基于改进最小二乘算法的tdoaaoa定位方法-闫雷兵.pdf

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1、第31卷第2期2016年4月电波科学学报CHINESE JOURNAL OF RADIO SCIENCEV0131，No2April，2016闫雷兵，陆音，张业荣基于改进最小二乘算法的TDOAAOA定位方法EJ电波科学学报，2016，31(2)：394400DOI：1013443jcjots201504190lYAN L B，LU Y，ZHANG Y RImproved leastsquares algorithm for TDOAAOAbased localization I-JChinese journal of radio science，2016，31(2)：394400(in Chi

2、nese)DOI：1013443jcjors2015041901基于改进最小二乘算法的TDOAAOA定位方法闫雷兵12(1南京邮电大学电子科学与工程学院陆音1 张业荣1，南京210003；2河南科技学院，新乡453003)摘 要 针对现有的两步加权最小二乘(Twostage Weighted Least Squares，TSWLS)和约束加权最小二乘(Constrained Weighted Least Squares，CWLS)在TDOAAOA混合定位中可能产生测量矩阵奇异的情况，提出了一种改进的CWLS算法来消除奇异矩阵求逆运算其主要思想是在约束条件下，用含有移动台位置坐标的价值函数对移动

3、台坐标和附加变量分别取偏微分，分离出引入的附加变量，使移动台位置坐标与附加变量分别位于线性方程的两边，求解关于附加变量的一元二次方程，因此避免了对奇异矩阵求逆的运算在零均值的高斯白噪声环境下，且移动台位于或接近监测基站阵列中心时，通过MATLAB仿真验证了改进的CWLS算法比TSWLS和CWLS算法均能取得更高的定位精度，可以达到克拉美一罗下界(Cram6rRao Lower Bound，CRLB)关键词 加权最小二乘；约束优化；到达时间差；到达角中图分类号TN92953 文献标志码 A 文章编号 10050388(2016)02-039407DOI 1013443jcjors20150419

4、01Improved least-squares algorithm for TDOAAOAbased localizationYAN Leibin912 LU Yinl ZHANG Yeron91(1College of Electronic Science&Engineering，Nanjing Universityof Posts Telecommunication，Nanjing 210003，China；2Henan Institute of Science and Technology，Xinxiang 453003，China)Abstract The twostage weig

5、hted least squares(TSWLS)and constrained weighted least squares(CWLS)are used to locate mobile station with TDOAAOA hybrid model。and they both have the samemeasurement matrix that become iIIconditioned when basestation present circular array distribution andMobileStation is close to the array center

6、An improved constrained weighted least square algorithm isproposed to circumvent this problemThe main strategy is to separate the mobile station coordinates andthe additional variable to different sides of the linear equations，the additional variable iS first solved via aquadratic equation in order

7、to avoid the inverse operation of illconditioned matrixUnder the zero meanGaussian white noise environment and the mobile station iS 10cated in or near the array centerthe simulation results evaluate its localization accuracy by comparing with the existing TSWLS and CWLS algorithmsas well as the Cra

8、m6rRao Iower bound收稿日期：20150419资助项目：国家自然科学基金(No61271236)联系人：张业荣E-mail：zhangyrnjupteducn万方数据第2期 闫雷兵等：基于改进最小二乘算法的TDOAAOA定位方法 395Keywords weighted least squares；constrained optimization；timedifferenceofarrival；angleofarrival引 言目标源定位技术在最近的几十年来一直备受科研人员的关注，也是当今世界科学领域的研究热点之一它广泛应用于雷达、声纳、导航、无线通信、传感器网络等领域，而快速

9、发展的蜂窝移动通信系统，使人们对移动台的定位技术越来越感兴趣，并且因政府的强制性要求和市场利益的驱动，基于定位服务的研究得到各大通信公司、大学和科研机构的重视由于通信系统中智能天线阵列的应用，服务基站(Base-Station，BS)可以测量移动台(MobileStation，Ms)电波到达角(Angleof-Arrival，AOA)，从而可以准确估计移动台的位置到达时间差(TimeDifference-ofArrival，TDOA)的定位技术，由于它能获得比较高的定位精度而成为移动台定位常用的测量技术之一，基于Chan定位算法，文章提出了TDOA和AOA混合定位技术，因此多个TDOA和AOA

