基于格点拓扑的数字图像分析-国维洁.pdf

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1、中图分类号： 0189UDC： 510密级： 公开学校代码： 10094诃I解为尤李硕士学位论文(学历硕士)基于格点拓扑的数字图像分析Analysis of DigitalImages Based on A Grid Point7Ibpology作者姓名：指导教师：学科专业：研究方向：论文开题日期：国维洁王彦英教授应用数学代数拓扑与微分拓扑2016年4月25日万方数据学位论文原创性声明J掣掣煅剿本人所提交的学位论文基于格点拓扑的数字图像分析，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中己经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做

2、出重要贡献的个人和集体，均已在文中标明。本声明的法律后果由本人承担。论文作者(签名)：国组苫历门年y月2日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。(保密的学位论文在年解密后适用本授权书)论文作者(签名)：目维沽力f7年岁月2f日 紫鬻名)激扣f，7年l广月讥日、II、M友踢、I，名日签，船缝如认；矶月教#导下删矿万方数据摘 要拓扑学方法是数字图像分析中重要的方法之一，本文研究

3、基于格点拓扑(简称M一拓扑)的三维数字图像分析出于实现图像变换的需要，自然考虑与格点拓扑联系的M一连续映射和肛同胚，然而这些映射在数字图像分析中明显有些刚性，常见的一些旋转变换和平移变换甚至都不姻M一连续映射为了实现对数字图像更有效地分析，本文引入了MA映射和M小同构白1概念，在此基础上定义了M一邻接范畴，并同另两个范畴进行了比较，讨论了这些范畴中几种数字简单闭曲线的等价分类本文证明了Z3上的M邻接关系等价于数字6-邻接关系；Z3上的MA映射等价于数字6-连续映射，它也是保持多种连通性的一种映射，亦毛M一连续映射的推广；MA一同构是M一同胚的推广本文还证明了sc彭1和sc籍2是MIi!J胚的当

4、且仅当z1=f2，这里s咧代表z3上具有f个元素的简单闭M一曲线；sc嚣j和sG麓是MA一同构的当且仅当f1=f2，这里sc掰A代表z3上具有f个元素的简单闭MA一曲线一最后，本文针对三维数字图像的约化定义了M4一收缩映射，与拓扑意义下的收缩映射相七较，MA收缩映射在约化三维数字图像时显得更有效关键词：数字拓扑；M一扣扑；M一连续映射；M一同胚；M一邻接；MA一映射；M冉同构III万方数据IV万方数据AbstractA topolo舀cal method is one of the iIIlportam methods in d诤tal image anaJysisThethesis focu

5、ses on the analysis of 3D digital images based on a grid point topology(simply，Mtopology) In order to study the transformation of digital images，we discuss someproperties of Mcontinuous maps and订-homeomorphisms However these maps盯esomewhat r垮d and some common rotatio璐and translations盯e not even Mcon

6、tinuousmaps F0r more e&ctive aJlalysis of digital images，the thesis introduces an MAmapand an MAisomorphism，and then gives a de6Ilition of an Madjacent catego吼withwhich the other two categories are comparedC1ass汾cation of a number of simple closedcur、，es in these categories are discussedThe thesis p

7、roves that in 3D digital space Z3，anMadjacency is equivalent to a digital 6-删acency；an MAmap is equivaJent to a d酒tal6-continuous map，is connectedne8s-preser、ring as a generalization of an彳一continuousmap；an MAisomorphism is a genera_lizations of an A彳-homeomorphismMoreo、rer thethesis also proves tha

8、t s(搿1 is M-homeomorphic to sc留2 if and only讧21=f2，wheres(搿means a simple closed仁curve with f elements in z3；sc恐is MAisomorphic tos(了i数if and only if f1=f2，where sc甓厶means a simple closedMAcurve with z elementsin Z3Finauy，the notion of彳Aretralct map is introduced to t11in digital images and it ismor

