllable curvature adaptability was proposed accordingly，which is called equal mo-ment methodsIt means that，in a curve segment composed of any adjacent three points，its left part and its right part have an equal mass moment to the inter

6、mediate pointThe higher order the equal moment method has，the lower its curvature adaptability isFinally，through two examples，the relationship between curvature adaptability and meas-urement method error was analyzedIn the case of sine function，it was obtained by numerical calculations that，when 4.5

7、th equal moment method was chosen in this strategy，the error of measurement method reached the mini-mumTaking a spline curve as an example，the calculation results showed that，the distribution strategy meeting the minimum measurement method error was uniform distribution. Keywords：distribution strate

8、gy；adaptive distribution；measurement method error；freeform surface；digital measurement 自由曲面的数字化测量方法可以概括为非接触式测量和接触式测量两大类1文献2-4中描述了利用基于视觉理论的影像测量技术，采用视觉设备来实现工件非接触测量的方法，但该方法存在一些固有缺陷，例如对复杂型面特别是内孔测量时会出现光路遮挡，测量所能实现的可测深度与宽度有限等5接触式测量则是通过触发式测头或扫描式测头等硬件设备与被测工件相触碰，来获得被测轮廓的空间三维坐标数据 采用接触式测量，涉及到测头按某种布点策略选择若干采样点g64

9、08g5856测量，g2290g2097g1353采样点g6408g5856三g3410 B样g3149g2850g984g2850g984g5098g2630的曲面g890为测量曲面，测量曲面与理论曲面的g6055g2239g2114g890为g6981件的g4971g1355g6055g2239g1060中g1225括测量方法的g4870g4945g6055g2239，g2033可以g4772化g5866g4583为理论曲面g1g1g1 2016年2月 何改云等：基于等矩策略的自由曲面测量方法误差分析 129 g700采样点三g3410样g3149g2850g984g5098g2630的曲

10、面与理论曲面的g991g2239g3052g3944，测量方法g6055g2239g6228g879，g6981件g6055g2239g2114g6228接g6402g4413实g2544g1093g1665g5098布点策略的g1885g1709g4399接g1092g2047了自由曲面的测量g4852度 g6004g1842g2021g5095对布点策略g993过g4496g4674，g2307用g3107g2296g3588的是等间g6255法6，g1060g1299理g4772g1260，g5983g4778方g934g758有g2021g5095g5986为等间g6255法g3556

11、有g5093g5692曲面特g2396的复杂g2476，g2290g2849出了对曲g4106自g6431g2307的布点策略，如g7754Pahk 等7g4496g4674了g3380g1061型面g3292测g6947曲g4106g1322化的布点方法g7755Koster8g4496g4674了g3241据曲面法g1363g1132g4914方g1363g1322化的g6451g4106实现对曲面采样点自g6431g2307g1131布的采样策略g7755g3139g2978等9g2849出了基于g2381g4035特g2396的g1316三g3410 B 样g3149曲面测点自g643

12、1g2307g1131布的g4778法g7755g884g2951g775等10则是采用按曲g4106测度g1194g3134于g2362g6849g1360g6408g5856g6158量等g1131的布点方法(g4772g4645基于曲g4106法) g815工g5351g5959度g5098g5970，曲g4106大的g1244g1770g1322化g1178g3913，g1194工工g5351g2476g2239，g1194工g6055g2239大11，g6985g5941g3101g1842的数据点来g1317g3041g5866面特g2396，g1665g5098在g1131g34

13、55点数g703g1322的g2544g1093g701，g6985g5941g3101g7219的曲g4106自g6431g2307度g7755g5098g815测量方法g6055g2239的g5959度g5098g5970，过g7219的曲g4106自g6431g2307度g1317g5098会g6923g879g1131g3455点的利用g4106，影g1469测量方法g6055g2239，g1665g3428自g6431g2307度g2290非g6228g7219g6228g1885g5098以g700g4496g4674g1704g3122g2849及自g6431g2307度可g28

