[计算机]计算机科学.docx

《[计算机]计算机科学.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[计算机]计算机科学.docx（53页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、计算机计算机科学 计算机计算机科学 Articles of 兮兮软软 计计算算机机,编编程程及及CG,ai中中的的科科学学基基础础导导读读 2022-09-21 11:09:31 minlearn TOC 1 数学的发展历程 1.1 古代数学 1.2 近代数学一(15,16世纪) 1.3 近代数学二(17世纪) 1.4 现代数学一(18世纪) 1.5 现代数学一(19) 1.6 现代数学二(20世纪) 2 我们学过的数学 2.1 数学 个分支发展 2.2 代数 2.3 几何 2.4 分析数学 3 小结 4 离散数学，组合数学，图论 5 语言中的类型理论Type thery 6 算法中的数学理论

2、，困难度， P完全，等 7 数据库科学上的关系代数与集合论 8 数学与其它学科或学科分支的关系 9 物理学发展历程 10 图形学的数学 11 图形学物理 12 Ai中的科学 数数学学的的发发展展历历程程 志向时代 （古希腊），复兴时代 （文艺复兴15,16），新生时代 （微积分17），英雄时代 （微积分没有基 础就导出了分析学主要的内容18），大成时代(归纳统一，更高抽象19,20) 古代数学 近代数学： 远古算术 （比如结绳记数），远古几何(古埃及土地测量) 古希腊数学： 欧氏几何,毕达拉斯勾股定理，等腰直角三角形的斜边长不行公度,阿波罗尼奥曲线理论， 阿基米德穷竭法解决物理问题 (一切问题

3、用几何来解答为准为美) 阿拉伯和印度对于代数的贡献：拓展了数的概念为实数，低于五次方程的一般求根法，将古希腊几何过 继给中世纪的欧洲 。 近代数学一(15,16世纪) 伟达用符号表数，兴起了代数学用符号表数的风俗 。 (代数学的主要任务还是解高次方程，五次以上的解 法要等19世纪初期才有发展) 文艺复兴时期的欧洲: (为了打破神学关于天文学对天体运动的求解) 。 (此时的著作主要是手抄本，故学 术著作的流通不是非常广泛) 开普勒对天文学的探讨，伽利略对天文学，运动的探讨 笛卡尔用坐标解析 欧氏几何和阿波罗尼奥的曲线 。曲面 。同时关乎代数(解析几何和物理为代数元素) ，物理 （运动轨 迹），和

4、几何 （欧氏空间元素和曲线的性质），为微积分的发展供应了契机 。 射影几何(那时仅是画法几何的一部分)对欧氏几何以来的综合几何的进一步发展 近代数学二(17世纪) 保罗 （牛顿老师），维拉斯(无穷小) ，对牛顿提出微积分的影响 。 牛顿主要是从几何上给出了对力学的解析 。它对微积分的贡献主要在于微分 。运用的是无穷级数的方 法 。 来布尼兹，主要是从代数上给出了对几何的解析 。其对微积分的贡献主要在于积分 。它还提出了行列 式，组合数学领域的东西 。 cardan提出了复数，活尔斯已经分析并应用了复数，作出了复数的几何表 示 (建立了一系列皇家科学院，学术探讨的气氛很热情，但高校机构发挥的作用

5、不大) 现代数学一(18世纪) 欧拉，达朗贝尔， （拉格朗日，拉普拉斯，勒让德）发展了微积分的理论基础 。从今分析数学独立于几 何，代数，不再是牛忽然代用几何完成的那一套分析 。用分析来解析分析，这导致了分析数学的其它分 支 （变元法，偏导数，多值函数） 。这导致了更多的新学科 。解决了更多的物理力学，光学和天体学问 题 。 契机：复数的对数，椭圆的积分 偏微分方程的解是否存在的证明 欧拉，达朗贝尔进一步应用了复数，然 对其信念不足 （由于分析法对物理天文学的贡献，人们产生悲观主义心情，认为数学已发展到了极点） 现代数学一(19) 就像微积分统冶了18世纪的数学一样，函数论统冶了19世纪的数学