9、e eHIective in the thinnillg of 3D di舀tal ima翟es，compared with the topology retractKeywords： Digital topology；朋一topology；Mcontinuous map；Mhomeomorpllism；M-adjacency；MA-map；MAisomorphjsmV万方数据目 录中文摘要III英文摘要V第一章预备知识 311基于数字邻接的几个概念 3111数字七一邻接关系 3112数字后一邻接导致的“连通性矛盾” 4113 Zn上混合的数字(七，石)一邻接关系 5114 数字范畴DTC 6

10、12基于拓扑的几个概念 7121拓扑空间 7122数字拓扑 8第二章212223第三章31323334Z3上的M拓扑M拓扑M一邻接和数字七一邻接的比较连通性的几个性质M连续映射和M同胚的推广M一连续映射和M一邻接映射MA一映射321 MA一映射的建立322 MA一映射的性质MA一同构331 MA一同构的建立332 MA一同构的性质三个范畴间的比较11111314778894466I坞蝎均孔丛弱孙万方数据第四章三种意义下简单闭曲线的比较和分类2941三种意义下的简单闭曲线的比较29411 s碟厶和s馥2的比较29412 s嘞和s咧的比较2942简单闭曲线的分类3043基于M一拓扑的数字图像的约化

11、32第五章总结和展望3551本论文工作总结3552下一步工作展望36参考文献37后记41II万方数据引 言数字图像分析是一门多学科的交叉理论，主要涉及图论、拓扑、计算机科学等图论方法9，10，19，20，24，28，36，3叫2，45，48和拓扑方法【8，12 16，25，28，39，43，“，46】在数字图像分析中发挥着重要的作用令Z表示整数集，汐表示咒维欧式空间中具有整数坐标的点的集合，称为礼维数字空间当扎=l时，即为整数集Z，也称为l维数字直线；当礼=2时，也称为2维数字平面从数学的角度看，数字图像可以认为是定义在数字空间子集上的函数基于图论的数字图像分析始于20世纪60年代，由ARDs

12、enfeld教授提出28】，他首先定义了2维和3维数字空间上的数字七一邻接关系，引入图论作为研究工具，图论的研究成果为数字图像分析提供了基础为了比较数字k邻接关系下数字图像的异同，又引入了数字惫一连续映射，数字尼一同构和数字范畴等，随着研究的深入，人们发现了数字后一邻接关系在应用中的不足之后又引入了拓扑学的思想和方法用于数字图像分析1969年，EKhaHmsky引入了一维数字直线上的K一拓扑119l，1990年，他推广到二维数字平面上的K一乘积拓扑20l，之后又推广为高维空间的K一乘积拓扑在此拓扑之下，研究了一连续映射和K一同胚的性质，借助K一连续映射引入了缸拓扑范畴，为进一步研究基于肝拓扑的

13、数字图像提供了理论依据1970年，DMarcus和FWyse提出了二维数字平面上的M一拓扑【3引，之后又推广到高维空间的M一拓扑在此拓扑之下，研究了数字图像间的从连续映射和M一同胚的性质，借助M连续映射引入了M一拓扑范畴，为研究基于M一拓扑的数字图像提供了理论依据在数字图像分析中，基于拓扑的连续映射和同胚对数字图像变换和比较有着重要的作用然而，研究者发现有些旋转变换和平移变换不是连续映射因此，开始考虑能否给出更广泛的一类映射使其包含旋转变换和平移变换，并对于数字图像分析还是有效的2013年，SEHan和ASostak基于数字空间的K一拓扑，引入像素之间的K一邻接关系，从而定义了一类映射15，它

14、是缸连续映射的推广，并有效的应用于数字图像分析另外，像素之间不同的邻接关系决定了数字图像连通区域的不同划分一般说来，数字七一邻接关系与其它邻接关系并不是独立无关的，找到它们之间的关系成为重要的研究课题2015年，SEHan基于2维数字空间Z2上的M一拓扑引入了肛邻接关系，证明了在2维数字空问Z2上的数字缸邻接关系可以通过M邻接关系来实现14】同时也证明了z2上的数字8邻接关系不能通过M一邻接关系来实现类似地我们可以考虑下面的问题：在3维数字空间z3上哪些数字路一邻接关系(知6，18，26)可以通过拓扑邻接关系来实现?为了回答上述问题，本文从3维数字空间Z3上的胁拓扑结构出发，找到了数字七一邻接