14、28g6855g7076，g758g3122g2092g2684g3107g903自g6431g2307度本文g2114g3428展开讨论，g2849出了一类曲g4106自g6431g2307度可g2828的布点新策略等矩法布点策略，g2290在g3428基础g700尝试g2092g2684针对测量方法g6055g2239的g3107g903自g6431g2307度 1 等矩法布点策略 在布点策略中，若g1131g3455点能够自发地按照策略规则实现在曲g4106g7219的g1244g1770密集，则g4645该布点策略满足对曲g4106的自g6431g2307密集效果g6228g1885，

15、g4645g1060曲g4106自g6431g2307度g6228g7219g3944g5098如果所有g1131g3455点都密集在曲g4106较大g1244g1770，则大大g6923g879了g1131g3455点利用g4106，对g1360续三g3410样g3149g2850g984的效果g703利所以，希望有这样一个布点策略g7754既能够对曲g4106自g6431g2307，同时又能保持点与点之间的间g6255 1.1 自由曲线等矩法布点策略 “曲面-曲g4914-点集-测点集”的g1131解g3410序是曲面数字化的基本思想g6004g1842g2021g5095以g3428g6

16、408g5856g4496g4674，如g884g2951g775等10详细描述了g2097已知 CAD g3380型的自由曲面g1131解为g1842组平g5856截交g4914，g815g5098g2097自由曲面布点转化为自由曲g4914布点的g6855g7076本文讨论的g2114是三维曲面转化为二维曲g4914g1360的布点g6855g7076 g2097自由曲g4914假想g2630一g3455有g6158量的g4914，曲g4914g700g1353点的g6158量指代自g6431g2307的对象例如若在曲g4914g700对曲g4106g6408g5856自g6431g230

17、7布点，那么曲g4914g700点的g6158量g2114是该点在曲g4914g700的曲g4106g984 ()kx，即 g1g1g1()322()=1+ykxydotnospdotnospdotnospg1(1)存在一g3455连续体AB，g2047义g2033对ABg700一点O的g6158量矩为 () ()dBOOAMAB kx=SS g1g1g1g1g1 ()()()() () ( ) ()dxBxAkx Sx SO Sx xdotnospg1(2)g1g1g12()= 1+ ()dxASx y x xdotnosp g1(3)式中 ()Sxg5866g4583当前点x到起始点A的g

18、2362g6849 等矩法布点g5941求任意相邻 3 个g1131g3455点1iQ-、iQ、+1iQ 组g2630的曲g4914g3455中，1iiQQ-曲g4914g3455对iQ点的g6158量矩与1iiQQ+曲g4914g3455对iQ点的g6158量矩数g984相等，即 g1g1g11+1()=()2,34,iiQii QiiMQQ MQQ i n= midhorizellipsis- (4)式中n为g1131g3455数 g1g1已知的1Q 和1nQ+为自由曲g4914的首尾端点，g509823,nQQ Qmidhorizellipsis 是由1Q、1nQ+g3241据式(4)按

19、等矩法布点所得采用g6158量矩的方式，可以有效保证12,QQmidhorizellipsis1nQ+之间的间g6255g7755等矩法布点时，g1131g3455点左右两边曲g4106()kx较大的一方，g1060布点g6255离Sg6985g5941g3101小才能平衡两边g6158量矩，g815g5098实现了曲g4106g7219的g1244g1770g1842布点(对曲g4106自g6431g2307)满足以g700 2 个g3149件，g1665g5098等矩法是一个可g5856的布点策略 1.2 等r次矩布点策略 如果g2097g700文g2849到的g6158量矩g4645之为

20、一g3410矩，记为1()OMAB，那么连续体AB对点O的rg3410矩g2114是 () ()dBrrOOAMAB kx=SS g1g1g1g1g1 ()()()() () ( ) ()dxBrxAkx Sx SO Sx xdotnospg1(5)g1g1若g2097等矩法g4645为等一g3410矩布点策略，那么等rg3410矩布点策略如g701所述 任意相邻 3 个g1131g3455点1iQ、iQ、1iQ+组g2630的曲g4914g3455中，1iiQQ曲g4914g3455对iQ点的rg3410矩与1iiQQ+曲g4914g3455对iQ点的rg3410矩数g984相等，即 g1g