10、测量值就可以构建关于移动台位置坐标的双曲线方程组I5然而解算方程组定位移动台并不简单，因为TDOA测量方法是非线性的，产生的方程组一般为超定的非线性方程组，求解非线性方程组有两种方法：一是直接解非线性方程组获取估计值6。7，文献E6提出了泰勒级数展开算法求解非线性方程，具有精度高，稳定性强等特点，但是该算法要求迭代运算的初始值必须接近真实值以防止发生局部收敛，并且算法的计算复杂度也比较高，在实际应用中比较难以实现二是通过引人附加变量把日线性方程组转化为伪线性方程组来求解8。1幻(引入变量与待求变量有关系)，文献83和9就是引入附加变量而不考虑引进变量与待求变量之间的关系进行计算，定位误差较大文

11、献11和文献E12分别对文献8进行了改进提出了两步加权最小二乘(Two Weighted Least Squares，TSWLS)算法和约束加权最小二乘(Constrained Weighted LeastSquares，CWLS)算法，改进后的两种算法在测量噪声误差较小的情况下，均能达到克拉美一罗下界(Cram6rRao Lower Bound，CRLB)然而当移动台到各个基站的距离相等或近似相等时，上述两种算法的测量矩阵都会出现奇异情况，此时测量矩阵变为奇异矩阵例如，当所有基站的排列是均匀圆阵列(Uniform Circular Array，UCA)，而移动台恰好在或者靠近圆阵列的中心时，

12、TSWLS算法和CWLS算法的定位误差很大，此时TDOA和AOA系统的测量矩阵出现异常产生奇异矩阵，文献11和文献-12的定位性能得不到保证而本文提出的分离变量的方法，避免了对奇异矩阵进行求逆运算，在测量误差较小的情况下，仿真结果表明文中算法具有较高的精度1 定位模型1I TDOA定位模型假设二维平面内分布着M个基站且M4，同样也可以扩展到三维空间1 3|假定移动台坐标为工一z，yT，第i个基站的坐标为Jiki，Y。7(i=1，2，3，M)，通常，将第一个基站作为参考基站由到达时差TDOA的测量值，经过转换得到距离差先，公式为，md+咒，i一2，3，M (1)式中：咒一，z。一行1，以i表示系

13、统测量误差；d“一d：一d。，d。表示移动台到第i个基站的距离，即d。=4(xz。)2+(yY。)2 (2)将式(2)代人式(1)，并且引入一个中间变量R。一d，一(zz。)2+(yy，)2，经过整理可得(ziz1)(zz1)+(y。一Y1)(j，一Y1)+r，】尺105(z，一z1)2+(了：一Y1)2一r；1+mm，i一2，3，M (3)式中：m一d儿，+05竹；，1式(3)用矩阵的形式表示为脚一h+m (4)P2一z1 YzYl rg1式中：El ； ； ；l；LMz。 yMy。 rM，。JO一zzl YY1 R1；m=m21m川7；厂(z2一z1)2+(y2一y1)2一(r21)2Il

14、=丢 ； L(zfz1)2+(yMy1)2一(rM，1)2j12 AOA定位模型第i个基站测得移动台的方位角为p。，当有系统测量误差，z：存在时，系统测量的方位角为万方数据396 电 波科 学 学报 第31卷他一虫+咒：，i一1，2，3，M (5)式中，声，为舻。的真实值系统测量方位角与移动台坐标和第i个基站坐标有如下的关系：tan“，一嚣辩拳一篇整理式(6)可以得到xsin(庐。+咒：)一ycos(。+咒：)一z，sin(i+行：)一ylcos(：+咒：) (7)把三角函数展开化简，当系统测量误差n：足够小时有sin，z：咒：，COS咒：1因此，我们可以得到系统测量误差剩余项为d。=九：(z

15、z：)COS声i+(yy：)sin庐。(8)式(7)经化简合并误差项可以用矩阵的形式表示为Hx=K+6 (9)式中：x一z，y1；6=占1，艿2，占M1；sin 911 一COS声门日一l ； i I；Lsin虹一COS虹-Jr z1 sin乒lYl COS庐1KI i JbMsin拳MYMCOS拳Mj13 TDOA和AOA混合定位模型很显然，不同的定位模型都有各自的优缺点，把两种定位模型混合使用，可以提高定位的精度或者减少定位所用的基站数目比较常用的是TDOA与AOA混合定位模型，联合式(4)和式(9)得到混合定位的矩阵形式方程为A0=q+N (10)厂 E 式中：AlH DMj；N一8+m

