2022初三数学课件：《函数对称性的探究》.docx

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1、2022初三数学课件：函数对称性的探究 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个中学数学的基础，对称关系还充分体现了数学之美。下面课件网小编为您举荐初三数学课件：函数对称性的探究。 一、 函数自身的对称性探究 定理1.函数 y = f （x）的图像关于点A （a ，b）对称的充要条件是f （x） + f （2a-x） = 2b 证明：（必要性）设点P（x ，y）是y = f （x）图像上任一点，点P（ x ，y）关于点A （a ，b）的对称点P（2a-x，2b-y）也在y = f （x）图像上，∴ 2b-y = f （2a-x） 即y + f （2a-x）=2b故

2、f （x） + f （2a-x） = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P（x0，y0）是y = f （x）图像上任一点，则y0 = f （x0） f （x） + f （2a-x） =2b∴f （x0） + f （2a-x0） =2b，即2b-y0 = f （2a-x0） 。 故点P（2a-x0，2b-y0）也在y = f （x） 图像上，而点P与点P关于点A （a ，b）对称，充分性得征。 推论：函数 y = f （x）的图像关于原点O对称的充要条件是f （x） + f （-x） = 0 定理2.函数 y = f （x）的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f （a +x）

3、 = f （a-x） 即f （x） = f （2a-x） （证明留给读者） 推论：函数 y = f （x）的图像关于y轴对称的充要条件是f （x） = f （-x） 定理3. 若函数y = f （x） 图像同时关于点A （a ，c）和点B （b ，c）成中心对称（a≠b），则y = f （x）是周期函数，且2| a-b|是其一个周期。 若函数y = f （x） 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f （x）是周期函数，且2| a-b|是其一个周期。 若函数y = f （x）图像既关于点A （a ，c） 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a&

4、ne;b），则y = f （x）是周期函数，且4| a-b|是其一个周期。 的证明留给读者，以下给出的证明： 函数y = f （x）图像既关于点A （a ，c） 成中心对称， ∴f （x） + f （2a-x） =2c，用2b-x代x得： f （2b-x） + f 2a-（2b-x） =2c（*） 又函数y = f （x）图像直线x =b成轴对称， ∴ f （2b-x） = f （x）代入（*）得： f （x） = 2c-f 2（a-b） + x（*），用2（a-b）-x代x得 f 2 （a-b）+ x = 2c-f 4（a-b） + x代入（*）得： f （x）

5、= f 4（a-b） + x，故y = f （x）是周期函数，且4| a-b|是其一个周期。 二、 不同函数对称性的探究 定理4.函数y = f （x）与y = 2b-f （2a-x）的图像关于点A （a ，b）成中心对称。 定理5.函数y = f （x）与y = f （2a-x）的图像关于直线x = a成轴对称。 函数y = f （x）与a-x = f （a-y）的图像关于直线x +y = a成轴对称。 函数y = f （x）与x-a = f （y + a）的图像关于直线x-y = a成轴对称。 定理4与定理5中的证明留给读者，现证定理5中的 设点P（x0 ，y0）是y = f （x）图像上

6、任一点，则y0 = f （x0）。记点P（ x ，y）关于直线x-y = a的轴对称点为P（x1， y1），则x1 = a + y0 ， y1 = x0-a ，∴x0 = a + y1 ， y0= x1-a 代入y0 = f （x0）之中得x1-a = f （a + y1） ∴点P（x1， y1）在函数x-a = f （y + a）的图像上。 同理可证：函数x-a = f （y + a）的图像上任一点关于直线x-y = a的轴对称点也在函数y = f （x）的图像上。故定理5中的成立。 推论：函数y = f （x）的图像与x = f （y）的图像关于直线x = y

7、成轴对称。 三、 三角函数图像的对称性列表 函 数 对称中心坐标 对称轴方程 y = sin x （ kπ， 0 ） x = kπ+π/2 y = cos x （ kπ+π/2 ，0 ） x = kπ y = tan x （kπ/2 ，0 ） 无 注：上表中k∈Z y = tan x的全部对称中心坐标应当是（kπ/2 ，0 ），而在岑申、王而冶主编的浙江教化出版社出版的21世纪中学数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y = tan x的全部对称中心坐标是（ kπ， 0 ），这明显是

8、错的。 四、 函数对称性应用举例 例1：定义在R上的特别数函数满意：f （10+x）为偶函数，且f （5-x） = f （5+x），则f （x）肯定是（ ）（第十二届希望杯高二其次试题） （A）是偶函数，也是周期函数 （B）是偶函数，但不是周期函数 （C）是奇函数，也是周期函数 （D）是奇函数，但不是周期函数 解：f （10+x）为偶函数，∴f （10+x） = f （10-x）. ∴f （x）有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f （x）是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f （x）的对称轴，因此f （x）还是一个偶函数。 故

9、选（A） 例2：设定义域为R的函数y = f （x）、y = g（x）都有反函数，并且f（x-1）和g-1（x-2）函数的图像关于直线y = x对称，若g（5） = 1999，那么f（4）=（ ）。 （A） 1999； （B）2000； （C）2001；（D）2002。 解：y = f（x-1）和y = g-1（x-2）函数的图像关于直线y = x对称， ∴y = g-1（x-2） 反函数是y = f（x-1），而y = g-1（x-2）的反函数是:y = 2 + g（x）， ∴f（x-1） = 2 + g（x）， ∴有f（5-1） = 2 + g（5

10、）=2001 故f（4） = 2001，应选（C） 例3.设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）= f（1-x），当-1≤x≤0时， f （x） = - x，则f （8.6 ） = _ （第八届希望杯高二第一试题） 解：f（x）是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f（x）对称轴； 又f（1+x）= f（1-x） ∴x = 1也是y = f （x） 对称轴。故y = f（x）是以2为周期的周期函数，∴f （8.6 ） = f （8+0.6 ） = f （0.6 ） = f （-0.6 ） = 0.3 例4.函数 y = sin

11、（2x + ）的图像的一条对称轴的方程是（ ）（92全国高考理） （A） x = - （B） x = - （C） x = （D） x = 解：函数 y = sin （2x + ）的图像的全部对称轴的方程是2x + = k+ ∴x = - ，明显取k = 1时的对称轴方程是x = - 故选（A） 例5. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）= -f（x），当0≤x≤1时， f （x） = x，则f （7.5 ） = （ ） （A） 0.5 （B） -0.5 （C） 1.5 （D） -1.5 解：y = f （x）是定义在R上的奇函数，∴点（0，0

12、）是其对称中心； 又f （x+2 ）= -f （x） = f （-x），即f （1+ x） = f （1-x），∴直线x = 1是y = f （x） 对称轴，故y = f （x）是周期为2的周期函数。 ∴f （7.5 ） = f （8-0.5 ） = f （-0.5 ） = -f （0.5 ） =-0.5 故选（B） 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第9页 共9页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页