6、(它也是由分析泛生的) 。可以看 出，19世纪的数学主要也是分析的更高发展 （函数论，以及对更困难的积分方程，偏微分方程的研 究），及它与数学，几何融合产生的新学科(微分几何，代数几何) 。 18世纪主要是从深度和广度上拓展了分析,19世纪起先的时候关于微积分基础理论的完善工作还没有完成 （尤其是函数理论） 。因此急需对基础理论的加固 。因此，19世纪完成了这个工作之后，理应是函数论 等分析工作的进一步发展 。 柯西，维斯特拉斯 代数学的进一步发展仍旧是高次方程的求解，这其中有高斯和阿备尔，伽罗华等的工作 。导致了群论 。 复数得到几何解析 。 在综合几何的发展上，非欧几何的产生是一件大事 。

7、 现代数学二(20世纪) 我我们们学学过过的的数数学学 下面我们来说一下: 在小学的时候,我们学的是数的概念,此时是整数,这个时候的数学被称为算术,它不光探讨数,还探讨这些数 所涉及到的计算,比如四则运算和结合律,交换律等等.整个小学五年的数学,就是学习这些东西.事实上我们 后来知道,算术作为初级数学,它还包含一些高级的部分,比如数论,排列组合等等. 在中学的时候,我们被告知也可以利用字母作为未知数,这就导致了以未知数代替数的学科,这就是初级代 数,它最基本的表现形式,就是代数式,有单项式,多项式,以及对代数式的因式分解,代数式,就是方程的最简 单形式,整个初中三年的数学,我们学习的中心任务正

8、是解方程(组)的方法.(当然,此时我们学习的方程及求 根,是关于那种最简洁的方程形式,即一元四次以下的方程) 在初中,我们还学到,原来除了小学的整数外,还有负数和0,于是,数的概念被扩展为自然数.进而又导出了分 式,与根式,式(整式)的概念就相应地扩展了,发展出有理数和有理式,它们是有限小数和无限循环小数,无理 数就是无限不循环小数.它们就是实数. 值得一提的是,我是84年的人,当时的数学教材据说是改革教材,没有高级方程组和行列式.关于代数,我们就 学了初级代数. 关于几何,我们学了平面几何,最为引象深刻的是证明题.后来我们知道,这是欧式几何中的问题.(此时,并不 是解析几何) 关于神的存在及

9、其证明 数学，是一切科学的基础 。它是“神的旨意” 。 归妙法 。 在中学.教材先是介绍了集合.然后是介绍了集合上的映射,这就导出了函数,而函数是数学分析中的东西.函 数有它的一些性质,引象深刻的是三角函数,这个时候介绍的是初级函数的初级性质,尚没有讲到函数的高 级性质,即分析性质(导数,微积分),由于函数是探讨变量的科学,尤其在高级性质中这个体现更明显(函数必 然涉及到集合,映射,那种不确定的映射关系,就是函数的高级映射关系,称为函数的导函数,微分或积分),所 以,这事实上是用分析的方法来解决的函数问题.故谓分析数学(正如代数式跟方程放在一起被探讨一样,集 合与函数常放在一起被探讨). 关于

10、几何,介绍的是平面解析几何和立体几何.其中引象深刻的是抛物线,圆锥曲线等等. 高二的时候文理分科,到高三时,我们用的数学教材是文科的.于是我们还学了一点微积分的基础.即导数,极 限,等,对了,数的概念已被扩展到了复数. 近代以前的数学 近代数学之前的数学是探讨独立不成系统的数学及几何问题(数与形)的，比 如数论，解方程，三角几何，欧式几何等等 。除欧式几何的公理化系统之外，解方程 （那时 的方程是一，二次低次方程）及其它问题甚至都没有一套符号系统，不过全部这些工作，都 为近代数学的发展供应了基础，比如割圆思想之于积分，方程思想之于函数，等等 。 近代数学 近代数学，其开端就是高次方程求解和创建