16、 4。小7一Eo，m，m；r hg 2 lKf JK70(z2一z1)sin声2一(Y2一y1)COS2i(z彳一z1)sinM一(My1)COSM根据文献11的TSWLS和文献12的CWLS算法，0可以通过式(11)求得：台一argmin(面一q)Tw(面一g)，DSt否T鲡=(；一z。)2+(夕一y。)2一良一o (11)式中：舀一宝一z。， 夕一y， 良。1是0的优化向量，是0的估计值；_s=diag(1， 1，一1)；W一(E(NNT)_1是加权矩阵，E)是期望，()1表示对()的求逆运算由文献12知TDOA系统的测量误差m与AOA系统的测量误差剩余项6的数学期望相等，假设咒。，咒j都

17、是方差为口；的零均值高斯过程，忽略二阶误差项，加权矩阵近似为w一(D一面) (12)式中：三一diag(ai，盯；，盯)+盯JM_1 J砬1；Ddiag(d，a。，c2M)；di和JM分别是d：的估计值和M1维全1的向量对于式(11)，一方面可以根据文献11两步加权最小二乘求解，结果为台wLS一(ATWA)-1ATWq (13)另一方面根据文献12，引入最小化拉格朗日乘子求解式(11)得L(台，A)一(舶一口)+加T昀 (14)式中，A是拉格朗日乘子通过约束加权最小二乘求解，结果为acwI。s一(ATWA+胳)-1A1Wq (15)式中A是四阶多项式式(16)的根善蒜静=0 (16)式中：“l

18、 U2地7=U7酗7w口；叫1毗W3TU叫ATwrq；ATWASUAdiag(善l曼蚤)u14 奇异矩阵混合TDOA和AOA定位过程中假定基站的分布符合UCA分布，且被定位的移动台恰好位于该圆周的圆心或靠近圆心，这时移动台到所有定位基站的距离都相等或近似相等，所以式(1)中的所有k。一0，而式(13)和(15)中都出现了(AWA)1奇异矩阵求逆的问题现实定位中，移动台和基站的位置分布并不是确切的UCA模型，并且还伴有系统测量噪声误差，然而，当噪声足够小时，近似UCA分布问题，同样也会遇到奇异矩阵的问题当ATWA出现奇异情况时，式(15)中A的数学期望为零，即EA)一0，因此式(15)的解也是一

19、个异常解为了清楚上述矩阵的奇异情况，式(15)可以变化为r(五+触)TW(五+从)+胳(0+加)一(五+从)Tw(i+却) (17)记AA+触，qq+细，awLsD+朋，A是无噪声情况下的A，假设噪声足够小的情况下，忽略二阶误差项可以得到万方数据第2期 闫雷兵等：基于改进最小二乘算法的TDOAAOA定位方法 397胚(o+A0)五1WAq+AA7嘶一五TWAAOAAlwXoA一1WAAO (18)由于Eaa一0 cM-1)3，E却)0(M1)1，0。表示mn阶0矩阵，E加)一0踟，由此我们得到EA一0，因为文献E12通过式(15)不能给出正确A值，故无法获得正确的。估计值2 改进CWLS算法针

20、对移动台和基站呈UCA分布或近似UCA分布，产生奇异矩阵无法得到最优解的情况，提出一种改进的CWI。S，称作分离变量的CWLS(SeparateCWLS，SCWLS)算法，将变量R。从待求变量0一工一27。 YY。 R。1中分离出来进行求解为了避免式(13)或者式(15)的奇异矩阵求逆运算，将式(10)改写为anqgRl+N (19)式中：GErA rA，g一A，A。是矩阵A的第i列；I一O。 DzOj是向量0的第i个元素根据式(19)，SCWI。S的价值函数可表示为，(I RI)一(G叶一q+gRl)1w(G叼一q+gRl) (20)式中，面一舀。 舀：1是变量tI的优化向量，该值可使价值函