21、1g111() ()iirrQii QiiMQQ MQQ+= g1(6)g1g111 1 1()()()0irQii Qii QiiMQQ MQQ MQQ+ +=(7)即11iiiQQQ+曲g4914g3455对iQ点的总rg3410矩为0 指数r的g890用在于g2828制对曲g4106的自g6431g2307度rg984g6228大，S相对于 ()kx的g890用效果g2114g6228大，g6228趋g6402于g1704布，对曲g4106的自g6431g2307度g2114g6228g879 1.3 等矩法与基于曲率法之间的联系 g1g1当 0r = 时，等矩法演g1322为 g1g1

22、g1 130 天津大学学报(自然科学与工程技术版) 第 49 卷 第2期 g1g1g11()()()()diixQxQkxSx x=dotnospg1g1g1g1g11()()()()diixQxQkxSx x+dotnospg1(8)去掉绝对g984，有 g1g1g111()d ()diiQQkx kx+=SSg1 (9)g2097 2,3,4, ,in= midhorizellipsis 代入，于是有 g1g123 112()d ()d ()dnnQQ Qkx kx kx+= = midhorizellipsisSS S g1g1g1g1g111()dnQQkxn+Sg1(10)g5098

23、这正是基于曲g4106法10g7754g5983g4778自由曲g4914g1353点曲g4106()kx，g3944g1360以 ()kx为密度对曲g4914g6408g5856g2362g6849积g1131，求得整g3149曲g4914总g6158量，g6408g5098g1704g1131曲g4914g6158量 所以，基于曲g4106法g2114是等 0 g3410矩布点策略，是等矩法的特殊g2544g1093 2 程序实现 通过式(6)联立方程组同时求解 1n- 个g1131g3455点难以实现，但如果 2n = (只求解 1 个g1131g3455点)，利用g1244间缩短法搜索

24、则比较容易得解举个例子g775411iii+QQQ-曲g4914g3455通过g1244间缩短法求得的g3107g903g1131g3455点为1iQ-、*1ii+QQ和 ，那么g701一曲g4914g3455g2114是*+1 +2ii iQQ Q ，在g3428基础g700g5983g4778求得的g1131g3455点g2114会是*iQ 、*1iQ+、2iQ+g7755以g3428类推所以这里g2097同时求解 1n- 个g1131g3455点的g6855g7076转化为求 1n- g3410 1 个g1131g3455点的g6855g7076，g2290采用轮换逼g6402法逐g34

25、10迭代求解出g3107终g1131g3455点iQ 详细流程如g701所述 步骤 1g1 读入曲g4914，按等间g6255布点赋第 1 轮初始g984,1iQ 步骤 2g1g3241据第 j轮1,i jQ-和1,i jQ+，用g1244间缩短g4778法g5983g4778第 1j + 轮,1ijQ+ (1) 中间g1322量赋初始g9841,ijaQ= ，1,ijbQ+= g1g1(2) 赋g984 ()/2cab=+ ，g3241据式(7)g5983g47781, 1,ijijQQ+曲g4914g3455对c 的总 r g3410矩1, 1,()rcijijMQQ+，g2290判断1,

26、 1,()rcijijMQQ+与g4852度 的关g4870g7754 若1, 1,()rcijijMQQ + ，则继续(3)g7755 若1, 1,()rcijijMQQ + ，则bc= ，返回(2)g7755 g1g1 若1, 1,()rcijijMQQ + ，则ac= ，返回(2) (3)记录,1ijQc+= ，确g2047g701一个g1131g3455点g7755返回(1) 步骤3 确g2047g701一轮布点g7755返回步g72002 g4778法流程如g16781所g4583 （a）轮换逼近法总流程 （b）区间缩短算法流程 图1 算法流程 Fig.1 Algorithm flo