11、符合系统表数(这是一种对数的更高层 抽象) ，于是出现代数 。 然后出现的是解析几何，它最初的目的也是为了把一切代数问题比 如方程问题用几何形式求解 （反过来也成立） 。它的意义在于建立代数手段表示几何现象的 联系，于是人们正式相识到学科之间融合产生新知的宝贵性 。 然后出现了变量的科学微积 分，把一切数学和几何，物理问题视为流淌着的量的科学(这也是学科交织产生新知的领域 之一) ，这导致了函数的出现和函数的高级性质 。 分析的发展使几何渐于低潮，他们把分析 视为代数的沿续，这个时代，代数主要的任务还是解方程，得出了五次方程不行能有解，这 个时期出现了方程组与行列式的理论，行列式是对五次方程求

12、解的尝试，它分开了方程和方 程的系数，并开创了对行列式的独立探讨 。 这个时期，几何的发展主要集中在微分几何上 。 微分几何作为分析与几何的结合，在这种夹缝下成长起来了 （它用分析的方法来探讨分析之 前的几何的曲线曲面及空间性质 。） 。 数学 个分支发展 事实上,该如何完整地看待数学的 个分支呢 我们留意到,整个数学的发展,都是围围着代数,几何,分析这三个方面进行的,因为这三大块是基础,其它的数 学分支,都是上上层的东西. 代数 代数的历史从算术的基础上发展而来(关于数学的皇冠数论,曾有一些故事),历史上,方程求根始终是潮流, 这种趋势始终到17世纪(阿贝尔和伽罗华发觉的关于一元五次方程求根

13、的理论为止),人们发觉,这个时期的 方程求根已经没有什么意思了(关于方程求根的动作,要等到结合分析数学才能有新的发展.那个时候的方 程求根,已经不叫代数了,而叫数值计算方法).因为代数本身,已经进入了抽象的代数系统时代.人们的爱好 集结到对代数性质本身的理解,任何 自成系统,封闭的一组数,和一些的运算法则,都可以组成一种“称为代 数”的东西.原来的实数和它们的运算可以组成一个我们最熟识不过的代数系统,矢量,事实上就是“3d顶 点”数学,事实上,也是一种代数.其它的例子,还有布尔(逻辑)代数,关系代数,组合代数. 我们知道,代数的中心任务是解方程,在高级代数阶段,解方程所需的元素(未知数的系数)

14、被抽象成了行和 列,而它们的运算,就是矩阵,用矩阵变换行列,就组成了一种“线性代数空间”.这也是高级代数中最主要的内 容.它解决了如何解一般方程的最一般的方法. 高级代数另一个意义在于,它将解方程的方法用系数的行列和矩阵表示,这就将整个方程的求解问题,形式 化为“公式”.这使得,任何跟线性代数空间同质的代数空间,比如矢量空间,都可以用解方程的方法去解决. 就整个代数来说,它的意义在于解决了如何计算的问题.而且这种问题往往是离散性质的.连续性质的,主要 集中在分析数学. 近世代数 阿贝尔和伽罗华对高次方程的求解探讨中，提出了抽象代数的原型 。这表示，只要 将问题拉开距离，提出一个更高的抽象，我们

15、才能发觉事物更高层的本质 。群论置换变换理 论和代数系统的出现 （比如矩阵运算的群，李群等等）及它不仅用于说明代数 自身的作用 （后来人们把，逻辑数学，数论等等也整理为“抽象代数” ，“代数系统”），表明这是近世代 数的开端 。 这个时候，物理上也出现了向量等等 。类似解析几何从代数上来说明几何问题一 样，从代数上探讨其它问题的另外一个表现是人们起先了用复数探讨平面上的向量的工作， 二个复数的和能够表示向量的相加的平行四边形法则，但是人们不能对复数和它的这种实力 作出几何上的说明 。 再就是复数和四元数的出现，依据群论，人们发觉，不存在三元组的组 合表示全部的向量的运算 。 于是出现变换的概念

