浅谈微分中值定理及其应用_党艳霞.docx

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1、 2010年 2月 第 10卷第 1期 廊坊师范学院学报（自然科学版 ） Journal of Langfang Teachers College(Naturnal Science Edition) Feb.2010 Vol. 10 No. 1 浅谈微分中值定理及其应用 党艳霞 (驻马店职业技术学院，河南驻马店 463000) 【摘要】多角度阐述微分中值定理及其三个定理之间的关系，并举例说明微分中值定理的应用。 【关键词】微分中值定理；极值；介值定理 On Differential Mean Theorem and Its Application DANG Yan-xia 【 Abstract

2、】 This article deeply expounds the relationship between differential mean theorem and its other theorems from several perspectives and illustrates the differential mean theorem applications with examples. 【 Key words】 differential mean theorem； extreme； intermediate value theorem 中图分类号 0172 文献标识码 A

3、文章编号 1674 3229(2010)01 0028 04 1 引言 微分中值定理是构成微分学基础理论的重要内 容，是微分学中的基本定理，是研宄函数性质的有力 工具。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也 是微分学理论应用的桥梁与基石。但其理论性较 强，内容抽象，在教学过程中又容易照本宣科，导致 学生学习兴趣不大，而且难于理解和应用，容易得出 错误结论。下面针对这一现状，着重论述微分中值 定理及其应用。 2 微分中值定理 2.1微分中值定理的基本内容 微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联 系的三个定理，它们分别是罗尔定理、拉格朗日定理 和柯西中值定理。具体内容如下： 2.1.1罗尔定理如

4、果函数 =/(x )满足： (1) 在闭区间 a， 列上连续； (2) 在开区间 （ a， &)内可导； (3) 在区间端点的函数值相等，即 /(a)= 尸 (6)，那么在区间（心 6)内至少有一点 $( 0)，显然 _y = x3 在 fl， fl上连续，在 （一 fl， fl )内可导， /(0) = 0,但是不存在 a, (3 fl， fl，a 0;当 x ?时， /(x) 。 根据介值定理，至少存在一点 a 5 , 使得 F(a) = ,即 /( = /($+ S)， 则取 (3= S + 就有 /() = /卬）。 若 /(?一 S)/(5+ S)， 作辅助函数 F(x) = /(x

5、) /(5 S)， 采用上述方法，同理可证，故原 命题成立。 2.4.2拉格朗日定理 2.4.2.1拉格朗日定理结论中的点 5不是任 意的 请看下例： 问题 “ 若函数 /(X)在 (a,+ )(a为任意实 数 ） 上可 导 ， 且 = C(C为常数），则 ) = 0” 这一命题正确吗？ 证明设 X为任意正数，由题设知 /(X )在闭 区间 x,2x上连续，在开区间 （ x， 2x)内可导，由 拉格朗日定理知 ,至少存在一点彡 (x,2x),使得 广 , ( 2 x ) ,(x)， 又因为 lim 厂 (x) = c,故 lim (2 X ) - = 0 由于 夹在 i与 2x之间， x 当

6、x + 00时， $也趋于 + ，于是 lirp /x)= x + 29 2010年 2月 廊坊师范学院学报（自然科学版 ） 第 10卷。第 1期 = 。 上述证明是错误的，原因在于 5是随着 x的变 化而变化，即 5 )， 但当 X + 00时， ) 未 必连续地趋于 + M可能以某种跳跃方式趋于 + S而这时就不能由 /(。趋于 0推出 lim/(x) x-H- = 了。 例如 函数 /(x) = 满足 = 根据介值定理，存在卩 5, 5 + 恥使得 F (3) = ,取 = 5 就得到 。 若 /($+ 5)2-/(S- 5)+ocr x + 为常数 )，则 lim /(x ) = 0。

7、 X-*- o 2.4.2.3 如何才能使具有任意性的结论 定理 4 设函数 7 =/(x)在闭区间 a， 纠上 连续，在开区间 （ a, 6)内可导，且导函数 / (x )是严 格单调函数，则对任意 5 (a, 6)，一定存在， (3 G a, A , a /0)，则作辅助 函数 于是 F(5+ g) = .， （ S+ 5)2 /(专一 5) /($) , F(e) = (e) .f 5) /， (专） =广（ 8) 5 （专 一 5)1 =/， (0)-/， () 0. (- 0 微分中值定理主要是利用函数导数在区间上所 具有的特征去研宄函数本身在该区间上的性质，在 研宄函数的性质上是一