15、关系和肛邻接关系之间的联系，给出了数字6-邻接关系和M一邻接关系的等价性在万方数据此基础上，还引入了两种新的映射，分别称为MA映射和MA一同构它们是在M一拓扑下连续映射和同胚的推广本文利用MA一同构还对一类数字图像实现了分类，同时考虑了利用MA收缩映射对数字图像进行约化处理这一部分作为引言，较详细地介绍了本课题的研究背景和实际意义并从数字图像分析所涉及的主要问题出发，对数字图像分析理论方面的最新研究成果进行了简要综述最后，概述了本论文的组织结构本文的结构安排如下：第一章预备知识总结了一下借助数字邻接的办法和数字拓扑的办法研究数字空间的一些基本概念第二章Z3上的M一拓扑回顾了M一拓扑的定义，在M

16、一拓扑下引入了从邻接关系，对M一邻接和数字七一邻接间的关系作了比较，并且研究了z3上的连通性的几个性质第三章M一连续映射和M一同胚的推广本章建立了MA一映射，并将它与M一连续映射和肛邻接映射进行了比较，得出在应用时MA一映射比M一连续映射和M一邻接映射更有优势接着，利用MA映射建立了MA一同构，且研究了MA一同构的性质，并对3个范畴MTC，MAC，DTC(七)进行了比较第四章三种意义下的简单闭曲线的比较和分类本章对s，s咧，s僻2七6，18，26)进行了比较和分类然后建立了基于MA一映射的MA一收缩映射，并与M一收缩映射进行了比较，得出MA一收缩映射在约化三维数字图像时是更有效的第五章总结和展

17、望对全文内容的总结和展望2万方数据第一章预备知识图论方法和拓扑方法在数字图像分析中发挥着重要的作用，本章我们首先介绍涉及到图论方法【9，10，19，20，24，28，36，3州2，45，48】和拓扑方法910，19，20，24，28，36，39-42，45，4剐的一些基本概：含令Z表示整数集，汐表示礼维欧式空间中具有整数坐标的点的集合，称为凡维数字空间当佗=1时，即为整数集Z，也称为1维数字直线；当佗=2时，也称为2维数字平面对z上的任意两点z和，记陋，可z=mzIzmy)11 基于数字邻接的几个概念本节涉及以下概念：数字b邻接关系，数字七一邻接集，数字尼一邻接邻域，数字缸连通，简单闭数字尼一

18、曲线111 数字七一邻接关系ARJosenfeld首先在2维数字平面z2上引入两点之间的数字尼一邻接关系【41|，七=4或8定义11(数字4一邻接41)2维数字平面z2上的2个点p=01，p2)和g=(驰，92)是数字4邻接的当且仅当慨一91 J+fp2一口2l=1，该邻接关系记作A4这个关系A4是对称的和非自反的定义12(数字4一邻接集和数字4一邻接邻域【411)点p=(p1，忱)的数字4-邻接集定义为A4(p)=(p11，忱)，(p1+1，pz)，(p1，p21)，01，p2+1)-点p=(p1，p2)的数字4一邻接邻域定义为4(p)=Aa(p)u如)，如图1(a)所示定义13(数字8一邻

19、接)2维数字平面z2上的2个点p=(p1，p2)和q=(ql，口2)是数字8-邻接的当且仅当maXIpl一91 l，Ip2一q21)=1，数字8_邻接关系记作A8这个关系A8也是对称的和非自反的类似地，定义14(数字8一邻接集【41】和数字8-邻接邻域【41】)点p=(p1，p2)的数字8邻接集为A8(p)=11，p2)，(p1+1，p2)，(p1，p21)，01，p2+1)，(p11，p21)，(p11，p2+1)，(pl+1，p2一1)，(p1+1，p2+1)一A4u(pl一1，p21)，(p11，p2十1)，(p1+1，p21)，(pl+1，p2+1)点p=(p1，p2)的数字8一邻接邻