16、 。线性代数 。 四元数是一种数系和代数 系统 。 不满意X法交换立，矩阵是不懑足X法交换立的另一类代数对象 。矩阵最初是作为行 列式的替代，但矩阵作为独立的数学对象是19世纪中叶以后的事情 。高斯的二次型 。 从 1850起先，数学家发展了一般的代数形式变换理论 。矩阵是他们手中极为有效的工具 。 独 立于四元数的三维向量代数和向量分析 。 几何 最初的几何是欧式几何,关于欧氏几何,其实我们在整个初中阶段和中学阶段学的都是它(解析几何不过是 笛卡尔在欧式几何的基础上加了一竖一横,并重新说明了一遍欧式几何而已,它利用的是代数的方法,然而 其实它的基础,依旧是欧式几何的思想,只不过欧式几何,是利

17、用更早的一套自成体系的相对原始方法来完 成的),它对于人类几何学,数学,甚至物理学的发展都是具有深远影响的,终归,它是在公元前 多 多年前,由 个人组织的一整套困难的理论体系. 这种“相对原始的方法”就是那种用圆规设备等最简洁的手段之类的东西定义的整个几何体系,它就是闻名 的欧氏公理体系,希尔伯特发展了它,称为希尔伯特公理体系,这些为了表示正确性而寻求的一套完备有限 的证明体系,它是计算机可计算性的原型(算法问题的始宗). 值得留意的是,欧式几何里面,还有立体几何的内容. 正如我们所知道的,后来又有了解析几何,相比于欧氏几何,它除了用代数的方法去说明几何问题这层意义 之外,它还有另外一层意义,

18、即提出了相关曲线与曲面的理论. 就整个几何来说,它的意义在于不光解决了几何问题.还尝试解决证明的手段与算法问题.(这种手段最终导 致了哥德尔的证明,并导致了计算机理论的产生) 几何的发展 直到这个时候为止，还是欧式几何 占统冶地位，解析几何只是变更了几何的说明法，它并没 有提出新的几何新知和几何理论 。 非欧几何即是这种新知的体现，它使几何从抽象上拓展 了 。在另外的空间上获得了新知 。(它并非否定欧式几何) ，而拓展整个几何，发展欧式几何 看不到的那些部分 。 当时，它是没有意义的，甚至得不到物理上的验证，因为它不是某种现 实的世界，欧式几何才是现实之几何比照物之一 。称为理论数学 （后来被

19、爱因斯坦在物理上 的相对论证明） 在罗彻夫斯基后，出现了李曼几何 。人们信任他们 自己所处的空间是对应某 种几何空间的，大多数人信任这个空间就是欧式空间，非欧几何使人们相识到，一张曲面也 能构成一个空间，欧式空间是非欧几何的一个特特例 。它仅仅对于描绘人们始终以来始终认 识的三维刚体空间的事物是affordable的 。 可以看出 。数学的发展在于不断抽象 。欧式几何 和 种非欧几何 （包括接下来谈到的射影几何）促成了一个“抽象几何” 。记得前面我们说过 抽象代数 希尔伯特空间之一的 维向量空间，内积空间 射影几何 射影几何在微分几何之前的年头，有过一次发展 。不过，只要在非欧几何的意义下，它