8、个非常有利且方便的工具。 下面举例说明。 3.1 零值点 (根的存在性 ） 例 1 不求函数 /(x ) = (x 1 )(x 2)(x 3)的导数，说明方程 /(X) = 0,有几个实根，并指 出它们所在的区间。 解显然 f(x)在区间 1， 21、 2,31上都满足 罗尔定理，所以至少有 (1， 2)， (2, 3)使得 /( & ) = O， / ) = ,即方程 /(x ) = 0 至少有 两个实根。又因为 / (X ) = 0是一个一元二次方程， 最多有两个实根，所以方程 / (X ) = 0有且仅有两 个实根，且分别在（ 1，2)和 (2, 3)内。 3.2 证明不等式 例 2 设

9、 /(x)是可微函数，导函数 /(X)严格 单调递增，若 /(a ) = /(6) ( 6 )，试证：对一切 X e (a，6)， 有 /(x)/(a) = /(6)。 证 明 任 意 取 一 点 x 6 (， 6 )，应用拉格朗曰 定理， 3$ e (， x)， ” e (x， 6)使得 ,，（ $) = , ) = fib) fix) J x a b x 因为 /(x)是严格递增，所以 /(”/(U 即 f (x ) 厂 (a ) f ( b ) fix ) x a b x 整理变形得： (6 a )/(x ) （ x a )/(6) + (6 x )/(a )， 根据条件 /(a) =

10、/(6)，可得： /(xX f(a) = f(b) 3.3 求极限 例 3 l i m7l + tanx-7l+smx X 0 xCl cosx) 解 f it) = K/ 1 +，则 /Q )在 sinx， tanx满足拉格朗日定理，有 。 30 。 第 10卷。第 1期 党艳霞 :浅谈微分中值定理及其应用 2010年 2月 1 + tanx 1 + sinx tanx smx / ,1 , _， (sinx $ tanx )， 2 7 1 + ? 代入原式 =lim tanx sinx x 2 x 7 1 + ? (1 cosx ) v tanx (1 cosx) lim x 2 x 7

11、1 + ? (1 cosx ) sinx 1 1 lim , - s X 2x 7 1 + 5 cosx 3.4证明恒等式及等式 例 4 设 /(x)在区间 a， 6上连续，在 (a， 6) 内有二阶导数，试证：存在 c 6 (a， 6)，使 /(6) ab 2 + /(a)= (6 a)2/(c)/4。 证明 由己知得 arb / 一 2/ / 一 2 a b 2 + / a b /(a) a + b b a f ar b 2 2 J 2 b a 2 作辅助函数 9(x): 上式等于 /(a: b a -/(x )， 则 9 a + b 2 -9(a) b a 5 + 2 b a 5+0 2

12、 b a (5) b a 2 b a b a 2 其中 2 5+0 b a G (a9 b)， 0 d 例 5 设 /(x )在 a， 6连续，在 （ a， 6)内可导 (0 a 6)， /(0)#/(6)，证明： 使得 /(安 )=与 f/(v 。 证明 令 F(x) = X 2,利用柯西中值定理有 : f(b) f(a) = f(V b 2 - a 一 21 再利用拉格朗曰定理有 /(6) /(二 /) (6 a )， 综上所述，有 ， (5 )(6?)= b a f(V 2V 整理变形得 / ( ） =广 （ 1)。 参考文献 1同济大学应用数学系 .高等数学 M.北京：高等教育出 版社

13、， 2008. (上接 27页） 根据步骤 3,将模糊矩阵 分解成 Z, U三 个确定数矩阵，并计算得到最大特征根对应的特征 向量： Xi = (0.6255, 0.5447, 0.1963, 0.4175, 0.3149)， XM = (0.6335, 0.5279, 0.2112, 0.4115, 0.3256)， Xt/ = (0.6315, 0.5006, 0.2173, 0.4462, 0.3560)。 根据步骤 4,得到 w = (0.6135,0.6255,0.6335) (0.5006,0.5279,0.5447) (0.1963,0.2112,0.2173)。 (0.4115

14、,0.4175,0.4462) (0.3149,0.3256,0.3560) 假设决策者是风险中立的，令 P = 0.5,得到排 序向量 w = (0.2952,0.2481， 0.0985,0.2011， 0.1571)。 参考文献 1 Loargoven V an, Pedrul ZW. A fuzzy extension of Satty5 s priority theory J . Fuzzy Sets and System, 1983, 11 (1 )： 229-241. 2 常大勇，张丽丽，等 .经济管理中的模糊数学方法 M. 北京：北京经济学院出版社， 1995. 3 关冲，李汉铃 .模糊 AHP决策方法 _!.管理工程学报， 2001， 15(1 ):63 64. 4 许若宁，翟晓燕 .层次分析中 Fuzzy判断矩阵的建立及其 排序 J.系统工程， 1988,6(5):52 61. 5 Saaty T L. The Analytic Hierarchy Process M . New York： McGraw, Inc, 1980. 6 肖钰，李华 .基于三角模糊数的判断矩阵的改进及其应 用 J.模糊系统与数学 .2003, 17(2):59 64. 31