20、域为8(p)=山)up)，如图1(b)所示3万方数据图1：(a)点p的数字厶邻接邻域，(b)点p的数字8一邻接邻域在3维数字空间z3上，存在点p的数字6、18和2昏邻接关系【8，28，41，42，45，4引，在对应邻接关系下的邻接邻域如图2所示图2：(a)点p的6-邻接邻域，(b)点p的18_邻接邻域，(c)点p的26邻接邻域112 数字尼一邻接导致的“连通性矛盾，JDrd口扎曲线定理是平面R2上一个重要的定理，首先回顾一下该定理的内容定理11(Jord礼曲线定理28，55】)若J c R2是一条简单闭曲线，则R2一J恰有2个连通分支，并且每一个连通分支的边界都是JJordon曲线定理成立意味

21、着任何简单闭曲线都能将平面剩余的部分分为两部分，即曲线内部和曲线外部利用数字尼一邻接关系直接将JDrdnn曲线定理推广到数字空间往往会引起连通性矛盾4万方数据图3：数字珏邻接导致的“连通性矛盾”，七4，8)如图3所示，2个白点被6个黑点所包围，若按照数字8-邻接来考虑，则6个黑点是连通的，且可以形成一封闭曲线，但是这个封闭曲线不能将中间的白点和别的白点分开，即不能将剩余的部分分为两部分而如果按照数字垂邻接来考虑，则黑点将中间的白点和别的白点分开，即黑点将白点分为两部分，与此同时6个黑点不连通，不能形成一封闭曲线为解决这个矛盾，对黑点用数字4邻接，对白点用数字8一邻接，反之亦然从而这个混合的数字

22、(4，8)一邻接【8，28】(对黑点用数字4邻接，对白点用数字8一邻接)和混合的数字(8，4)一邻接(对黑点用数字8一邻接，对白点用数字垂邻接)解决了这个问题113 汐上混合的数字(七，雨)一邻接关系作为2维数字平面上数字4、8一邻接关系和3维数字空间上数字6、18、26一邻接关系的推广，n维数字空间汐上的数字后一邻接关系定义如下：定义15(加上的数字舡邻接关系【9，11)对于一个自然数m，1mn，在n维数字空间z“上的2个不同的点p=慨)扼【1，叫z和口=(吼)【1，。】z称为数字七(m，佗)一邻接的(简记为数字k一或七一邻接)若(1)有至多m个指标i使得慨一吼I=1和(2)对其它的指标i有

23、A=吼显然Z”上的数字尼(m，n)一邻接关系由2个数m，礼来决定【9，111用上面的定义15，可以得出zn上的数字舡邻接关系如下：尼=撕，n)=印碟=毒 (11)比女口，礼=4时，后(1，4)=8，尼(2，4)=32，后(3，4)=64，后(4，4)=80；n=5B寸，七(1，5)=10，后(2，5)=50，尼(3，5)=130，七(4，5)=210，七(5，5)=242；5万方数据n=6时，庇(1，6)=12，惫(2，6)=72，七(3，6)=232，七(4，6)=472，七(5，6)=664，岛(6，6)=728定义16(数字图像【28|)数字图像是一个函数P，P定义在汐的一个子集G上，G

24、中的每个元素称为一个像素，对每个像素pG，P(p)称为像素p所对应的像素值(表示灰度或颜色)对2维或3维的数字图像，通常取G为长方形或长方体网格本文主要研究二值数字图像，数字对象用黑点表示，背景用白点表示为了避免数字珏邻接导致的“连通性矛盾”，在数字图像中采用混合的数字(七，i)一邻接，七代表黑点集x上的邻接关系，矾表x的余集(白点集)上的邻接关系然而，在本文中不考虑X的余集上的不邻接关系，仅研究带有数字七一邻接关系的黑点集X c汐，记作(X，后)【14，24，41，4引利用定义15，进一步给出汐上的点p的数字虹邻接集和数字七一邻接邻域的定义定义17(扩上的点p的数字七一邻接集【8，14，24

25、，28，41，45】)zn上的点p的数字七一邻接集是集合A(p)=g p和q是数字七一邻接的)定义18(扩上的点p的数字七一邻接邻域【8，14，24，28，41，45】)：(p)=Ak(p)up】r称为点p的数字七一邻接邻域利用这些定义，在孔维数字空间Zn上又可以定义数字七一道路，数字七一连通集和简单闭数字后一曲线定义19(1)(数字七一道路【24，28】)序列(孔)iMz c z”，这里zo=z，轨=可，且若甄和z件1是数字惫一邻接的(i0，f1z，f1)，则称这个序列是从z到可的长度为l的数字七一道路若存在从z到可的数字后一道路，则称z和可是数字缸连通的此外，若铷=勋，则称这个数字七一道路