20、才得 到了一次充分的发展 。 射影几何和克来因的工作使人们相识到“几何是考虑变换之下的不变 性” 墨比乌斯提出了射影几何的代数解析法 。提出了齐次坐标 。 分析数学 历史上,分析数学产生于物理学(牛顿),几何学(尼布来兹),这二者和数学的结合处,当它们被一旦建立,就成 为整个数学,数学内部 个分支,和其它学科与学科分支的基础,它与代数,几何并列.成为派生其它学问的源 头. 首先,分析数学本身产生于物理和几何里.其次,用微分学问去解决几何,产生了微分几何.数值计算方法上,有 数值微分,数值积分等.第三,在偏微分方程学上,也有涉及. 就整个分析数学来讲,它的意义在于探讨了连续数的性质.使集合与函数

21、理念成为“一般化数学”的手段,最终 导致了泛集合论与泛函数论.这有助于哥德尔的证明. 集合论和泛函数分析 一方面，当新的数学理论被提出来时，人们也进行了加固原有数学概念，和体系的工作 。 康 托尔关于集合理论的发觉，就是一例 20世纪的拓朴学 小小结结 对方程的求根发展了数的概念为无理数，最终拓宽到复数，提出代数学基本原理，即复数域的 次方程 有 个根，数域不需再扩展 。 四元数是“视元组为数” ，复数是二元数，四元数，八元数就是超复数，它们和它们相关的运算公理组成 了独特的代数 。 元组被用来作向量分析，超元组则被用来说明向量分析，后来，这些超元组，超复数得到了几何和物理 上的说明，在物理上

22、，它们被说明为张量，“超越的量” ，在几何上，它们供应了一种使得一些量变得坐 标无关的手段，比如齐次坐标 。 古希腊的阿波罗尼奥独创了曲线理论，二次曲线理论后来被进一步导入到解析几何中被探讨 。 解析几何的出现是受阿波罗泥奥的工作的影响 。 与解析几何同时创立的射影几何，不运用解析的方法，可称为综合几何或纯粹几何方法 。 综合几何法不仅产生了射影几何还产生了画法几何，画法几何对拓朴变换的应用起了促进作用 。 解析法促进了分析法的产生 。因为坐标，使“人类进入了变量数学”时代 。它受伽利略等探讨的影响而促 发 。因为对曲线坐标的探讨要运用到 。 分析法也发展了已有的几何成果，将分析用于对曲线曲面

23、的探讨，就产生了微分几何 对分析学基础的探讨，是对实数的集合的探讨，发展了集合理论 。 依据克菜因对几何的分类法，欧氏几何属于运行群下不变的仿射空间 。 希尔伯特建立了三维欧氏空间的公理学 。但很简单推广到 维几何空间 。 过去一对一的连续变换群所立属的几何学发展为拓朴学 。 希尔伯特几何基础为全部的几何建立了一个严密的逻辑体系，但它的形式化志向不是指的它的几何基 础 。 由圆锥曲线论起先的代数曲线论，发展为一般代数流形的探讨，即代数几何学 。 这此都是20世纪四五十年头的几何，60年头又出现了计算几何 。和计算机证明数学 。 矩阵跟坐标轴一样，都是一种工具，而不是一种数学元素 。矩阵只是工具

24、，变换才是代数 。 微分几何学，用集合和拓朴的观点来探讨几何事物，陈省身更是建立了代数和拓朴的关系，使微分几何 发展到整体微分几何时代 。 对曲线引进参数表示，成为近代向量表示法的基础 。 拓朴学有许多分支，最早欧拉涉及的问题是组合拓朴，后来，与其它分支容合，还有微分拓朴，代数拓 朴，一般拓朴，点集拓朴学，等等 几何是关于形态的科学，必有关于形态的拓朴科学，这导出了拓朴数学 。 离离散散数数学学，组组合合数数学学，图图论论 离散数学与编程 把原来 自成整体的系统(为了让它能适合计算机处理而进行计算模型化)即离散化为计算机能识别和处理 的结构的过程称为离散,用计算机来进行纯数学的数值分析就频频反