21、数J(面良。)在约束条件下获得最小值时的t，即，Iarg minJ(面良。)，叶stTtIR； (21)求解式(21)最小值问题等同于求解拉格朗日函数最小值问题：L(i，卢，R，)一(G叩一q+gR，)1 W(G叩一q+球，)+3(71面一哀)(22)式中J9是拉格朗13乘子对式(22)的求解，可以把L(tI，3,R1)中的两个未知数看作常量而另一个未知数看作变量进行微分，然后将微分后式子等于零进行计算将L(叼，卢，良。)对面进行微分可得aL(面，p，哀。)a亩一2GTw(G,iq+g良)+2卢，I (23)根据式(14)和(15)，移动台的估计位置为而一(G1WG+芦：)一1(G1wqGw球

22、。)(24)式中p和R。是待求的未知量同理，将L(t，卢，R-)对R。进行微分，R，的估计值为卧号系萨 ，把式(24)代人约束条件式(21)得到一个一元二次方程扳；+球。+f一0(26)式中：a一(G7Wg)1(G1WG+2)-2G7Wg一1；b一一2(GTwq)(G7WG+口2)_2G1Wg；C=(G1wq)7(G1WG+盆|2)2G7wq从上述公式可以看出没有出现奇异矩阵ATWA求逆的运算由于在式(24)中叼是关于R。和卢的一个函数，且R，在式(26)中和卢有关，因此，首先计算出卢的值对比式(11)和式(21)可推出，两个拉格朗日乘子A和p必须相等，因为有A口一qG町一q+gR，和舀7鲡一

23、T而一良乱通过式(15)可知口最多可能存在四个实根，式(26)中R。最多两个正根理论上，我们要选择一组卢，R。，面值使得式(20)的值最小，这组卢，Rt，而)即为待求的最后结果选定一个可能的p值，并且注意式(26)中复数解和负数解，方程(26)的根R，的选择由下面几种情况决定，由于一624凹，且R，0，因此有：1)A一5 dB时，SCWI。S和CWI。S的MSE都非常接近CRLB，但TSWLS偏离CRLB较大当噪声功率大一点的时候，噪声会使式(15)中此(AtWA+胚)减小，并且降低CWLS对错误数据的敏感性，因此CWI。S的MSE能够达到CRLB下界图2假设移动台坐标为2 8T，从图中可以看

24、到TSwI。S，CWLS和SCWLS的MSE分别在P一24 dB，一10 dB，0 dB的时候各自达到CRLB这三个P值点分别称作它们的阈值，一旦高于各自的阈值，相应估计值的MSE都将高于CRLB，这就是在非线性估计时当噪声功率超出阈值时出现所谓的阈值现象11|SCWLS比TSwI。S和CWI。S具有更高的阈值，是因为在R，根的选择过程有效地减轻了误差噪声的影响图1移动台坐标为E49 51I时的MSI图2移动台坐标为2 81时的MSE图3在1 000次试验中，移动台在四个基站所组成方形区域内位置坐标随机变化的MSE从图中可以看到SCWIS具有比TSwI。S或者CWI。S更小的MSE由于发射源的

25、位置是随机的，它可能偶尔靠近5 5，使得TSWLS和CWLS形成异常情万方数据第2期 闫雷兵等：基于改进最小二乘算法的TDOAAOA定位方法 399况从而导致更大的MSE图4是移动台坐标为20 8T时MSE，超出了基站形成圆形边界从图中可以看出这种分布下阈值降到p一8 dB，对于户0 dB，算法给出了带有偏差的估值，且它们的MSE低于CRLB有可能是估计值存在偏差，它的MSE比CRLB更小_口冒XogPdB参考文献1 曹轶超，方建安，罗贤云一个基于TDOA的无线定2334图3移动台坐标为随机分布下的MSE 53PdB图4移动台坐标为20 837时的MSE4结论由于TSwLS和CWLS方法存在对