26、为闭的数字尼一道路(2)(数字七一连通集【2428)子集M c矿称为数字克一连通的，若对于任意的z、可M，使得z和可在M中是数字后一连通的，即存在从z到的数字七一道路()。Mz c M(3)(简单闭数字后一曲线【2428)如果数字尼一道路(甄)i0l】z c汐满足甄和是数字七一邻接当且仅当歹=i+1或者i=J+1，则称它是长度为z的简单道路，其长度记作氏(zo，zI)如果再满足zo=zf且观和zj是数字缸邻接当且仅当J=i+1(mod 2)或者i=J+1(mDd f)，则称其为具有f个元素的简单闭数字七一曲线，记作s曜”114 数字范畴DTC为了把(x，)的每一个数字七。一连通的子集映到(y后

27、1)的数字路1一连通的子集，借助于拓扑学的思想和方法，给出了连续映射在离散结构下的推广，建立了数字连续映射的概念设zx c z“，记肌x扛)=x n帆(z)，但为简便起见，以后在不引起混淆的情况下，常常把札x(z)中的下脚标x省略，简记为帆(z)6万方数据定义110(数字连续映射【9，10)设(五)和(h)分别是z“。和z“，上的子集，称映射，：(x，)_(七1)是数字(，七1)一连续的，如果对于每一点zx，有，(扛)c肌。(，(z)在此定义110之下，若=h，则称映射，为数字一连续的此外，平移和旋转变换是数字一连续映射在拓扑空间中，有连续映射和同胚的概念类似地，在带着数字尼一邻接关系的数字空

28、间中，有数字连续映射和数字同构的概念因为(x，忌)是带着数字缸邻接关系的集合x c zn，则可以利用数字连续映射，引入数字同构的概念定义111(数字同构【14)对于z”。上的(x，)和zn，上的(V后1)，称映射厂：(x，)。(y；惫1)是数字(七o，后1)一同构，若映射，是数字(，h)一连续的双射，且映射，的逆，一1：(尼)-(x，)是数字(七-，)一连续的在上述定义111中，若礼o=礼1，且=七1，则称映射厂为数字一同构基于这些概念，可以定义数字范畴如下：定义112(数字范畴【9，12)数字范畴记作DTC，包含下列对象和态射(1)汐上的带着数字七一邻接关系的集合(x，后)作为对象；(2)对

29、象间的数字(后o，)一连续映射作为态射在DTC中，若no=n1，且七o=七1=后，则记作DTC(七)12 基于拓扑的几个概念本节回顾了一般拓扑空间和连续映射的定义，并在此基础之上回顾了基于拓扑的数字图像分析的相关概念121拓扑空间首先，回顾一下拓扑空问的相关概念定义113(拓扑空间【28】)(S，T)称为拓扑空间当且仅当T是S的子集族且满足如下条件：五：咖，s)c T死：丁中若干元素的并也在T中死：丁中有限个元素的交仍在T中7万方数据T称为S上的拓扑，且它中的元素称为开集【28J令(s，T)是拓扑空间且x c s，则(x，取)也是拓扑空间，这里取=Anx AT)，称X是S的拓扑子空间【28定义

30、114(邻域【28)设(x，取)是拓扑空间，zx如果u是x的一个子集，满足条件：存在一个开集y致使得zy c U，则称U是点z的一个邻域易见，如果U是包含着点z的一个开集，那么它一定是z的一个邻域，于是称U是点z的一个开邻域定义115(拓扑连通28】)x称为拓扑连通的当且仅当它不是X的两个不交的非空开集的并定义116(连续映射28】)设x和y是两个拓扑空间，：xy如果y中的每一个开集u的原像，-1(u)是x的一个开集，则称厂是从x到y的一个连续映射，或简称映射，连续定义117(同胚28)设x和y是两个拓扑空间，如果，：x_y是一个一一映射，并且，和厂1：yX都是连续的，则称，是一个同胚映射或同