25、映了这种现象, 离散数学,就是把数学 理论,形式化为计算机能处理的东西,什么是离散计算机本身就是一个巨大的离散概体,能让计算机来处 理数学,就必需把纯理论数学的一些因素形式化为计算机部件能理解的东西,因此会有形式语言的出现,因 为许多形式语言的低层学问还是图等数学学问,等它与计算机结合成为形式语言时,形式语言这门学问也就 成了离散数不的范围 计算机是一个离散结构,因为它的计算模型是属于离散数学的,但是有人会问了,我们 现在在运用的计算机跟图灵机有什么联系,错,还是图灵机,因为现在计算机是在图灵机上构建的更高层抽 象(我很庆幸你在第一章的抽象思想没忘),就像冯诺依曼思想一样,它还是现代计算机体系

26、结构的基础,请大 胆发散你的思维！ 离散数学探讨离散了的量,什么是离散?现在我们有足够的学问来更细致地说明它了,这 是因为计算机与数学结合后,传统的数学不再是数值计算了(而且即使是数值计算,当它与计算机结合后必 须被离散化),而且一些非数值的计算,传统的脱离了计算机处理的数学不行能完成,只能靠计算机,因此 这个过程中更加提出了一些新的计算形式和计算量,统称为离散的量,也即,传统数学已经演化到了与计 算机结合的离散数学了,全部的传统数学问题都可以用离散数学来探讨(也即用计算机来参加数学),详细 表现如下 集合,纯数学中的集合,用计算机来表达最好不过了,因为有布尔代数,这个代数很好地说明了计算 机

27、的运算器的工作方式 逻辑,图论(不但被计算机,而且被 个领域的 个分支运用) 代数系统,关系代数 (与数据库有关),有限自动机,正规集(与计算原理有关) 语语言言中中的的类类型型理理论论Type thery xxx 算算法法中中的的数数学学理理论论 ，复困难杂度度 ，NP完完全全，等等 xxx 数数据据库库科科学学上上的的关关系系代代数数与与集集合合论论 xxx 数数学学与与其其它它学学科科或或学学科科分分支支的的关关系系 在肯定意义上,几何学问,也是物理.比如,志向化了的欧氏空间,就是关于刚体物体所在的一种空间.当然,这 是数学上的建模. 抽象的几何，并不肯定可被形象化为图形，抽象几何探讨可

28、视化和不能被可视化的对 象，因此高于三维的几何，事实上也可被图形表示，只是我们感知不到 。但可以存在于我们的想象空间 中 。 关于维,其实在数学上,也可以建模为某些特定量,它们具有多个变动的重量.这就形成了函数.所以,数学上的 维和空间.不必肯定是3D的,而是 自由维的,比如,0就是0维空间,点就是一维空间,线,面就是二维空间,三维空 间也就是立方体空间,也有线面,之类.之类. 爱因斯坦后来发觉,我们真实的世界,是一种扭曲了的欧式空间. 种非欧几何学也供应了对我们这个世界 的其它说明(并丰富了几何学本身,随着非欧几何,射影几何的发展,几何也跟代数一样,进入了抽象几何体 系).微分几何,这样的学

29、科,是相对论的基础. 分析数学部分源于物理学瞬间运动和几何曲面切线探讨.牛顿本人一起先抵制学几何后来重拾几何最终提 出微积分,及物理力学的几大定律.柏拉图本人是一位哲学家和几何家.它对欧氏几何的发展有着不行磨灭 的作用.晚年的牛顿为了靠近上帝而死去.某某说过“头上的天空和内心的世界”之类的名言,可见,数学其实 是个可以不断被深化的学科,有人信任数学理念的背后就是那个造万物的神,天经地义地会有人为了接近这 位神而努力,直至献出他的青春与生命. 文毕 物物理理学学发发展展历历程程 从前面对数学的探讨得知，历史上地，数学问题 （特殊是几何）常常跟物理问题混合被探讨 。 数学物理，只是从数学上说明物理

