2022年初三数学课件：《函数对称性的探究》.docx

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1、2022年初三数学课件：函数对称性的探究函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个中学数学的基础，对称关系还充分体现了数学之美。下面课件网小编为您举荐初三数学课件：函数对称性的探究。一、 函数自身的对称性探究定理1.函数 y = f （x）的图像关于点A （a ，b）对称的充要条件是f （x） + f （2a-x） = 2b证明：（必要性）设点P（x ，y）是y = f （x）图像上任一点，点P（ x ，y）关于点A （a ，b）的对称点P（2a-x，2b-y）也在y = f （x）图像上，∴ 2b-y = f （2a-x）即y + f （2a-x）=2b故f （x

2、） + f （2a-x） = 2b，必要性得证。（充分性）设点P（x0，y0）是y = f （x）图像上任一点，则y0 = f （x0） f （x） + f （2a-x） =2b∴f （x0） + f （2a-x0） =2b，即2b-y0 = f （2a-x0） 。故点P（2a-x0，2b-y0）也在y = f （x） 图像上，而点P与点P关于点A （a ，b）对称，充分性得征。推论：函数 y = f （x）的图像关于原点O对称的充要条件是f （x） + f （-x） = 0定理2.函数 y = f （x）的图像关于直线x = a对称的充要条件是f （a +x） = f （a-x

3、） 即f （x） = f （2a-x） （证明留给读者）推论：函数 y = f （x）的图像关于y轴对称的充要条件是f （x） = f （-x）定理3. 若函数y = f （x） 图像同时关于点A （a ，c）和点B （b ，c）成中心对称（a≠b），则y = f （x）是周期函数，且2| a-b|是其一个周期。若函数y = f （x） 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f （x）是周期函数，且2| a-b|是其一个周期。若函数y = f （x）图像既关于点A （a ，c） 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f

4、（x）是周期函数，且4| a-b|是其一个周期。的证明留给读者，以下给出的证明：函数y = f （x）图像既关于点A （a ，c） 成中心对称，∴f （x） + f （2a-x） =2c，用2b-x代x得：f （2b-x） + f 2a-（2b-x） =2c（*）又函数y = f （x）图像直线x =b成轴对称，∴ f （2b-x） = f （x）代入（*）得：f （x） = 2c-f 2（a-b） + x（*），用2（a-b）-x代x得f 2 （a-b）+ x = 2c-f 4（a-b） + x代入（*）得：f （x） = f 4（a-b） + x，故y = f

5、（x）是周期函数，且4| a-b|是其一个周期。二、 不同函数对称性的探究定理4.函数y = f （x）与y = 2b-f （2a-x）的图像关于点A （a ，b）成中心对称。定理5.函数y = f （x）与y = f （2a-x）的图像关于直线x = a成轴对称。函数y = f （x）与a-x = f （a-y）的图像关于直线x +y = a成轴对称。函数y = f （x）与x-a = f （y + a）的图像关于直线x-y = a成轴对称。定理4与定理5中的证明留给读者，现证定理5中的设点P（x0 ，y0）是y = f （x）图像上任一点，则y0 = f （x0）。记点P（ x ，y）关于

6、直线x-y = a的轴对称点为P（x1， y1），则x1 = a + y0 ， y1 = x0-a ，∴x0 = a + y1 ， y0= x1-a 代入y0 = f （x0）之中得x1-a = f （a + y1） ∴点P（x1， y1）在函数x-a = f （y + a）的图像上。同理可证：函数x-a = f （y + a）的图像上任一点关于直线x-y = a的轴对称点也在函数y = f （x）的图像上。故定理5中的成立。推论：函数y = f （x）的图像与x = f （y）的图像关于直线x = y 成轴对称。三、 三角函数图像的对称性列表函 数对称中心坐标对称

7、轴方程y = sin x（ kπ， 0 ）x = kπ+π/2y = cos x（ kπ+π/2 ，0 ）x = kπy = tan x（kπ/2 ，0 ）无注：上表中k∈Zy = tan x的全部对称中心坐标应当是（kπ/2 ，0 ），而在岑申、王而冶主编的浙江教化出版社出版的21世纪中学数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y = tan x的全部对称中心坐标是（ kπ， 0 ），这明显是错的。四、 函数对称性应用举例例1：定义在R上的特别数函数满意：f （10+x）为偶函数，且

8、f （5-x） = f （5+x），则f （x）肯定是（ ）（第十二届希望杯高二其次试题）（A）是偶函数，也是周期函数 （B）是偶函数，但不是周期函数（C）是奇函数，也是周期函数 （D）是奇函数，但不是周期函数解：f （10+x）为偶函数，∴f （10+x） = f （10-x）.∴f （x）有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f （x）是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f （x）的对称轴，因此f （x）还是一个偶函数。故选（A）例2：设定义域为R的函数y = f （x）、y = g（x）都有反函数，并且f（x-1）和g-1（

9、x-2）函数的图像关于直线y = x对称，若g（5） = 11019，那么f（4）=（ ）。（A） 11019； （B）2000； （C）2001；（D）2002。解：y = f（x-1）和y = g-1（x-2）函数的图像关于直线y = x对称，∴y = g-1（x-2） 反函数是y = f（x-1），而y = g-1（x-2）的反函数是:y = 2 + g（x）， ∴f（x-1） = 2 + g（x）， ∴有f（5-1） = 2 + g（5）=2001故f（4） = 2001，应选（C）例3.设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）= f（1

10、-x），当-1≤x≤0时，f （x） = - x，则f （8.6 ） = _ （第八届希望杯高二第一试题）解：f（x）是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f（x）对称轴；又f（1+x）= f（1-x） ∴x = 1也是y = f （x） 对称轴。故y = f（x）是以2为周期的周期函数，∴f （8.6 ） = f （8+0.6 ） = f （0.6 ） = f （-0.6 ） = 0.3例4.函数 y = sin （2x + ）的图像的一条对称轴的方程是（ ）（92全国高考理） （A） x = - （B） x = - （C） x =

11、（D） x =解：函数 y = sin （2x + ）的图像的全部对称轴的方程是2x + = k+∴x = - ，明显取k = 1时的对称轴方程是x = - 故选（A）例5. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）= -f（x），当0≤x≤1时，f （x） = x，则f （7.5 ） = （ ）（A） 0.5 （B） -0.5 （C） 1.5 （D） -1.5解：y = f （x）是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；又f （x+2 ）= -f （x） = f （-x），即f （1+ x） = f （1-x），∴直线x = 1是y = f （x） 对称轴，故y = f （x）是周期为2的周期函数。∴f （7.5 ） = f （8-0.5 ） = f （-0.5 ） = -f （0.5 ） =-0.5 故选（B）第7页 共7页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页