27、w chart 3 实验验证 3.1 算例 1全周期 sin函数 这里选择采样点数为 6(即ng77575)，用以g700g4778法g5983g4778了rg8150到10，间g69490.5g105621组等rg3410矩的布点g2544g1093，g2290用g703同g3877度g984标记g703同g3410矩，标记g3877度g81590%,( 0r = )到 10%,( 10r = )g3729g1322，获得的g1131g3455点转g4647g2544g1093如g16782所g4583 图2 sin函数的6个分段点随矩次增加的转移情况 Fig.2 Transfer of t

28、he six segment points in sine function with order increasing g1g1g1 2016年2月 何改云等：基于等矩策略的自由曲面测量方法误差分析 131 g815g16782中可以g3724g3329地g4409到g6947g4427矩g3410的g1816g1194，g1131g3455点g815深g5347g1363g3640g5347转g4647的过程，g2290g6947g4427矩g3410的继续g1816g1194，g3107终会到g6393g7403g5347空g2422g1682g878g5045，实现g1704布 文献1

29、2用g1131g3169对比g1353布点策略g2850g984曲面与理论曲面的g3107小g991g2239、g3107大g991g2239、标g1101g2239、平g1704g991g2239等数据来g6015判布点策略的g853g1197g3241据以g700思想，g1131别g815g1353等rg3410矩三g3410样g3149g2850g984曲g4914选g1320m个点，g2047义ME为这m个点的g3107大g6055g2239，SSE为g1060g6055g2239平方和，RMSE为g6055g2239g1704方g3241，g1060中ME、SSE和RMSEg1131

30、别g2047义为 g1g1g11, ME max|( )|iiimyy=g1(11)g1g1g121SSE ( )miiiy y=g1(12)g1g1g1211RMSE ( )miiiyym=g1 (13)g1353布点策略按g1060规则对理论曲g4914求得g1131g3455点，g1353g1131g3455点g6408g5856三g3410样g3149g2850g984g5098g2630的曲g4914与理论曲g4914的g991g2239，g2114是该策略的测量方法g6055g2239为了比较g1353rg3410矩的测量方法g6055g2239，选g1320g3107g903rg

31、3410矩，本文g5983g4778了rg8150到10，间g69490.1g1056101组等rg3410矩的ME、SSE、RMSE 3 类测量方法g6055g2239，如g1678 3 所g4583g1678 3 中，曲g4914g5866g4583测量方法g6055g2239g6947矩g3410的g3592g1198g2544g1093，g5694g4914g5866g4583等g6255布点时的测量方法g6055g2239g3241据g1678 3 的g5983g4778可以g4409到，曲g4914g815r = 0 开始g3592g1198g4427g700g1251，g5295

32、ME在r = 0.8 g1834g6393到g3164大g984，SSE和RMSE在r = 1.0 g1834g6393到g3164大g984g7755g6408g5098g7083g4821g4427g701g6923g5295r = 4.5 g1834g6393到g3107小g984，g3107小g984为ME 0.007398= ，SSE 0.010552= ，RMSE 0.003428= g7755 g5098g1360继续g4992g2596g7083g4821g700g1251，g6947g4427矩g3410g1816g1194，g3107终g1363g5694g4914g301

33、1限g7012g6402 g1 g1 所以对于g1050g1414g3119 sin g1125数，g1131g3455数为 5 时，g5983g4778得出g3107g853矩g3410为 4.5，g3428时测量方法g6055g2239g3107小，即测量g6055g2239g3107接g6402g4413实g6055g2239由g3428g758g7181证了前文中曲g4106自g6431g2307度g2290非g6228g7219g6228g1885的g4934论 g815g16783中可以g4409到曲g4914有g7083g4821，g1060g1299g1665是g1131g34