26、奇异矩阵求逆的问题，文章提出了SCWI。S方法，无论移动台离基站阵列中心的距离远与近，甚至于刚好位于阵列中心的情况下，实验证明SCWLS算法都是最优化的算法，而其他两种算法的MSE都在CRI。B之上仿真结果同时表明重新构建一个合适的价值函数是很必要的，它能在移动台靠近UCA中心时表现出更好的性能，获得更小的阈值改进算法不仅可以优化TDOA和AOA混合定位模型中的测量数据，而且也可以优化其他引入了附加变量的混合定位模型中的测量数据。67189IO位新算法J电波科学学报，2008，23(5)：841846CA0 Y C，FANG J A，LU0 X YConstrained leastsquare

27、s and wireless location based on TDOA measurementsJChinese journal of radio science，2008，23(5)：841-846(in Chinese)邓平，李莉，范平志一种TDOAAOA混合定位算法及其性能分析J电波科学学报，2002，17(6)：632636DENG P，LI L，FAN P ZA hybrid TDOAAOA location algorithm and its performance analysisJChinese journal of radio science，2002，17(6)：632

28、636(in Chinese)范平志蜂窝网无线定位M北京：电子工业出版社，2002：109123I。IU C F，YANG J，WANG F SJoint TDOA andAOA location algorithmJJournal of systems engineering and electronics，2013，24(2)：183188鲍君海，张晓林，张秀强，等一种高精度移动多站无源定位方法J电波科学学报，2014，29(3)：424430BA()J H，ZHANG X L，ZHANG X Q，et a1Newmethod with high accuracy for mobile m

29、ultistationpassive locationJChinese journal of radio science，2014，29(3)：424430(in Chinese)FOY W HPosition location solutions by Taylor-series estimationJIEEE transactions on aerospaceand electronic systems，1976，12(2)：187 194QU B P，SHAO G，JING Z RAn improved TDOAlocation algorithm in LOS environmentC

30、2012 4thInternational Conference on Intelligent H uman-Machine Systems and Cybernetics(IHMSC)，Nanehang，August 26-27，2012IEEE，2012：70-73DOI：101109IH MSC201223HUAGANG YU，GAOMlNG HUANG，J UN GA()An efficient constrained weighted least squares algorithm for moving source location using TDOA andFDOA measu

31、rementsJIEEE transactions on wireless communications，2012，1l(1)：44-47SMITH J O，ABEL J SClosed form leastsquaressource location estimation from range-difference meanurementsJIEEE transactions on acoustics speechsignal processing，1988，35(12)：16611669郝本建，李赞，万鹏武，等传感器网络基于特征值分解的信号被动定位技术J物理学报，2014，65(5)：05

32、4304万方数据400 电 波科 学 学报 第31卷111-1213HA0 B J，LI Z，WAN P W，et a1Passive source Io-calization using RROA based on eigen-value decomposition algorithm in WSNsJActa physica sinica，2014，65(5)：054304(in Chinese)CHAN Y T，H0 K CA simple and efficient estimator for hyperbolic locationJIEEE transactions onsignal

33、 processing，1994，42(8)：19051915CHEUNG K W，S0 H C，MA W K，et a1A constrained least squares approach tO mobile positioning：algorithms and optimalityJEurasip journal on applied signal processing，2006(1)：020858章坚武，唐兵，秦峰Chan定位算法在三维空间定位中的应用I-J计算机仿真，2009，26(1)：323325ZHANG J W，TANG B，QIN FApplication of Chan

34、location algorithm in 3-dimensional space locationJComputer simulation，2009，26(1)：323 325(inChinese)作者简介闰雷兵 (1980一)，男，河南人，南京邮电大学电子科学与工程学院在读博士研究生，主要研究方向为蜂窝无线网络定位、认知无线电技术萄陆音 (1970一)，男，江苏人，博士，南京邮电大学副研究员，硕士生导师，主要研究方向为无线通信与电磁兼容、认知无线电技术张业荣 (1963一)，男，安徽人，博士，南京邮电大学电子科学与工程学院教授，博士生导师，主要研究方向为移动通信系统与设计、电磁场的数值计算、UWB信道等(上接第313页)刘传辉 (1984一)，男，山东人，讲师，博士，主要研究方向为现代通信新技术、非正弦波通信陈昭男 (1985一)，男，山东人，讲师，博士，研究方向为现代通信新技术、非正弦波通信康家方 (1987一)，男，河南人，讲师，博士，研究方向为现代通信新技术、非正弦渡通信曩h熊万方数据