31、胚定义118(拓扑空间的同胚128】)如果存在一个同胚，：Xy，则称拓扑空间X和拓扑空间y是同胚的，或称X和y同胚，或称X同胚于y122数字拓扑数字图像分析需要连通子集、子集边界等的概念，这些正是拓扑中的概念拓扑方法的引入为数字图像的分析提供了另一种思路首先，回顾一下数字拓扑的定义定义119(z2上的数字拓扑【7】122上的拓扑T称为数字拓扑当且仅当满足(1)若Z2上的子集是数字4-连通的，则它是拓扑连通的(2)若z2上的子集不是数字8-连通的，则它不是拓扑连通的文献7证明了在z2上仅存在2种数字拓扑，一个是2维格点拓扑，也称为M一拓扑，另一个是EKhalimsky乘积拓扑定义120(z3上的

32、数字拓扑I 7)z3上的拓扑T称为数字拓扑【7】当且仅当满足(1)若z3上的子集是数字6-连通的，则它是拓扑连通的；(2)若Z3上的子集不是数字26-连通的，则它不是拓扑连通的；(3)对于任意一点。z3，包含z的最小开邻域是数字6-连通的8万方数据文献7】证明了在z3上仅存在5种数字拓扑，其中2个是低维数字空间上的乘积拓扑；1个是3维格点拓扑，也称为M拓扑；其余2个不是乘积拓扑本文主要研究基于M一拓扑的数字图像分析9万方数据万方数据第二章 Z3上的M拓扑本章针对所要研究的内容，较详细地回顾了有关肛拓扑的相关概念，并在此基础之上定义了Z3上的两个不同点间的M邻接关系和一点pZ3的M一邻接集，然后

33、对M一邻接和数字七一邻接间的关系作了比较，并且研究了连通性的几个性质21肛拓扑研究基于且仁拓扑的数字图像的性质，需要回顾M一拓扑空间的基本概念定义21(M拓扑空间【14，28，39】)设p=0l，z。)z”，g=(y1，)z”，叩1)=口I Izl一1l+Iz2一垅I+Iz。一I1)，s删：f切) 【77，仞)， if z1+z。是奇数；if z1+z。是偶数 (21)以S(p)为基生成的拓扑称为矛上的格点拓扑或M一拓扑，(z“，M)记为M一拓扑空间，S(p)也是包含点p的最小开邻域特别地，n=1时，p=zz，若z是奇数，则s(p)=z)；若z是偶数，则s(p)=zl，z，z+1拓扑结构如图4

34、所示_6 5 _4 -3 _2 o O 1 2 3 |l S 5 7图4：M一直线拓扑的结构【28n=2时，p=(z1，z2)z2，若z1+z2是奇数，则s(p)=切)；若z1+z2是偶数，贝0S(p)=(z1，z2)，(z1，z2+1)，(z1，z21)，(z1+1，z2)，(z11，z2)-对于Z2中的任意一点p，按照其坐标分量的奇偶性可分为4种：(奇，奇)、(奇，偶)、(偶，奇)、(偶，偶)若z-+z。是奇数，则称p为奇点，包含2种情况：(奇，偶)、(偶，奇)；若z1+z2是偶数且每一个甄(i=1，2)都是奇数，则称p为偶点，包含1种情况：(奇，奇)；若z1+z2是偶数且每一个孔(i=1

35、，2)都是偶数，则称p为双偶点，包含1种情况：(偶，偶)奇点、偶点、双偶点分别用实心小黑点，实心大黑点和空心四边形表示，则2维格点拓扑的结构如图5所示万方数据， 1 、 ， 7 、 7 一 一 7 一 。 。 ， 7 、 ， 1 7 1 L7 ， 1 1 ， 、 ， 、 。 J图5：2维格点拓扑的结构11 4】礼=3时，p=(z1，z2，z3)z3，若z1+z2+z3是奇数，则s(p)=和)；若z1+z2+z3是偶数，贝0s(p)=(z1，z2，z3)，(zl，z2，z3+1)，(z1，z2，z31)，(z1，z2+1，z3)，(z1，z21，z3)，(z1+1，z2，。3)，(z11，z2，