30、，并不关乎真正的物理真理 。因为人们信任数学就是真正 。全部能在 数学上作出说明的东西，都是真理 。代数几何，微分几何更是如此，比如爱因斯坦的相对论，就被证明 是宇宙的物理模型 。 图图形形学学的的数数学学 计算机图形学中用到的数学学问又都有什么呢? 计算机图学形解决的问题是特定的,它用到的数学学问,几何学问,(有时甚至是物理学问)是特定的,然而这 种特定性正说明它处在某些特地的高层领域,故体现在数学上,这些涉及到的数学学问往往处在 数学分支 交叉上.并不干脆以数学三大基础作为基础. 首先,欧式几何中,有立体的内容,这跟图形学算法相关.其次,解析几何中的一次,二次曲线,曲面,射影几何中 的透射

31、,代数几何中的高次曲面,微分几何中的微分曲面,分形几何中的分维.数值计算方法中的函数插值.这 些都须要在计算机图形学中用到. 构造论指出,曲面,往往是一些插值后形成的连续线段“生成”的,所以,它并非肯定的数学上“ 曲面”,而是可以 被数学近似建模出来而已.(计算机表示,生成图形和纯数学理论上是不一样的,而且,就生成和表示来说,也 不一样) 与CG有关的微分几何仅涉及到分析几何 与CG有关的拓朴几何仅涉及到组合几何 与CG有关的曲面，仅 涉及到其方程表示 与CG有关的线性代数仅涉及到3D变换 与CG有关的计算几何仅涉及到细分与求交 布尔代数应用于神经网络 计算几何求距离必定涉及到拓朴 。 如何构

32、成，如何生成，如何处理，规则的多边形网格这三个概念是不一样的，如何构成是程序上的事， 如何生成，及处理，是计算几何上的事 。 （就像动画rog doll是程序限制的，还是生成的一样不解） 计算几何只保证一些除生成之外的事？ 多边形图形学不处理“非规则网格”？ 多边形图形学之“多边形”的说法，由“计算几何”构筑？ 计算几何是关于“多边形”的学说？也是其它几何的吗？那么是多边形的位置，还是拓朴？ 计算几何，是作为计算几何，计算物理，计算智能存在的“计算”吗？ 计算几何是组合科学，它只探讨如何用给定的点集合成三角面组成的网，并不探讨顶点间的距离等，也 不探讨拓朴 我们的图形学是纯多边形图形学吗，基于

33、图像的，和基于曲线的，是不是肯定要转化为多边形，混淆了 纯多边形的意义吗？ 多面体中，体就是闭面，面就是体 17世纪，在函数的概念没有充分相识之前，函数最初是作为曲线的表 达式来描述的 多项式是代数中的概念，在分析中的对应是函数和映射，以及集合，分析提出了函数，然而分析的发展 在集合论之前，在没有彻底解决集合概念之前，分析是不能长足发展的，只能止于微积分，微分几何这 样的课题，与现代集合论结合，它产生了实变函数论，等等 向量分析就向量分析，为什么又叫线性代数？向量分析是独立于解线性方程组的吧？又因为它是几何上 的映射？ 这样，在实变函数论的领域里又出现了靠近论的理论 。 实变函数论在复变函数论

34、之后 李曼把单值解析函数推广到多值解析函数，用拓朴学方法探讨复变函数论，发展成李曼曲面论，然后， 又发展了高斯关于曲面的学说，促成了微分几何的发展？ 流形是微分几何的概念，出现在李曼曲面前，还是后？是李曼曲面拓展了微分学还是拓朴学而出现了流 行，还是拓朴几何流形在先，然后被融进了李曼几何？ 表现在微分几何上，是从局部到整体，表现在拓朴上，是从低维到高维 黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深邃的函数的解析性质和几何联系 起来 。近来，关于黎曼曲面的探讨还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，渐渐地趋向于探讨它的 拓扑性质 。 逻辑主义就是从符号的意义动身，因为符号都是有