34、55点在g2395复g1665为g1353个g1131g3455点相g776联g4870、相g776g890用，g3463个g1131g3455点都是由左右相邻g1131g3455点推g4778得出，g6931了首尾g1131g3455点，g1060g887g1131g3455点都是g3662g1198的g7755g1330g1840，g1131g3455点的坐标g758可能存在g1842解，如sing1125数g13202个g1131g3455数，即只g13201个g1131g3455点，g5941求按曲g4106自g6431g2307，那么g1320在 0.5, 和g1320在 1.5,

35、两个g878g5045理论g700是等概g4106的，所以任g884一点g2679g1198都能影g1469g3107g1360的选择基于这 2 点g1299g1665，g1678像g2114g790g4214了g7083g4821 （a）ME （b）SSE （c）RMSE 图3 sin函数的测量方法误差随矩次的变化 Fig.3 Variation of measurement method error of sine function with order 3.2 算例 2基于曲率法的理论曲线数据 在第2g5355中已g4930g6060g3033，基于曲g4106法等效于本文的等 0 g3

36、410矩法，g2033所用的理论自由曲g4914是一g3149由 21 个g1131g3455点用三g3410g2850g984g5098g2630的样g3149曲g4914，如g16784所g4583 图4 基于曲率法理论样条曲线 Fig.4 Theoretical spline curve of curvature based method g1060理论点数据如g58661所g4583 g1g1g1 132 天津大学学报(自然科学与工程技术版) 第 49 卷 第2期 表1 基于曲率法理论点数据 Tab.1 Theoretical points data of curvature base

37、d method 理论点 理论点 理论点 (0, -0.631 2) (3.377 2, -0.300 9) (6.122 9, -0.602 4)(0.384 3, 0.168 0) (3.681 9, -0.838 8) (6.400 9, -0.072 8)(0.829 7, 0.254 8) (3.996 1, -1.359 8) (6.753 2, 0.403 3)(1.339 7, 0.593 3) (4.434 3, -1.776 6) (7.224 8, 0.824 5)(1.922 8, 0.700 0) (5.028 9, -1.971 7) (7.765 3, 1.059

38、 1)(2.517 9, 0.536 7) (5.524 6, -1.749 7) (8.307 9, 0.965 6)(3.005 7, 0.179 5) (5.857 2, -1.201 8) (8.859 6, 0.559 1)为了比较该曲g4914的g1353rg3410矩测量方法g6055g2239，选g1320g3107g903rg984，本文g5983g4778了rg8150到10，间g69490.5g105621组等rg3410矩的ME、SSE和RMSE 3类测量方法g6055g2239，如g1678 5 所g4583g1678 5 中，曲g4914g5866g4583测量方法

39、g6055g2239g6947矩g3410的g3592g1198g2544g1093，g5694g4914g5866g4583等 100 g3410g6255(g5986为已g4930g6393到平衡)布点时的测量方法g6055g2239 （a）ME （b）SSE （c）RMSE 图5 样条曲线的测量方法误差随矩次的变化 Fig.5 Variation of measurement method error of splinecurve with order g3241据g1678 5 的g5983g4778可以得到，曲g4914g815r = 0 g1834开始g700g1251g5295r

40、 = 0.5 左右g6393到g3164大g984，g6408g5098持续g7083g4821g4427g701g6923g6947g4427矩g3410g1816g1194，g2097在平衡g5694g4914g1834g6393到平衡 所以对于 21 g1131g3455点的理论样g3149曲g4914，g703存在g3107g853矩g3410当g1131g3455点趋于g1704布时，g3428时测量方法g6055g2239g3107小，即测量g6055g2239g3107接g6402g4413实g6055g2239g758g2114是g6060，g2114测量方法g6055g223

41、9的g5959度g5098g5970，曲g4106自g6431g2307对该理论曲g4914的布点起g1317效果 g790g4214g3428现象的g1299g1665在于，该理论曲g4914g1299本g2114是样g3149曲g4914，如果用新的样g3149g2850g984曲g4914来代g3106g1299理论曲g4914，g2290g708g5941求测量方法g6055g2239g2121量g879，即g2121可能接g6402g1299理论曲g4914，那么只能是新样g3149的g1131g3455点g2121量g7012g6402g1299理论曲g4914的g1131g345