36、z3)对于z3中的任意一点p，按照其坐标分量的奇偶性可共分为8种：(奇，奇，奇)、(偶，奇，奇)、(奇，偶，奇)、(奇，奇，偶)、(偶，偶，奇)、(偶，奇，偶)、(奇，偶，偶)、(偶，偶，偶)若z1+z2+z3是奇数，则称p为奇点，包含4种情况：(奇，奇，奇)、(偶，偶，奇)、(偶，奇，偶)、(奇，偶，偶)；若z1+z2+z3是偶数，且其中一个甄是偶数(i=1，2，3)，则称p为偶点，包含3种情况：(偶，奇，奇)、(奇，偶，奇)、(奇，奇，偶)；若z1+z2+z3是偶数，且每一个z；均是偶数(i=1，2，3)，则称p为强偶点，即为(偶，偶，偶)奇点、偶点、强偶点分别记作实心小黑点，实心大黑点和

37、空心四边形图6给出了3维格点拓扑的结构本文主要针对基于3维格点拓扑的数字图像进行分析12图6：3维格点拓扑的结构万方数据接下来回顾一下M一拓扑空间的下列概念定义22(1)(M一连通)x c z”，称空间(x，奴)是仁连通的，若它不能分成x的两个非空不交开集之并(2)(简单闭肛曲线)在(z“，M)中具有z个元素的简单闭肛曲线是指从商空间o，fzo。z到(z“，M)中的同胚映射的像，其中【o，2】z是(互M)的子空间，且f为大于等于4的偶数；o，f】z02是0，f】z中把。和f粘合在一起的商空间记为s吲=(黾)t一1】z22 M一邻接和数字七邻接的比较定义23(点间的M一邻接)在(z3，M)之下，

38、称z3上2个不同的点p和口是竹邻接的勘S(q)或者gS0)在(z3，M)之下，对于pz3，所有与p是从邻接的点构成的集合g pS(口)或者gs(p)称为p的M一邻接集，记作朋40)，如图7所示图7：MA(p)的结构根据一点pz3的M一邻接集的定义，可以得出p的M一邻接集的基数8MA0)=6为了更精确地表示MA(p)，将其与一点的数字尼一邻接集进行比较则可以得出pz3时，MA0)=A6)，从而得出下列结论：定理21在Z3上的肛邻接关系和数字6-邻接关系是等价的13万方数据证明当pz3时，MA(p)=A6(p)，从而得出M一邻接关系和数字6-邻接关系是等价的 口注1由定理21可以得出，在Z3上，M

39、一邻接和数字18邻接、数字26-邻接是不等价的且M一邻接是数字18一邻接，也是数字26-邻接，但反之未必成立23连通性的几个性质利用2个不同的点的M一邻接，可以定义下列定义：定义24(1)(空间的竹邻接)考虑2个拓扑空间(A，地)和(B，)，且A和B是非空子集，若AnB=D且存在点oA和点6B使得点。和6是M一邻接的，则称A和B是A扛邻接的(2)(MA一连通)称空间(x，地)是MA一连通的，若它不能是两个不交的非空的且不M一邻接的空间的并(3)(MA一连通分支)对于一点zx，在x中包含这个点z的最大的MA一连通的子集称为点zX的MA一连通分支若集合X是点z的MA连通分支，则X是MA一连通的由定

40、义19、定理21和定义24可以得出：定理22设p，g：=x1 c(z3，M)，(1)若gA26)MA(p)，则子空间(x1，蛾。)既不是M4连通的也不是数字6_连通的(2)若gMA(p)，则子空间(五，地，)既是MA一连通的也是数字6-连通的证明(1)若口A26(p)MA(p)，则子空间(x1，螈。)显然不是M4一连通的因为gA26(p)MA(p)，由定义23可以得出p和q不是M一邻接的，则子空间(蜀，慨，)可以是两个不交的非空的且不M一邻接的空间和】和口)的并所以(x1，地，)不是MA一连通的由定理21可知z3上的M一邻接关系和数字6一邻接关系是等价的则当pz3时，MA(p)=A6(p)由q