35、内容的，这难免会涉及到宗教等东西，所以导致了人 们的担心，而形式主义，即纯符号主义不会，符号没有实际内容 最初的微分几何仅探讨有限的几种状况，还远远没有到达对曲面本质属性-内蕴属性的理解，只有到达这 个境界，微分几何学才是真正意义上的起先 插值与拟合不一样，插值是数值计算中的，而拟合是微分几何中的 插值从数学上提共了一种手工制作动画如何运行的方式 数学发展到后来，由一个探讨课题导出一门新数学分支的状况越来越明显，这个课题可以与大量现有的 分支融合产生更新更综合更困难的数学分支 用线性的对象去靠近非线性的对象这种思想很重要 曲面就是surface,随意的面都可以通过曲面来描述，甚至正规多边形都可

36、以 在复变函数的眼光中，假如当函数的变量取某肯定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函 数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数 。 在同一个坐标系中的物体，它们之间的平移，就相对于以它们的质点中心为坐标系原点的坐标系的平移 在未知数的状况确定的状况下，方程的根与系统关系的探讨，使得出现了诸如行列式和矩阵等东西 代数几何学中要证明的定理多半是纯几何的，在论证中虽然运用坐标法，但是采纳坐标法多建立在射影 坐标系的基础上 。 (*)讲解与CG有关的几何，力学，等科学分支 。 （将来融入modeling,rendering作为其一部 分） 1 整个3D解决的,就是不停地模拟VR (现实中

37、恒久有我们参考的自然现象和数学手段).这其中一起先就是表 达一个跟现实世界一样的空间(和其中的物体及物体变动逻辑),关于以后如何做得更好(加入动画,交互,等 等,那是以后的事了) 在解决图形学的过程中,科学家们遇到了一系列问题并一一YY了对它们的解决之法.这就是图 形学算法.要弄清3d,我们要做的,就是要追寻着他们解决问题的历史脚迹,弄清晰它们是怎么样 YY的,(在用算法实现的层面,在这个过程中都有哪些问题存在.为什么会产生这个问题,详细算 法是怎么样解决这个问题的,用了什么数学手段,实现了什么对应的VR,最终形成了什么样的解 决方法构成的格局,假如是管线,它是做什么的,虽然全部这些都不必弄明

38、白是怎么样解决的,但 至少要知道它们是怎么样产生的),这就是学习图形学最好的路径. 不管如何,表达空间和空间 内的物体,这就是3D图形学要首先解决的问题和要达到的目的 模拟VR的起先, 为了做到以上工作,人们动用了几何手段,这种3d实质在数学上的解决方法的确是用真正的3d几何方法来 解决的,并能在显存中以3d形式表示,保存和处理 这就是至少具有三个坐标重量的顶点数据,但却是一 2 种“伪3d”,最终迫于我们显示设备和显卡的冲突,这种原来是3d的东西却要映射为2d (整个3d,在完成3d本身 之后,也要完成它归结为2d的额外事情.要把握这个“映射为2D”的时机发生的时候.它对于渲染器而言,一般 进行流水线靠最终的那段时间) 因为这种空间是用几何来表达的,所以是真正的现实空间的反应.对这种空间里物体的表示和 变动路径表示,事实上反映了真实世界中物体和物体变动. 虽然这是模拟的.但其实,用计算机 实现的现实只能是模拟的(计算机图形学并非要真正一丝不苟地实现现实,而且它也不能,它的 颜色都是显示器的光模拟的),其实,几何也是物理.几何所描述的理论,是对我们这个世界的解 释(这是物理学的使命).关于几何也是物理,请参照选读中的 3d开发中的数学和物理 因为 3 有人甚至不信任,几何是不是严格的 ,所以,现在为止,我们假装信任数学和几何是对的.3D上使 用的几何空间