42、5点，g5098这g6257曲g4106g2290g3556有g4399接关g4870g815g16784 中可以g4409出，g1299理论曲g4914的g1131g3455点是接g6402g1704布的，g1665g5098g2114会得出曲g4106自g6431g2307度g6228g879、测量方法g6055g2239g6228小的g4934论 本g4778例中，等 0 g3410矩的测量方法g6055g2239ME = 0.018 7，SSE 0.0101= ，RMSE 0.0034= 通过g5983g4778可得等 100 g3410矩的ME是g106034%，SSE是g10603

43、5%，RMSE是g106059%g2121g4781g3428g4778例中，g1704布较之于g1060g820布点策略g1061有g3101g879的测量方法g6055g2239，但g814g703可g6487g1041地存在g6055g2239，如果有一种策略能够自发地g2684到g1299始g1131g3455点，那g2033的测量方法g6055g2239g2097会是0g7755同样地，对于非样g3149的自由曲g4914，g2033g758能自发地g2684到g3107g1355g6431g1131g3455点，g909测量方法g6055g2239g3107小，g5098这种策略一

44、g2047是g6257曲g4106g3011关的g4395前，g3428类策略g7268g5944g2704g6474，g814有g2399g4496g4674 4 结 论 本文g4496g4674了数字化测量g4118g1809中自由曲面布点策略g6855g7076首g1038g2849出了布点策略的 2 点g5941求和曲g4106自g6431g2307度的概g2447，g2290据g3428g2849出一类曲g4106自g6431g2307度可g2828的布点新策略，g4645为等矩法布点策略，g2033满足以g701g3149件g7754任意相邻 3 个g1131g3455点组g263

45、0的曲g4914g3455中，g1060左右两曲g4914g3455对中间g1131g3455点的g6158量矩大小相等本文g6406g2825讨了等矩法与基于曲g4106法之间的关g4870，g2290通过2个g4778例g1131g3169了基于等矩法的曲g4106自g6431g2307度与测量方法g6055g2239之间的关g4870，得出以g701g4934论 (1) 等rg3410矩布点策略中，rg984g6228大，g1131g3455点对曲g4106的自g6431g2307度g6228g879，布点效果g6228趋g6402于g1704布g7755相g1317，rg984g622

46、8小，g1131g3455点对曲g4106的自g6431g2307度g6228g7219，等0g3410矩法与基于曲g4106法等效，是等矩法的特殊g2544g1093 (2) 在g4778例 1 中，通过对g1353组等rg3410矩测量方法g6055g2239的g5983g4778比较，求得满足g3107g879测量方法g6055g2239的g3107g903g1g1g1 2016年2月 何改云等：基于等矩策略的自由曲面测量方法误差分析 133 矩g3410为 4.5g7755同样地，在g4778例 2 中，求得满足g3107g879测量方法g6055g2239的布点策略为g1704布，与

47、曲g4106自g6431g2307g3011关所以，g2114测量方法g6055g2239的g5959度g5098g5970，对所有理论曲g4914一g1417地g6428求曲g4106自g6431g2307是g703g3033g3076的 参考文献： 1 丁 汉，朱利民，熊振华. 复杂曲面快速测量、建模及基于测量点云的 RP 和 NC 加工J. 机械工程学报，2003，39(11)：28-37. Ding Han，Zhu Limin，Xiong Zhenhua. Survey on co-ordinate measurement，geometric modeling and RP or NC

48、 code generation from measured data pointsJ. Jour-nal of Mechanical Engineering，2003，39(11)：28-37(in Chinese). 2 夏瑞雪，卢荣胜. 数控铣床视觉在位测量路径规划方法J. 电子测量与仪器学报，2011，25(8)：722-727. Xia Ruixue，Lu Rongsheng. Inspection path planning of on-machine vision inspection for CNC milling machines J. Journal of Electronic Measurement and Instrum-ent，2011，25(8)：722-727(in Chinese). 3 袁 江