41、A26)MA0)可以得出，qA26(p)A6(p)由定义17可以得出p和q不是数字6-邻接的，则子空间(M，地，)中p和口不是数字6-连通的，由定义19(2)可以得出子空间(墨，地，)不是数字6连通的(2)若qMA(p)，则子空间(置，地，)显然是MA一连通的因为口MA(p)，由定义23可以得出p和口是M一邻接的，则子空间(墨，地，)不能是两个不交的非空的且不肛邻接的空间的并所以(X】，M配)是MA一连通的由定理21可知z3上的M一邻接关系和数字6一邻接关系是等价的则当pZ3时，MA(p)=A6(p)由口MA0)，则gA6(p)，则子空间(墨，奴，)中p和口是数字6_连通的，由定义19(2)可

42、以得出子空间(x1，地，)是数字6-连通的 口14万方数据由定义22和定义24，可以得出：定理23设p，q)：=x1 c(z3，M)，(1)若gA26(p)MA(p)，则子空间(五，地，)既不是MA一连通的也不是M一连通的(2)若gMA(p)，则子空间(蜀，坛。)既是MA连通的也是M一连通的证明因为(z3，M)是亚历山德罗夫(A2ezo佗打D，)空间，又是蜀空间，所以可以得出在(z3，M)上，对于z3中的2个不同的点p和口，它们是M一邻接的当且仅当子集(如，口)=墨，地。)是M一连通的(1)考虑z3上2个点p和g，使得qA260)MA(p)，因为(z3，M)的拓扑结构，要证明子空间(p，q】=

43、x1，螈，)既不是MA一连通的也不是M一连通的，所以可以考虑下面8种情况，在这8种情况下子空间(如，gr=墨，地，)既不是MA一连通的也不是M一连通的情形1p和口都是偶点，则2个单点集(p)和(q】都不是(z3，M)上的开集，但是在空间(切，口)=x1，螈。)之下，这2个单点集都是开集，从而可以得出(如，口)=x-，眠，)既不是MA一连通的也不是M一连通的情形2p是偶点，口是强偶点，这种情况下的证明和上面情况1的证明类似情形3p是强偶点，g是偶点，这种情况下的证明和上面情况l的证明类似情形4p和口都是奇点，则2个单点集切)和口)都是(z3，M)上的开集，从而可以得出(和，口=墨，螈。)既不是M

44、A一连通的也不是M一连通的情形5p是奇点口是偶点，则单点集妇)是(z3，M)上的开集，口不是(z3，M)上的开集，但是在空间(和，g)一xl，螈。)之下，这2个单点集都是开集，从而可以得出(p，q-=x1，地，)既不是MA一连通的也不是M一连通的情形6p是奇点，口是强偶点，这种情况下的证明和上面情况5的证明类似情形7p是偶点，q是奇点，这种情况下的证明和上面情况5的证明类似情形8p是强偶点，q是奇点，这种情况下的证明和上面情况5的证明类似(2)由于(z3，M)的结构，对于任意一点pz3，和任意一点qA6(p)=MA(p)，子空间(p，q)=x1，地，)显然是MA一连通的，因为它不能是2个非空的

45、不交的不M一邻接的集合的并也显然是M一连通的，因为它有最小的开集x1和如)或者x1和q) 口注2由定理22和定理23，可以得出在(矛，M)之下，(1)子集切，q)=墨是数字6一连通的仁号五是MA一连通的乍x1是M一连通的(2)子集切，口=x1是MA一连通的，则它是数字18一连通的，也是数字26一连通的但反之未必成立即对于子集如，q一墨z3而言，MA连通乍号数字6_连通=j数字18一连通=j数字26一连通15万方数据万方数据第三章M连续映射和M一同胚的推广本章建立了两个新的映射MA映射和MA一同构，M小映射是M一连续映射和仁邻接映射的推广，MA一同构是肛同胚的推广本章研究了MA映射和MA同构的性质，并对3个范畴M丁C，MAC，DTC(七)进行了比较31 M一连续映射和M邻接映射现在回顾M一连续映射和M二邻接映射设zx